2021学年2.1 平面向量的实际背景及基本概念练习

这是一份2021学年2.1 平面向量的实际背景及基本概念练习，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2．1平面向量的实际背景及基本概念 一、选择题1．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有(　　)A．6个　  B．7个C．8个    D．9个[答案]　D[解析]　与向量共线的向量有：，，，，，，，，，故共有9个．2．在下列判断中，正确的是(　　)①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③    B．②③④C．①②⑤    D．①③⑤[答案]　D[解析]　由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D.3．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为(　　)A．平行四边形   B．矩形C．菱形    D．等腰梯形[答案]　C[解析]　∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵||＝||，∴四边形为菱形．4．已知圆心为O的⊙O上三点A、B、C，则向量、、是(　　)A．有相同起点的相等向量B．长度为1的向量C．模相等的向量D．相等的向量[答案]　C[解析]　圆的半径r＝||＝||＝||不一定为1，故选C.5．下列关于向量的结论：(1)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；(2)向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；(3)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b.其中正确的序号为(　　)A．(1)(2)    B．(2)(3)C．(4)     D．(3)[答案]　D[解析]　(1)中只知|a|＝|b|，a与b的方向不知，故(1)不对；不要让实数的性质|x|＝a，则x＝±a，错误迁移到向量中来．(2)没告诉是非零向量，故(2)不对，因为零向量的方向是任意的．(3)正确．对于任一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同．(4)向量与数不同，向量不能比较大小．6．四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系不一定成立的是(　　)A．||＝||B.与共线C.与共线D.与共线[答案]　C[解析]　∵三个四边形都是菱形，∴||＝||，AB∥CD∥FH，故与共线，又三点D、C、E共线，∴与共线，故A、B、D都正确．当ABCD与其它两个菱形不共面时，BD与EH异面．7．下列命题正确的是(　　)A．向量a与b共线，向量b与c共线，则向量a与c共线B．向量a与b不共线，向量b与c不共线，则向量a与c不共线C．向量与是共线向量，则A、B、C、D四点一定共线D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量[答案]　D[解析]　当b＝0时，A不对；如图a＝，c＝，b与a，b与c均不共线，但a与c共线，∴B错．在▱ABCD中，与共线，但四点A、B、C、D不共线，∴C错；若a与b有一个为零向量，则a与b一定共线，∴a，b不共线时，一定有a与b都是非零向量，故D正确．8．下列说法正确的是(　　)①向量与是平行向量，则A、B、C、D四点一定不在同一直线上②向量a与b平行，且|a|＝|b|≠0，则a＋b＝0或a－b＝0③向量的长度与向量的长度相等④单位向量都相等A．①③    B．②④C．①④    D．②③[答案]　D[解析]　对于①，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以是重合的，故①错．对于②，由于|a|＝|b|≠0，∴a，b都是非零向量，∵a∥b，∴a与b方向相同或相反，∴a＋b＝0或a－b＝0.对于③，向量与向量方向相反，但长度相等．对于④，单位向量不仅仅长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等而且方向相同．选D.二、填空题9．如图ABCD是菱形，则在向量、、、、和中，相等的有________对．[答案]　2[解析]　＝，＝.其余不等．10．给出下列各命题：(1)零向量没有方向；(2)若|a|＝|b|，则a＝b；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(6)若a＝b，b＝c，则a＝c；(7)若a∥b，b∥c，则a∥c；(8)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝.其中正确命题的序号是________．[答案]　(5)(6)[解析]　(1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；(2)该命题不正确，|a|＝|b|只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；(3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；(6)该命题正确．由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；(7)该命题不正确．因若b＝0，则对两不共线的向量a与c，也有a∥0,0∥c，但a∥\ c；(8)该命题不正确．如图所示，显然有≠，≠.11．已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________.[答案]　0[解析]　∵A、B、C不共线，∴与不共线，又∵m与、都共线，∴m＝0.三、解答题12．如图所示，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出与，相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)写出与的模相等的向量；(4)向量与是否相等？[解析]　(1)＝，＝；(2)与共线的向量为：，，；(3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||；(4)不相等．13．如图所示，四边形ABCD中，＝，N、M是AD、BC上的点，且＝.求证：＝.[解析]　∵＝，∴||＝||且AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．∴||＝||，且DA∥CB.又∵与的方向相同，∴＝.同理可证：四边形CNAM是平行四边形，∴＝.∵||＝||，||＝||，∴||＝||，DN∥MB，即与的模相等且方向相同．∴＝.14．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与相等的向量共有几个；(2)与平行且模为的向量共有几个？(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？[分析]　非零向量平行(共线)包括两种情况：一种是方向相同，另一种是方向相反．[解析]　(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．(2)与向量平行且模为的向量共有24个．(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．15．如图所示，已知▱ABCD，▱AOBE，▱ACFB，▱ACGD，▱ACDH，点O是▱ABCD的对角线交点，且＝a，＝b，＝c.(1)写出图中与a相等的向量；(2)写出图中与b相等的向量；(3)写出图中与c相等的向量．[解析]　(1)在▱OAEB中，＝＝a；在▱ABCD中，＝＝a，所以a＝＝.(2)在▱ABCD中，＝＝b；在▱AOBE中，＝＝b，所以b＝＝.(3)在▱ABCD中，＝＝c；在▱ACGD中，＝＝c，所以c＝＝.16．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？[解析]　如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，∴AC＝2000km.又∵∠ACD＝45°，CD＝1000，∴△ACD为直角三角形，即AD＝1000km，∠CAD＝45°.答：丁地在甲地的东南方向，距甲地1000km.