人教版新课标A必修53.3 二元一次不等式(组)与简单的线性测试题
展开3-3-4技能训练
基础巩固强化
一、选择题
1.(x-2y+1)(x+y-3)<0表示的平面区域为( )
2.(2011·桂林中学高二期中)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是( )
A.a≥ B.0<a≤1
C.1≤a≤ D.0<a≤1或a≥
3.已知变量x、y满足约束条件,则的取值范围是( )
A. B.∪[6,+∞)
C.[3,6] D.(-∞,3]∪[6,+∞)
4.若变量x,y满足,则z=3x+2y的最大值是( )
A.90 B.80
C.70 D.40
5.已知变量x、y满足约束条件则z=2x+y的最大值为( )
A.4 B.2
C.1 D.-4
6.(2009·安徽)不等式组所表示的平面区域的面积等于( )
A. B.
C. D.
二、填空题
7.(2009·浙江)若实数x,y满足不等式组则2x+3y的最小值是________.
8.由直线x+y+2=0,x+2y+1=0和2x+y+1=0围成的三角形区域(包括边界)用不等式可表示为______.
9.设变量x、y满足约束条件,则目标函数2x+y的最小值为________.
三、解答题
10.某公司的仓库A存有货物12t,仓库B存有货物8t.现按7t、8t和5t把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店,从仓库A运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为8元、6元、9元、从仓库B运货物到商店甲、乙、丙,每吨货物的运费分别为3元、4元、5元.则应如何安排调运方案,才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少?
能力拓展提升
一、选择题
11.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+3y的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.23
12.下面给出的四个点中,到直线x-y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是( )
A.(1,1) B.(-1,1)
C.(-1,-1) D.(1,-1)
13.(2011·北京朝阳区期末、山东日照调研)若A为不等式组表示的平面区域,则a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( )
A.9 B.3
C. D.
14.已知实数x,y满足,如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m等于( )
A.7 B.5 C.4 D.3
二、填空题
15.图中阴影部分的点满足不等式组在这些点中,使目标函数k=6x+8y取得最大值的点的坐标是________.
三、解答题
16.某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量,以使得总利润达到最大.已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力,通过调查,得到关于这两种产品的有关数据如下表:
资金 | 单位产品所需资金(百元) | 月资金供应量 (百元) | |
空调机 | 洗衣机 | ||
成本 | 30 | 20 | 300 |
劳动力(工资) | 5 | 10 | 110 |
单位利润 | 6 | 8 |
|
试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少?
*17.已知f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.
[分析] 这是一个不等式问题,似乎与二元一次不等式表示的平面区域无关,但仔细分析后可发现,本题的实质是:
已知实数a、c满足不等式组,求9a-c的最值;此即线性规划问题,因此可以用线性规划的方法求解.
详解答案
1[答案] C
[解析] 将点(0,0)代入不等式中,不等式成立,否定A、B,将(0,4)点代入不等式中,不等式成立,舍去D,故选C.
2[答案] D
[解析] 由图形知,要使平面区域为三角形,只需直线l:x+y=a在l1、l2之间或在l3上方.∴0<a≤1或a≥.
3[答案] A
[解析] 由约束条件画出可行域如图,可看作是点(x,y)与原点连线的斜率,
所以∈[kOC,kOA]=.
4[答案] C
[解析] 由得可行域如图所示.
将l0:3x+2y=0在可行域内平行移动,移动到经过B点时,z=3x+2y取最大值.
由,得B点坐标为(10,20),
∴zmax=3×10+2×20=70,故选C.
5[答案] B
[解析] 作出可行域如图,
作直线l0:2x+y=0,平移直线l0可见,当l0经过可行域内的点B(1,0)时,z取得最大值,∴zmax=2×1+0=2.
6[答案] C
[解析] 作出可行域如图阴影部分△ABC,
由,得点A坐标为(1,1),
又B、C两点坐标分别为(0,4)、,
∴S△ABC=××1=.
7[答案] 4
[解析] 画出可行域如图所示(图中阴影部分),
作直线l0:2x+3y=0
当直线l0平移到过点A(2,0)时,2x+3y取最小值.(2x+3y)min=2×2+0=4.
8[答案]
[解析] ∵三角形区域在直线x+y+2=0的右上方,又原点在直线x+y+2=0的右上方,且0+0+2>0,
∴三角形区域在x+y+2≥0表示的区域内,同理可确定三角形区域在x+2y+1≤0和2x+y+1≤0的区域内.故用不等式表示该平面
区域为.
9[答案] -
[解析] 设z=2x+y,画出可行域如图,最优解为M,zmin=-.
10[解析] 设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为xt,yt.
则仓库A运给丙商店的货物为(12-x-y)t.
仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7-x)t,(8-y)t,[5-(12-x-y)]t,
总运费为z=8x+6y+9(12-x-y)+3(7-x)+4(8-y)+5(x+y-7)=x-2y+126,
约束条件为
即
作出可行域,如图所示.
作直线l:x-2y=0,把直线l平行移动,
当直线过A(0,8)时,z=x-2y+126取得最小值,
zmin=0-2×8+126=110,
即x=0,y=8时,总运费最少.
即仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0t、8t、4t,仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7t、0t、1t,此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少.
[点评] 本题中恰当选取两个未知数,列出线性约束条件是解题的关键,把调给甲、乙、丙三个商店的货物数都是非负数这一隐含限制条件发掘出来,即可获解.
11[答案] B
[解析] 作出可行域如图所示:
由得A(2,1)
∴当x=2,y=1时,z最小=2×2+3×1=7,故选B.
[点评] 线性规划命题保持相对稳定,这一部分命题主要方式是:①求最大(小)值.②求平面区域的面积.③求平面区域内的整点.④求字母的值或取值范围.后两种问题有一定难度,但都有规律可循.
12[答案] C
[解析] 把(1,1)代入x+y-1<0不成立,排除A;
把(-1,1)代入x-y+1>0不成立,排除B;而(1,-1)到直线x-y+1=0的距离为,排除D,故选C.
13[答案] D
[解析] 作出平面区域A如图,当a从-2到1连续变化时,动直线y=-x+a从l1变化到l2,扫过A中的那部分平面区域为四边形EOFG,其面积S=S△OBE-S△FGB=×2×2-×1×=.
14[答案] B
[解析] 由选项知m>0,作出可行域如图.目标函数z=x-y对应直线y=x-z经过可行域内的点A时,-z取最大值1,从而z取最小值-1.
由,得A(,),
∴z=-==-1,∴m=5.
15[答案] (0,5)
[解析] ∵直线k=6x+8y即y=-x+的斜率k1=->-1.故经过点(0,5)时.直线的纵截距最大.从而k最大.
16[解析] 设生产空调机x台,洗衣机y台,则30x+20y≤300,5x+10y≤110,x、y∈N,即利润z=6x+8y.由得
,画图可知当直线6x+8y=z经过可行域内点A(4,9)时,z取最大值,zmax=6×4+8×9=96(百元).
答:生产空调机4台,洗衣机9台时,可获最大利润9600元.
17[解析] 由已知得
即
目标函数f(3)=9a-c.令z=9a-c
作出可行域,如图
由图可知,目标函数z=9a-c分别在点A、B处取得最值.
由得A(0,1).
由得B(3,7).
将两组解分别代入z=9a-c中得z的两个最值分别为-1和20.∴-1≤z≤20,
∴f(3)的取值范围为[-1,20].
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