高中数学人教版新课标A必修53.3 二元一次不等式（组）与简单的线性同步训练题

3-3-2基础巩固强化

一、选择题

1．设x2＋y2≤1表示的平面区域对应点集为M.|x|＋|y|≤1表示的平面区域对应点集为N，则M与N的关系是(　　)

A．MN　　　　　　　　 B．MN

C．M＝N   D．M与N无包含关系

2．点(1,2)和点(－1,3)在直线2x＋ay－1＝0的同一侧，则实数a的取值范围是(　　)

A．a<－   B．a>1

C．a<－或a>1   D．－<a<1

3．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为(　　)

A．－1   B．1 

C．2   D．－2

4．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋4y的最小值为(　　)

A．5   B．－6 

C．10  D．－10

5．(2010·福建文，5)若x，y∈R，且则z＝x＋2y的最小值等于(　　)

A．2   B．3 

C．5   D．9

6．(2011·辽宁沈阳二中检测)已知，若z＝x＋2y的最大值是3，则a的值是(　　)

A．1   B．－1 

C．0   D．2

二、填空题

7．(2011·石家庄高二检测)在△ABC中，三个顶点分别为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x，y)在△ABC的内部及其边界上运动，则y－x的取值范围为________．

8．已知点M，N是所围成的平面区域内的两点，则|MN|的最大值是________．

9．(2011·辽宁铁岭六校联考)设a＞0.点集S内的点(x、y)满足下列所有条件：①≤x≤2a，②≤y≤2a，③x＋y≥a，④x＋a≥y，⑤y＋a≥x.那么S的边界是一个________边形(填边数)．

三、解答题

10．求z＝3x＋5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件.

能力拓展提升

一、选择题

11．如图，目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OACB(含边界)，若C(，)是该目标函数z＝ax－y的最优解，则a的取值范围是(　　)

A．(－ ，－)   B．(－，－)

C．(，)   D．(－，)

12．(2010·北京理，7)设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是(　　)

A．(1,3]   B．[2,3]

C．(1,2]   D．[3，＋∞)

13．不等式组表示的平面区域内的整点个数为(　　)

A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5

14．(2012·广东文，5)已知变量x，y满足约束条件，则z＝x＋2y的最小值为(　　)

A．3   B．1

C．－5   D．－6

二、填空题

15．已知x、y满足条件则z＝2x＋5y的最大值为_______．

16．已知实数x，y满足下列条件设t＝，则t的最小值为________．

三、解答题

17．求不等式组表示的平面区域的面积．

18．某运输公司接受了向抗震救灾地区每天至少送180吨支援物资的任务．已知该公司有8辆载重6吨的A型卡车和4辆载重为10 吨的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为：A型卡车4次，B型卡车3次．列出调配车辆的数学关系式，画出平面区域．

详解答案

1[答案]　B 

[解析]　如图．x2＋y2≤1表示⊙O内部及边界的平面区域M，|x|＋|y|≤1表示正方形ABCD内部及边界的平面边域N.显然MN.故选B.

[点评]　两个平面区域M、N的关系，只要画出图形找出平面区域M、N，则由图可直观看出．

2[答案]　C

[解析]　由题意知，(2a＋1)(3a－3)＞0，∴a＜－或a＞1.

3[答案]　B

[解析]　可行域为图中△AOB，当直线y＝x－z经过点B时，－z最小从而z最大∴zmax＝1.

4[答案]　B

[解析]　可行域为图中△ABC及其内部的平面区域，当直线y＝－＋经过点B(3，－3)时，z最小，zmin＝－6.

5[答案]　B

[解析]　不等式组表示的可行域如图所示：

画出l0：x＋2y＝0

平行移动l0到l的位置，

当l通过M时，z能取到最小值．

此时M(1,1)，即zmin＝3.

6[答案]　A

[解析]　画出可行域如图，∵z＝x＋2y的最大值为3，∴y＝－＋经过可行域内的点A(a，a)时，z取到最大值3，∴a＋2a＝3，∴a＝1.

7[答案]　[－1,3]

[解析]　画出三角形区域如图，易知kAB＝<1，

令z＝y－x，则y＝x＋z，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当经过点C时，zmin＝－1，当经过点B时，zmax＝3，

∴－1≤z≤3.

8[答案]　

[解析]　不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，

∵直线x－y＋1＝0与直线x＋y＝6垂直，

直线x＝1与y＝1垂直，

∴|MN|的最大值是|AB|＝＝.

9[答案]　6

[解析]　首先由围成正方形ABCD，又结合位于二平行直线l1x－y＝－a和l2x－y＝a之间．

再结合，x＋y≥a可知．围成的区域是多边形APQCRS.它是一个六边形．

10[解析]　作出可行域为如图所示的阴影部分．

∵目标函数为z＝3x＋5y，

∴作直线l0：3x＋5y＝0.当直线l0向右上平移时，z随之增大，在可行域内以经过点A(，)的直线l1所对应的z最大．类似地，在可行域内，以经过点B(－2，－1)的直线l2所对应的z最小，∴zmax＝17，zmin＝－11，∴z的最大值为17，最小值为－11.

11[答案]　B

[解析]　若a>0，则由y＝ax－z知C点一定不是最优解，∴a<0；z＝ax－y在C点取最优解，则一定是z的最小值点，∵kAC＝－，kBC＝－，∴－≤a≤－.结合选项可知选B.

[点评]　①当a＝－或－时，最优解有无穷多个，它们都包括C(，)，故本题若是填空题应包括区间端点，填[－，－]．

②由于C是最优解，故不可能有a＞0.当a＞0时最优解应在A和B处获得．

12[答案]　A

[解析]作出区域D，联系指数函数y＝ax的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点(2,9)时，a可以取到最大值3，而显然只要a大于1，图象必然经过区域内的点．

13[答案]　B

[解析]　不等式y－2x≤0表示直线y－2x＝0的右下方区域(含边界)，x＋2y＋3＞0表示直线x＋2y＋3＝0右上方区域(不含边界)，5x＋3y－5＜0表示直线5x＋3y－5＝0左下方区域，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，即如图所示的△ABC区域．

可求得A(－，－)，B(，)，C(，－)，所以△ABC区域内的点(x，y)满足－≤x＜，－＜y＜.

∵x，y∈Z，∴0≤x≤2，－2≤y≤0，且x，y∈Z.

经检验，共有三个整点(0,0)，(1，－1)，(2，－2)．

14[答案]　C

[解析]　本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，线性目标函数最值．

由画出可行域如图．

令z＝0画出l0：x＋2y＝0，平移l0至其过A点时z最小，由，得A(－1，－2)，

∴zmin＝－1＋2×(－2)＝－5.

[点评]　画可行域时使用“直线定界，特殊点定域”的方法．

15[答案]　19

[解析]　可行域如图．

当直线y＝－x＋经过直线y＝3与x＋2y＝8交点(2,3)时，z取最大值zmax＝19.

[点评]　本题中须据直线x＋2y＝8的斜率k1＝－与直线2x＋5y＝z的斜率k2＝－比较大小．k1＜k2以确定经过哪个点时z取最大值．(注意直线的斜率k＞0时．逆时针方向旋转斜率由小变大．k＜0时，逆时针方向旋转．斜率也是由小变大．即直线与x轴夹角越大，斜率的绝对值越大．)

16[答案]　

[解析]　作出可行域为如图所求的△ABC及其内部，表示可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率，由图可知，kOB≤t≤kOC，

由得B(5,2)，易知C(1，)，

∴kOB＝，kOC＝，

∴≤t≤，故t的最小值为.

17[解析]　不等式x＜3表示直线x＝3左侧点的集合．

不等式2y≥x，即x－2y≤0表示直线x－2y＝0上及左上方点的集合．

不等式3x＋2y≥6，即3x＋2y－6≥0表示直线3x＋2y－6＝0上及右上方点的集合．

不等式3y＜x＋9即x－3y＋9＞0表示直线x－3y＋9＝0右下方点的集合．

综上可得，不等式组表示的平面区域为如图阴影部分．

因为平面区域为四边形形状，设顶点分别为A、B、C、D，如图．

可知A(0,3)、B(，)、C(3，)、D(3,4)

S四边形ABCD＝S梯形AOED－S△COE－S△AOB

＝(OA＋DE)·OE－OE·CE－OA·xB

＝(3＋4)×3－×3×－×3×＝6.

[点评]　本题求平面区域面积的方法还有：

把四边形ABCD分割成两个三角形，如△ABC和△ACD，再求面积．即利用割补的办法转化成能求面积的几何图形去求解．

18[解析]　设每天派出A型车x辆、B型车y辆

则即画出平面区域为图中阴影部分：