人教版新课标A必修42.2 平面向量的线性运算当堂达标检测题

2.2 第2课时 向量减法、数乘运算及其几何意义

一、选择题

1．化简－＋＋的结果等于(　　)

A. 　 　   B. 　 　

C. 　 　   D.

[答案]　B

[解析]　原式＝(＋)＋(＋)

＝＋0＝.

2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足＋＝，下列结论中正确的是(　　)

A．P在△ABC的内部

B．P在△ABC的边AB上

C．P在AB边所在直线上

D．P在△ABC的外部

[答案]　D

[解析]　由＋＝可得

＝－＝，∴四边形PBCA为平行四边形．

可知点P在△ABC的外部．选D.

3．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是(　　)

A.＝

B.＋＝

C.－＝

D.＋＝0

[答案]　C

[解析]　A显然正确．由平行四边形法则知B正确．C中－＝，故C错误．D中＋＝＋＝0.

4．(07·湖南)若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　)

A.＝＋　　 　　

B.＝－

C.＝－＋ 

D.＝－－

[答案]　B

[解析]　由向量的减法的定义求解．

5．在平面上有A，B，C三点，设m＝＋，n＝－，若m与n的长度恰好相等，则有(　　)

A．A，B，C三点必在一条直线上

B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角

C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角

D．△ABC必为等腰直角三角形

[答案]　C

[解析]　以，为邻边作平行四边形ABCD，则m＝＋＝，n＝－＝－＝，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．∴选C.

6．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于(　　)

A.　　　  B．－　　　

C．－　　　 D.

[答案]　C

[解析]　∵b＝λa，∴|b|＝|λ|·|a|

又∵a与b反向，∴λ＝－.

7．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么(　　)

A.＝    B.＝2

C.＝3   D．2＝

[答案]　A

[解析]　∵＋＝2，

∴2＋2＝0，∴＝.

8．已知P是△ABC所在平面内的一点，若＝λ＋，其中λ∈R，则点P一定在(　　)

A．△ABC的内部 

B．AC边所在直线上

C．AB边所在直线上 

D．BC边所在直线上

[答案]　B

[解析]　由＝λ＋得－＝λ，∴＝λ.则与为共线向量，又与有一个公共点P，∴C、P、A三点共线，即点P在直线AC上．故选B.

9．G为△ABC内一点，且满足＋＋＝0，则G为△ABC的(　　)

A．外心　　  B．内心　　

C．垂心　　  D．重心

[答案]　D

[解析]　由于＋＋＝0，所以＝－(＋)，即是与＋方向相反，长度相等的向量．如图，以，为相邻的两边作▱BGCD，则＝＋，所以＝－，在▱BGCD中，设BC与GD交于点E，则＝，＝，故AE是△ABC中BC边上的中线且||＝2||.

从而点G是△ABC的重心．选D.

10．(2010·河北唐山)已知P、A、B、C是平面内四个不同的点，且＋＋＝，则(　　)

A．A、B、C三点共线

B．A、B、P三点共线

C．A、C、P三点共线

D．B、C、P三点共线

[答案]　B

[解析]　∵＝－，∴原条件式变形为：

＝－2，∴∥，∴A、B、P三点共线．

二、填空题

11．已知x、y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.

[答案]　　

[解析]　由已知得⇒.

12．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝________b.

[答案]　－

[解析]　∵|a|＝5，|b|＝7，∴＝，

又方向相反，∴a＝－b.

13．(2010·浙江宁波十校)在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________(用e1，e2表示)．

[答案]　－e1＋e2

[解析]　∵＝＝e2，∴＝－e2，

∵＝，＋＝＝－＝e2－e1，

∴＝(e2－e1)，∴＝＋＝(e2－e1)－e2＝－e1＋e2.

三、解答题

14．如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知＝a，＝b，试用a、b表示和.

[解析]　连结CN，∵N是AB的中点，AB＝2CD，

∴AN綊DC，

∴四边形ANCD是平行四边形，

∴＝－＝－b，又＋＋＝0，

∴＝－－＝－a＋b.

＝＋＝a－b.

15．若a、b都是非零向量，在什么条件下向量a＋b与a－b共线？

[解析]　因a、b都是非零向量，向量a＋b与a－b中至少有一个不为零向量，不妨设a＋b≠0.则由a＋b与a－b共线，知存在实数λ使a－b＝λ(a＋b)，

∴(1－λ)a＝(1＋λ)b，

∵a≠0且b≠0，∴λ≠±1，

从而b＝a，从而a∥b.

由上可知，当a∥b时，a＋b与a－b共线．

16．如图，在△ABC中，D、E分别为AC、AB边上的点，＝＝，记＝a，＝b，求证：＝(b－a)．

[解析]　因为＝＝(－)＝(－a－b)，＝＝－b，所以＝－＝－a－b＋b＝(b－a)．

17．点E、F分别为四边形ABCD的对角线AC、BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示.

[解析]　如图所示，取AB中点P，连结EP，FP，

在△ABC中，EP是与BC平行的中位线，∴＝＝a.

在△ABD中，FP是与AD平行的中位线，

∴＝＝－b.在△EFP中，

＝＋＝－＋

＝－a－b＝－(a＋b)．

18．已知▱ABCD的边BC、CD的中点分别是M、N，设＝a，＝b，试用a、b表示、.

[分析]　∵M、N分别为▱ABCD的边BC、CD的中点，故以、作为基向量较易表示出、，然后，解方程组即可求出、.

[解析]　在▱ABCD中，M、N分别是边BC、CD的中点，

∴＝，＝.

∴＝＋＝＋，

＝＋，∴

解得＝a－b，＝b－a.