数学必修5第二章 数列综合与测试课堂检测

这是一份数学必修5第二章 数列综合与测试课堂检测，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
河南省卢氏一中2012届高考数学二轮《数列的综合应用》专题训练一、选择题1．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝(　　)A．3×44　　　　　　　　　B．3×44＋1C．43         D．43＋1解析：由an＋1＝3Sn⇒Sn＋1－Sn＝3Sn，即Sn＋1＝4Sn，又S1＝a1＝1，可知Sn＝4n－1.于是a6＝S6－S5＝45－44＝3×44.答案：A2．命题甲：()x,21－x, 成等比数列；命题乙：lgx，lg(x＋1)，lg(x＋3)成等差数列，则甲是乙的(　　)A．充分不必要条件      B．必要不充分条件C．充要条件       D．既不充分又不必要条件解析：命题甲：(21－x)2＝2－x·，即2(1－x)＝－x＋x2.得：x＝－2或x＝1.命题乙：2lg(x＋1)＝lgx＋lg(x＋3)，即(x＋1)2＝x(x＋3)，得：x＝1.故甲乙，乙⇒甲，故甲是乙的必要不充分条件．答案：B3．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21＝S4 000，O为坐标原点，点P(1，an)，点Q(2 011，a2 011)，则·＝(　　)A．2 011      B．－2 011[ : ]C．0       D．1解析：设Sn＝An2＋Bn，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)A＋B，由S21＝S4 000，知4 021A＋B＝0，所以a2 011＝0，·＝2 011＋an×a2 011＝2 011.答案：A4．(2011·日照模拟)已知函数f(x)＝x2＋bx的图像在点A(1，f(1))处的切线l与直线3x－y＋2＝0平行，若数列{}的前n项和为Sn，则S2 011的值为(　　)A.      B.C.      D.解析：∵函数f(x)＝x2＋bx的图像的切线的斜率为f′(x)＝2x＋b，∴函数f(x)＝x2＋bx的图像在点A(1，f(1))处的切线l的斜率为k＝2＋b.∵切线l与直线3x－y＋2＝0平行，∴2＋b＝3，即b＝1.∴f(x)＝x2＋x.∴＝＝＝－.∴S2 011＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.答案：B5．已知函数f(x)满足f(x＋1)＝＋f(x)(x∈R)，且f(1)＝，则数列{f(n)}(n∈N*)前20项的和为(　　)A．305     B．315C．325     D．335解析：因为f(1)＝，f(2)＝＋，f(3)＝＋＋，…，f(n)＝＋f(n－1)，所以{f(n)}是以为首项，为公差的等差数列．所以S20＝20×＋×＝335.[ : ]答案：D6．等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是(　　)解析：∵Sn＝na1＋d，∴Sn＝n2＋(a1－)n.又a1＞0，公差d＜0，所以点(n，Sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧．答案：C二、填空题7．(2011·枣庄模拟)已知函数f(x)＝[x[x]](n<x<n＋1，n∈N*)，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－2.1]＝－3，[－3]＝－3，[2.5]＝2.定义an是函数f(x)的值域中的元素个数，数列{an}的前n项和为Sn，则满足anSn<500的最大正整数n＝________.解析：由n<x<n＋1，知[x]＝n，所以n2<x[x]<n(n＋1)，故n2≤f(x)＝[x[x]]≤n(n＋1)－1，从而函数f(x)的值域中的元素个数为an＝n(n＋1)－1－n2＋1＝n，故由anSn＝<500得n≤9，所以最大正整数n＝9.答案：98．设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．解析：设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，，}，故q的最小值是.答案：9．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及实数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a). 这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．解析：根据题目条件可知，c－a＝x(b－a)，b－c＝b－a－(c－a)＝(1－x)(b－a)，最佳乐观系数满足：c－a是b－c和b－a的等比中项，所以有[x(b－a)]2＝(1－x)(b－a)·(b－a)，又因为(b－a)＞0，所以x2＝1－x，即x2＋x－1＝0.解得x＝，又0＜x＜1，所以x＝.答案：三、解答题10．(2011·烟台模拟)将函数f(x)＝sinx·sin(x＋2π)·sin(x＋3π)在区间 (0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝2nan，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的表达式．解：(1)f(x)＝sinx·sin(x＋2π)·sin(x＋3π)＝－sinx.其极值点为x＝kπ＋(k∈Z)．它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以为首项，π为公差的等差数列，∴an＝＋(n－1)·π＝π(n∈N*)．(2)∵bn＝2nan＝(2n－1)·2n，∴Tn＝[1·2＋3·22＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n]，2Tn＝[1·22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1]，两式相减，得－Tn＝[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n－1)·2n＋1]，∴Tn＝π[(2n－3)·2n＋3]．11．设C1，C2，…，Cn，…是坐标平面上的一系列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y＝x相切，对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn＋1相互外切，以rn表示Cn的半径，已知数列{rn}为递增数列．(1)证明：数列{rn}为等比数列；(2)设r1＝1，求数列{}的前n项和．解：(1)证明：将直线y＝x的倾斜角记为θ，则有tanθ＝，sinθ＝.设Cn的圆心为(λn,0)(n∈N*)，则由题意知＝sinθ＝，得λn＝2rn，同理λn＋1＝2rn＋1，依题意知λn＋1＝λn＋rn＋rn＋1＝2rn＋1，①将λn＝2rn代入①解得rn＋1＝3rn.故数列{rn}是以3为公比的等比数列．(2)由于r1＝1，q＝3，故rn＝3n－1，从而＝n·31－n，记Sn＝＋＋…＋，则有Sn＝1＋2·3－1＋3·3－2＋…＋n·31－n，②＝1·3－1＋2·3－2＋…＋(n－1)·31－n＋n·3－n.③②－③，得＝1＋3－1＋3－2＋…＋31－n－n·3－n[ :  ]＝－n·3－n＝－(n＋)·3－n.Sn＝－(n＋)·31－n.12．已知数列{an}与{bn}满足bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，bn＝，n∈N*，且a1＝2. (1)求a2，a3的值；(2)设cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列；(3)设Sn为{an}的前n项和，证明＋＋…＋＋≤n－(n∈N*)．解：(1)由bn＝，n∈N*，可得bn＝又bn＋1an＋bnan＋1＝(－2)n＋1，当n＝1时，a1＋2a2＝－1，由a1＝2，可得a2＝－；当n＝2时，2a2＋a3＝5，可得a3＝8.(2)证明：对任意n∈N*，a2n－1＋2a2n＝－22n－1＋1，①，[ :21世纪教育网]2a2n＋a2n＋1＝22n＋1.②②－①，得a2n＋1－a2n－1＝3×22n－1，即cn＝3×22n－1.于是＝4.所以{cn}是等比数列．(3)证明：a1＝2，由(2)知，当k∈N*且k≥2时，a2k－1＝a1＋(a3－a1)＋(a5－a3)＋(a7－a5)＋…＋(a2k－1－a2k－3)＝2＋3(2＋23＋25＋…＋22k－3)＝2＋3×＝22k－1，故对任意k∈N*，a2k－1＝22k－1.由①得22k－1＋2a2k＝－22k－1＋1，所以a2k＝－22k－1，k∈N*.因此，S2k＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2k－1＋a2k)＝.于是，S2k－1＝S2k－a2k＝＋22k－1.故＋＝＋＝－＝1－－.所以，对任意n∈N*，＋＋…＋＋＝(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝(1－－)＋(1－－)＋…＋(1－－)＝n－(＋)－(＋)－…－(＋)≤n－(＋)＝n－.