数学必修41.4 三角函数的图象与性质课时训练

双基达标　限时20分钟

1．函数y＝cos(x∈R)是(　　)．

A．奇函数   B．偶函数

C．非奇非偶函数   D．无法确定

解析　∵y＝cos＝－sin x，∴此函数为奇函数．

答案　A

2．若f(x)＝cos x在[－b，－a]上是增函数，则f(x)在 [a，b]上是(　　)．

A．奇函数  B．偶函数  C．减函数  D．增函数

解析　∵f(x)＝cos x在R上为偶函数，

∴根据偶函数的性质可知f(x)在[a，b]上是减函数．

答案　C

3．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意的x都有f＝f，则f等于(　　)．

A．3或0  B．－3或0  C．0  D．－3或3

解析　∵f＝f，

∴f(x)关于直线x＝对称，

∴f应取得最大值或最小值．

答案　D

4．函数y＝sin |x|＋sin x的值域是________．

解析　y＝sin |x|＋sin x＝

∴－2≤y≤2.

答案　[－2,2]

5．函数y＝cos x在区间 [－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________．

解析　∵y＝cos x在[－π，0]上为增函数，

又在[－π，a]上递增，∴[－π，a]⊆[－π，0]，∴a≤0.

又∵a>－π，∴－π<a≤0.

答案　(－π，0]

 6．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值：

(1)y＝3－2sin x；

(2)y＝cos .

解　(1)∵－1≤sin x≤1，

∴当sin x＝－1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y有最大值5，相应x的集合为.

当sin x＝1，即x＝2kπ＋，k∈Z时，y有最小值1，相应x的集合为.

(2)令z＝，∵－1≤cos z≤1，

∴y＝cos 的最大值为1，最小值为－1.

又使y＝cos z取得最大值的z的集合为{z|z＝2kπ，k∈Z}，由＝2kπ，得x＝6kπ，

∴使函数y＝cos 取得最大值的x的集合为{x|x＝6kπ，k∈Z}．

同理可得使函数y＝cos 取得最小值的x的集合为{x|x＝(6k＋3)π，k∈Z}．

综合提高　限时25分钟

7．函数y＝2sin2x＋2cos x－3的最大值是(　　)．

A．－1  B.  C．－  D．－5

解析　y＝2sin2x＋2cos x－3

＝－2cos2x＋2cos x－1＝－22－≤－.

答案　C

8．在下列区间上函数y＝sin为增函数的是(　　)．

A.   B.

C．[－π，0]  D.

解析　由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，－≤x≤，故选B.

答案　B

9．已知f(x)＝ax＋bsin3x＋3且f(－3)＝7，则f(3)＝________.

解析　f(－3)＝－3a－bsin33＋3＝7.

∴3a＋bsin33＝－4，

∴f(3)＝3a＋bsin33＋3＝－4＋3＝－1.

答案　－1

10．下列函数值：sin 1，sin 2，sin 3，sin 4的大小顺序是________．

解析　因为sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)，且0<π－3<1<π－2<，且π<4<，又函数y＝sin x在上单调递增，所以sin 2>sin 1>sin 3>0；而sin 4<0，故sin 2>sin 1>sin 3>sin 4.

答案　sin 2>sin 1>sin 3>sin 4

11．有两个函数f(x)＝asin，g(x)＝bcos (k>0)，它们的周期之和为，且f＝g，f＝－·g＋1，求k，a，b.

解　由题意知，＋＝，

∴k＝2，∴f(x)＝asin，g(x)＝bcos.

由已知得方程组

即解得

∴k＝2，a＝，b＝－.

12．(创新拓展)求函数y＝sin＋cos的周期、单调区间及最大、最小值．

解　∵＋＝，

∴cos＝cos

＝cos＝sin.

从而原式就是y＝2sin，这个函数的最小正周期为，即T＝.

当－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ(k∈Z)时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为(k∈Z)．

当＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ(k∈Z)时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．

当x＝＋(k∈Z)时，ymax＝2；

当x＝－＋(k∈Z)时，ymin＝－2.