2021学年2.4 平面向量的数量积同步练习题

双基达标　限时20分钟

1．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝(　　)．

A．5           B．4           C．－2            D．－1

解析　a·b＝1×2＋(－1)×3＝－1.

答案　D

2．已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，x)，a⊥b，则x＝(　　)．

A．－1          B．1            C．－2            D．2

解析　a⊥b⇔a·b＝0⇒－2＋x＝0⇒x＝2.

答案　D

3．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)．

A.              B.              C.                D.

解析　a·b＝3＋2＝5，|a|＝，|b|＝，设夹角为θ，

则cos θ＝＝＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝.

答案　B

4．已知A(－3,2)，B(0，－2)，则||＝________.

解析　∵＝(3，－4)．

∴||＝＝5.

答案　5

5．在△ABC中，∠C＝90°，＝(k,1)，＝(2,3)，则k的值为________．

解析　＝－＝(2,3)－(k,1)＝(2－k,2)．

∵∠C＝90°，即⊥，

∴2(2－k)＋3×2＝0，k＝5.

答案　5

6．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．

解　∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，

∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.

∵a，b的夹角α为钝角．

∴即

∴λ<1且λ≠－1，

∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．

综合提高　限时25分钟

7．(2012·烟台高一检测)若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为(　　)．

A.            B.            C.               D.

解析　设a与b的夹角为θ，

则cos θ＝＝＝，

∴a在b方向上的投影为|a|cos θ＝×＝.

答案　A

8．以下选项中，不一定是单位向量的有(　　)．

①a＝(cos θ，－sin θ)；②b＝(，)；③c＝(2x,2－x)；

④d＝(1－x，x)．

A．1个           B．2个          C．3个           D．4个

解析　因为|a|＝1，|b|＝1，|c|＝ ≥ ≠1，

|d|＝＝＝ ≥.故选B.

答案　B

9．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A、B、C三点共线，则k＝________.

答案　－

10．已知点A(2,3)，若把向量绕原点O按逆时针旋转90°得到向量，则点B的坐标为________．

解析　设点B的坐标为(x，y)，因为⊥，||＝||，

所以

解得或(舍去)．

故B点的坐标为(－3,2)．

答案　(－3,2)

11．已知向量a＝(4,3)，b＝(－1,2)．

(1)求a与b的夹角θ的余弦值；

(2)若向量a－λb与2a＋b垂直，求λ的值．

解　(1)|a|＝＝5，|b|＝＝.

a·b＝－1×4＋3×2＝2，

∴cos θ＝＝＝.

(2)a－λb＝(4,3)－(－λ，2λ)＝(4＋λ，3－2λ)．

2a＋b＝(8,6)＋(－1,2)＝(7,8)．

若(a－λb)⊥(2a＋b)，

则7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝.

12．(创新拓展)已知点A(1,2)和B(4，－1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ACB＝90°，若不能，请说明理由；若能，求出C点的坐标．

解　假设存在点C(0，y)使∠ACB＝90°，则⊥.

∵＝(－1，y－2)，＝(－4，y＋1)，⊥，

∴·＝4＋(y－2)(y＋1)＝0，

∴y2－y＋2＝0.

而在方程y2－y＋2＝0中，Δ<0，

∴方程无实数解，故不存在满足条件的点C.