数学必修41.5 函数y=Asin（ωx+ψ）复习练习题

双基达标　限时20分钟

1．函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(　　)

A．2         B.        C．4         D.

解析　由已知y＝cos x的图象经变换后得到y＝cos x的图象，所以ω＝.

答案　B

2．已知简谐运动f(x)＝2sin的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)．

A．T＝6，φ＝   B．T＝6，φ＝

C．T＝6π，φ＝   D．T＝6π，φ＝

解析　将(0,1)点代入f(x)可得sin φ＝.

∵|φ|<，∴φ＝，T＝＝6.

答案　A

3．下列四个函数中同时具有(1)最小正周期是π；(2)图象关于x＝对称的是

(　　)．

A．y＝sin   B．y＝sin

C．y＝sin   D．y＝sin

解析　∵T＝π，∴排除A；又因为图象关于x＝对称．∴当x＝时，y取得最大值(最小值)．代入B、C、D三项验证知D正确．

答案　D

4．先作函数y＝sin x的图象关于y轴的对称图象，再将所得图象向左平移个单位，所得图象的函数解析式是________．

解析　作函数y＝sin x的图象关于y轴的对称图象，其函数解析式为y＝sin (－x)，再将函数y＝sin (－x)的图象向左平移个单位，得到函数图象的函数解析式为：

 y＝sin

＝sin.

答案　y＝sin

5．先将y＝sin x的图象向右平移个单位，再变化各点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为 的函数y＝sin(ωx＋φ)(其中ω>0)的图象，则ω＝________，φ＝________.

解析　由已知得到函数解析式为y＝sin且＝，∴ω＝3，φ＝－.

答案　3　－

6．已知f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值；

(3)求出使f(x)取得最大值时x的集合．

解　(1)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得，x∈(k∈Z)．

即f(x)的单调增区间是(k∈Z)；

由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得，x∈(k∈Z)，

即f(x)的单调减区间是(k∈Z)．

(2)因为x∈时，所以≤2x＋≤，－≤sin≤1，可见f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，故a＝1.

(3)f(x)取得最大值时，2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，所以，当f(x)取得最大值时x的集合是.

综合提高　限时25分钟

7．下列命题正确的是(　　)．

A．y＝cos x的图象向右平移得y＝sin x的图象

B． y＝sin x的图象向右平移得y＝cos x的图象

C．当φ<0时，y＝sin x向左平移|φ|个单位可得y＝sin(x＋φ)的图象

D．y＝sin的图象由y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到

解析　将y＝sin x的图象向右平移得y＝sin即y＝－cos x的图象，可知B错；当φ<0时，y＝sin x向左平移|φ|个单位可得y＝sin (x－φ)的图象，可知C错；将y＝sin 2x向左平移个单位得y＝sin的图象，可知D错．

答案　A

8．(2010·重庆高考)已知函数y＝

sin的部分图象如图，则(　　)．

A．ω＝1，φ＝   B．ω＝1，φ＝－

C．ω＝2，φ＝   D．ω＝2，φ＝－

解析　由图象知＝－＝，∴T＝π，ω＝2.

且2×＋φ＝kπ＋π(k∈Z)，φ＝kπ－(k∈Z)．

又|φ|<，∴φ＝－.

答案　D

9．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)在一个周期内当x＝时，有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω＝________.

解析　由题意知T＝2×＝π.∴ω＝＝2.

答案　2

10．(2012·枣庄高一检测)关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题：

①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；

②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；

③y＝f(x)图象关于点对称；

④y＝f(x)图象关于直线＝－对称．

其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．

解析　对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．

∴x＝π－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，∴①错误；

对于②，由f(x)＝4sin可得

f(x)＝4cos＝4cos.

∴②正确；

对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝π－(k∈Z)，

∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．

∴③正确；

对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，

∴x＝＋(k∈Z)．∴④错误．

答案　②③

11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示．

(1)求f(x)的解析式；

(2)写出f(x)的递增区间．

解　(1)由图可以得出A＝，

ω＝＝，由·(－2)＋φ＝0得φ＝，

∴f(x)＝sin.

(2)令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，得

16k－6≤x≤16k＋2，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为[16k－6,16k＋2]，k∈Z.

12．(创新拓展)已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.

(1)试求这条曲线的函数表达式；

(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．

解　(1)依题意，A＝，T＝4×＝π.

∵T＝＝π，ω>0，∴ω＝2，∴y＝sin(2x＋φ)，

又曲线上的最高点为，

∴sin＝1.

∵－<φ<，∴φ＝.

∴y＝sin.

(2)列出x、y的对应值表：

作图如下：