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初中苏科版5.5 用二次函数解决问题课后复习题
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这是一份初中苏科版5.5 用二次函数解决问题课后复习题，共28页。试卷主要包含了5用二次函数解决实际问题，如图，假设篱笆，如图，等腰Rt△ABC等内容，欢迎下载使用。
5.5用二次函数解决实际问题
一、单选题
1.直线y=3x－3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是( ).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
2.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（ ）
A. 60m2 B. 63m2 C. 64m2 D. 66m2
3.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 ( )
A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米
4.如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m.若饲养室长为xm，占地面积为y m2 ，则y关于x的函数表达式为（ ）
A. y＝﹣ 12 x2+26x（2≤x＜52） B. y＝﹣ 12 x2+50x（2≤x＜52）
C. y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D. y＝﹣ 12 x2+27x﹣52（2≤x＜52）
5.如图，一次函数y=﹣x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数 C. 没有实数根 D. 以上结论都正确
6.如图，等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（-1, 0）、（2,0），抛物线与直线交点的横坐标为1和 ，那么不等式mx+n ＜ax2+bx+c ＜0的解集是( )
A. 1＜ x ＜2 B. x ＜ 或 x ＞1 C. ＜ x ＜2 D. -1＜ x ＜2
8.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③若点B（﹣ 52 ，y1）、C（﹣ 12 ，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④a+b+c＞0，其中正确结论是 （ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
9.在平面直角坐标系内，抛物线 y=ax2−x+1(a≠0) 与线段 AB 有两个不同的交点，其中点 A(−1,0) ，点 B(1,1) .有下列结论：
①直线 AB 的解析式为 y=12x+12 ；②方程 ax2−32x+12=0 有两个不相等的实数根；③a的取值范围是 a≤−2 或 1≤a<98 .
其中，正确结论的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10.如图是抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) ，其顶点坐标为 (1,n) ，且与x轴的一个交点在点 (3,0) 和 (4,0) 之间，下列结论：
① b>0 ；② 2a+b=0 ；③ 4a−2b+c<0 ；④ a+b+c>0 ；⑤关于x的方程 0=ax2+bx+c 的另一个解在-2和-3之间，
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
11.如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1 ， x的取值范围是________．
12.如图，二次函数 y1=ax2+bx+c(a≠0) 与一次函数 y2=mx+n(m≠0) 的图象相交于点 A(−1,5) 和 B(5,2) ，则使不等式 ax2+bx+c
13.某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为 x（x>0) ，12月份的产值为 y 万元，那么 y 关于 x 的函数解析式是________．
14.某工厂2017年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为 ．
15.对称轴与 y 轴平行且经过原点O的抛物线也经过 A(2,m),B(4,m) ，若 ΔAOB 的面积为4，则抛物线的解析式为________.
16.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，则将每件的销售价定为________ 元时，可获得最大利润．
17.如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等．小强骑自行车从桥的一端0沿直线匀速穿过桥面到达另一端A ， 当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需 秒．
18.如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1 ，
其中正确的是________．
三、解答题
19.如图,抛物线y=12x2+bx+c（b,c是常数,且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧）,与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(－1,0)．
（1）请直接写出点OA的长度;
（2）若常数b,c满足关系式：bc=3．求抛物线的解析式．
（3）在（2）的条件下,点P是x轴下方抛物线上的动点,连接PB、PC．设△PBC的面积为S．
①求S的取值范围;
②若△PBC的面积S为整数,则这样的△PBC共有多少个（直接写出结果）？
20.如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为xm，窗户的透光面积为ym2（铝合金条的宽度不计）.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积.
21.某商品每件成本40元，以单价55元试销，每天可售出100件．根据市场预测，定价每减少1元，销售量可增加10件．求每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系．
22.如图，利用一墙面（墙的长度不超过45m）,用80m长的篱笆围成一个矩形场地，当宽AD为多长时，矩形场地的面积最大，最大值为多少？
23.人民商场销售某保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元（销售额=销售量×售价）．
（1）求该保温水瓶9月份的销售单价；
（2）11月“感恩节”商场在9月份售价的基础上打折促销（但不亏本），销售的数量y（件）与打折的折数x满足一次函数y=﹣50x+600，试求商场打几折时利润最大，最大利润是多少？
（3）在（2）的条件下，商场发现打n折销售时，11月份的利润与按9月份销售的利润相同，求n的值．
24.如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB = 6，AD = 9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G,如图①．
⑴ 求CD的长及∠1的度数；
⑵ 设DE = x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大?最大值是多少?
⑶ 当点G刚好落在线段BC上时,如图②,若此时将所得到的△EFG沿直线CB向左平移，速度为每秒1个单位，当E点移动到线段AB上时运动停止.设平移时间为t（秒）,在平移过程中是否存在某一时刻t，使得△ABE为等腰三角形?若存在，请直接写出对应的t的值；若不存在，请说明理由.
25.如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；
（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．
26.已知抛物线 y=a(x−1)2+3a ，其顶点为 E ，与 y 轴交于点 D(0,4) ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线 l ： y=−13x+8 与抛物线第一象限交于点 B ，交 y 轴于点 A ，求 ∠ABD−∠DBE 的值；
（3）若有两个定点 F(1,134) ， A(0,8) ，请在抛物线上找一点 K ，使得 △KFA 的周长最小，并求出周长的最小值．
27.如图，点 B ， C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上， OB ， OC 的长分别为 x2−8x+12=0 的两个根 (OC>OB) ，点 A 在 x 轴的负半轴上，且 OA=OC=3OB ，连接 AC ．
（1）求过 A ， B ， C 三点的抛物线的函数解析式；
（2）点 P 从点 C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 CA 运动到点 A ，点 Q 从点 O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 OC 运动到点 C ，连接 PQ ，当点 P 到达点 A 时，点 Q 停止运动，求 S△CPQ 的最大值；
（3）M 是抛物线上一点，是否存在点 M ，使得 ∠ACM=15° ？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
28.如图，抛物线y=a（x﹣2m）2﹣m（其中m＞1）与其对称轴l相交于点P，与y轴相交于点A（0，m）．点A关于直线l的对称点为B，作BC⊥x轴于点C，连接PC、PB，与抛物线、x轴分别相交于点D、E，连接DE．将△PBC沿直线PB翻折，得到△PBC′．
（1）该抛物线的解析式为（用含m的式子表示）；
（2）探究线段DE、BC的关系，并证明你的结论；
（3）直接写出C′点的坐标（用含m的式子表示）．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】根据直线与二次函数交点的求法得出一元二次方程的解，即可得出交点个数．
【解答】∵直线y=3x-3与抛物线y=x2-x+1的交点求法是：
3x-3=x2-x+1，
∴x2-4x+4=0，
∴x1=x2=2，
∴直线y=3x-3与抛物线y=x2-x+1的交点的个数是1个．
故选B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的性质，根据题意得出一元二次方程的解的个数是解决问题的关键．
2.【答案】 C
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设BC=xm，则AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面积为ym2 ，
根据题意得：y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64，
当x=8m时，ymax=64m2 ，
则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2 ．
故选C．
【分析】设BC=xm，表示出AB，矩形面积为ym2 ， 表示出y与x的关系式，利用二次函数性质求出面积最大值即可．
3.【答案】 A
【考点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=-x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．
【解答】∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=-x2+4x的顶点坐标的纵坐标，
∴y=-x2+4x=-（x-2)2+4，
∴顶点坐标为：（2，4)，
∴喷水的最大高度为4米，
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．
4.【答案】 A
【考点】根据实际问题列二次函数关系式，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：y关于x的函数表达式为：y =12 （50+2﹣x）x
=−12 x2+26x（2≤x＜52）.
故答案为：A.
【分析】饲养场的长为xm，则宽为（50+2-x）m，由矩形的面积y=矩形的长×宽可求解.
5.【答案】 A
【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】把y=-x代入y=ax2+bx+c得ax2+(b+1)x+c=0，因为一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，所以方程ax2+(b+1)x+c=0有两个不相等的实数根，故答案为：A.
【分析】由题意把y=-x代入二次函数的解析式整理得：ax2+(b+1)x+c=0，所以要判断方程的根的情况，只需观察两个函数图像的交点的个数即可求解。
6.【答案】 A
【考点】分段函数，根据实际问题列二次函数关系式，二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】设CD的长为x,△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y
∴当C从D点运动到E点时,即0⩽x⩽2时,y= 12 ×2×2− 12 (2−x)×(2−x)=− 12 x²+2x.
当A从D点运动到E点时,即2
故答案为：A.
【分析】根据已知观察图像，可知此题分两段求解，即当C从D点运动到E点时,即0⩽x⩽2时；当A从D点运动到E点时,即2
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 抛物线与x轴交于点（-1, 0）， 抛物线与直线交点的横坐标为1和 -32
∴ 不等式mx+n ＜ax2+bx+c ＜0的解集为：1＜x＜2
【分析】根据已知条件： 抛物线与x轴交于点（-1, 0）， 抛物线与直线交点的横坐标为1和 -32 ， 观察函数图像可得出不等式mx+n ＜ax2+bx+c ＜0的解集。
8.【答案】 A
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ b2−4ac>0 ，即 b2>4ac ，故①符合题意；
由图象可知：对称轴 x=−b2a=−1 ，
∴ 2a−b=0 ，故②不符合题意；
由图象可知：对称轴为 x=−b2a=−1 ，
∵ |−52+1|>|−12+1| ，
∴可知点C离对称轴的距离比点B离对称轴的距离要远，
∴ y1
∴抛物线与x轴的另一个交点为(1，0)，
∴把点(1，0)代入解析式可得 a+b+c=0 ，故④不符合题意；
故答案为：A ．
【分析】①根据抛物线与X轴交点个数可判断；②根据抛物线对称轴可判断；③根据抛物线与X轴的另一个交点坐标可判断；④根据B、C两点离对称轴的距离的大小可判断。
9.【答案】 D
【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数y=ax^2+bx+c的性质，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①设直线 AB 的解析式为 y=kx+b ,把 A(−1,0) ，点 B(1,1) 代入得，
{0=−k+b1=k+b 解得， {k=12b=12 ，
∴直线 AB 的解析式为 y=12x+12 ，故①符合题意；
②∵抛物线 y=ax2−x+1(a≠0) 与直线 y=12x+12 有两个不同的交点，
令 12 x+ 12 =ax2−x+1，则 ax2−32x+12=0 ,
∴方程 ax2−32x+12=0 有两个不相等的实数根，故②符合题意；
③∵抛物线 y=ax2−x+1(a≠0) 与直线 y=12x+12 有两个不同的交点，
∴令 12 x+ 12 =ax2−x+1，则2ax2−3x+1=0
∴Δ=9−8a>0
∴a< 98
a<0时， {a+1+1⩽0a−1+1⩽1
解得：a⩽−2
∴a⩽−2，
当a>0时， {a+1+1⩾0a−1+1⩾1
解得：a⩾1
∴1⩽a< 98
综上所述：1⩽a< 98 或a⩽−2, 故③符合题意.
故答案为：D.
【分析】①设直线 AB 的解析式为 y=kx+b ,把 A(−1,0) ，点 B(1,1) 代入即可得到答案；②∵抛物线 y=ax2−x+1(a≠0) 与直线 y=12x+12 有两个不同的交点，令 12 x+ 12 =ax2−x+1，则 ax2−32x+12=0 即可得到结论；③ 分a>0，a<0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．
10.【答案】 D
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵抛物线开口向下，
∴ a<0 ，
∵对称轴直线 x=−b2a=1 ，
∴ b=−2a>0 ，
∴ 2a+b=0 ，
故①②符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线 x=1 ，
∴点 (4,y) 与 (−2,y) 关于直线 x=1 对称，
∵ x=4 时， y<0 ，
∴ x=−2 时， y<0 ，即 4a−2b+c<0 ，
故③符合题意；
∵抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) ，其顶点坐标为 (1,n) ，
∴ n=a+b+c>0 ，
故④符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线 x=1 ，抛物线与x轴的一个交点在 (3,0) 和 (4,0) 之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在 (−2,0) 和 (−1,0) 之间，
∴关于x的方程 0=ax2+bx+c 的另一个解在 −2 和 −1 之间，
故⑤不符合题意；
∴符合题意结论的有①②③④共4个，
故答案为：D．
【分析】由抛物线开口向下，对称轴直线 x=−b2a=1 ，得出2a+b=0 ，故①②符合题意；再利用二次函数的图象与系数的关系及二次函数与一元二次方程的关系求解即可。
二、填空题
11.【答案】 ﹣2＜x＜1
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3），
∴当有y2＞y1时，有﹣2＜x＜1，
故答案为：﹣2＜x＜1．
【分析】关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断y2＞y1时，x的取值范围．
12.【答案】 -1＜x＜5
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵当-1
【分析】求不等式 ax2+bx+c
【考点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】依题意得： y=100(1+x)2
故答案为： y=100(1+x)2
【分析】根据：现有量=原有量×(1+增长率 )n ,即可列方程求解．
14.【答案】 y＝100（1+x）2（x＞0）
【考点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】根据题意，得：y关于x的函数关系式为y＝100（1+x）2（x＞0）．
故答案为：y＝100（1+x）2（x＞0）．
【分析】根据某工厂2017年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0）， 列函数解析式即可。
15.【答案】 y=-12x2+3x
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】因为 A ( 2 , m ) , B ( 4 , m )， Δ A O B 的面积为4
12AB×h=12×(4-2)×h=4
h=4;
∴m=4
即A（2,4）；B(4,4)
由图像经过原点O设函数解析式为y=ax2+bx,将A（2,4）；B(4,4)代入得
4a+2b=416a+4b=4解得a=-12b=3
所以抛物线解析式为y =- 12 x 2 + 3 x
【分析】Δ A O B 的面积为4且抛物线也经过 A ( 2 , m ) , B ( 4 , m )可得AB与X轴平行，算得的高即为m的值；再由待定系数法可得抛物线解析式为为y =- 12 x 2 + 3 x。
16.【答案】 65
【考点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设最大利润为w元，
则w=（x﹣30）（100﹣x）=﹣（x﹣65）2+1225，
∵﹣1＜0，0＜x＜100，
∴当x=65时，二次函数有最大值1225，
∴定价是65元时，利润最大．
故答案为：65．
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
17.【答案】 46
【考点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，
∴MN的对称轴为直线x= 18+282 =23，
∴他通过整个桥面OA共需23×2=46（秒）．
故答案为：46．
【分析】由题意及抛物线的对称性，可求得抛物线的对称轴，从而可得小强通过整个桥面OA的一半所需要的时间，再乘以2即可得出答案。
18.【答案】 ①③⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴对称轴为x=- b2a =1，
∴2a+b=0，①符合题意，
∵a <0 ，b >0 ,抛物线与y轴交于正半轴，
∴c >0，
∴abc < 0，②不符合题意，
∵把抛物线向下平移3个单位长度得到y= ax2+bx+c-3,此时抛物线的顶点也向下平移3个单位长度，
∴顶点坐标为（1,0），抛物线与x轴只有一个交点，即方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根， ③符合题意.
∵对称轴为x=- b2a =1，与x轴的一个交点为（4,0），根据对称性质可知与x轴的另一个交点为（-2，0），④不符合题意，
由抛物线和直线的图像可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1. ， ⑤符合题意.
【分析】①根据拋物线的开口方向以及对称轴为x=1,即可得出a、b之间的关系以及ab的正负,由此得出①符合题意，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上,可知c为正结合a<0、b>0即可得出②不符合题意，将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x轴只有一个交点从而得知③符合题意，根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x=1以及点B的坐标,即可得出抛物线与x轴的另一交点坐标,④符合题意，⑤根据两函数图象的上下位置关系即可解题.
三、解答题
19.【答案】 解：（1）OA=1;
（2）∵抛物线y=12x2+bx+c过点A (－1,0),
∴b=c+12,
∵bc=3,
∴cc+12=3,
∵c＜0,
∴c=-2
∴b=-32,
∴抛物线的解析式y=12x2-32x-2;
（3）①设点P坐标为（x,12x2-32x-2）．
∵点A的坐标为（﹣1,0）,点B坐标为（4,0）,点C坐标为（0,﹣2）,
∴AB=5,OC=2,直线BC的解析式为y=12x﹣2．
分两种情况：
（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时,0＜S＜S△ACB ．
∵S△ACB=12AB•OC=5,
∴0＜S＜5;
（Ⅱ）当0＜x＜4时,过点P作PG⊥x轴于点G,交CB于点F．
∴点F坐标为（x,12x﹣2）,
∴PF=PG﹣GF=﹣（12x2﹣32x﹣2）+（12x﹣2）=﹣12x2+2x,
∴S=S△PFC+S△PFB=12PF•OB=12（﹣12x2+2x）×4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4,
∴当x=2时,S最大值=4,
∴0＜S≤4．
综上可知0＜S＜5;
②∵0＜S＜5,S为整数,
∴S=1,2,3,4．
分两种情况：
（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时,设△PBC中BC边上的高为h．
∵点A的坐标为（﹣1,0）,点B坐标为（4,0）,点C坐标为（0,﹣2）,
∴AC2=1+4=5,BC2=16+4=20,AB2=25,
∴AC2+BC2=AB2,∠ACB=90°,BC边上的高AC=5 ．
∵S=12BC•h,∴h=2SBC=2S25=55S ．
如果S=1,那么h=55×1=55＜5,此时P点有1个,△PBC有1个;
如果S=2,那么h=55×2=255＜5,此时P点有1个,△PBC有1个;
如果S=3,那么h=55×3=355＜5,此时P点有1个,△PBC有1个;
如果S=4,那么h=55×4=455＜5,此时P点有1个,△PBC有1个;
即当﹣1＜x＜0时,满足条件的△PBC共有4个;
（Ⅱ）当0＜x＜4时,S=﹣x2+4x．
如果S=1,那么﹣x2+4x=1,即x2﹣4x+1=0,
∵△=16﹣4=12＞0,∴方程有两个不相等的实数根,此时P点有2个,△PBC有2个;
如果S=2,那么﹣x2+4x=2,即x2﹣4x+2=0,
∵△=16﹣8=8＞0,∴方程有两个不相等的实数根,此时P点有2个,△PBC有2个;
如果S=3,那么﹣x2+4x=3,即x2﹣4x+3=0,
∵△=16﹣12=4＞0,∴方程有两个不相等的实数根,此时P点有2个,△PBC有2个;
如果S=4,那么﹣x2+4x=4,即x2﹣4x+4=0,
∵△=16﹣16=0,∴方程有两个相等的实数根,此时P点有1个,△PBC有1个;
即当0＜x＜4时,满足条件的△PBC共有7个;
综上可知,满足条件的△PBC共有4+7=11个．
故答案为12+c,﹣2c;11．
【考点】二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】 【分析】
（1）由点A的坐标为(－1,0)可得：OA=1;
（2）根据抛物线y=12x2+bx+c过点A (－1,0),得到：b = c+12,联立bc=3,求出b,c的值即可;
（3）①分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时;（Ⅱ）当0＜x＜4时;
②由0＜S＜5,S为整数,得出S=1,2,3,4．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时,（Ⅱ）当0＜x＜4时．
20.【答案】 （1）根据题意,得y=x·6-3x2=-32x2+3x0
∴当窗框的长为32m和宽为1 m时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为32m2.
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）由窗框的宽为x m，则长为6-3x2 m，从而根据矩形面积公式得出函数关系式即可；
（2）根据二次函数解析式，用配方法求其最大值即可．
21.【答案】 解：由题意得，商品每件定价x元时，每件降价（55﹣x）元，销售量为[100+10（55﹣x）]件，
则y=[100+10（55﹣x）]（x﹣40）=﹣10x2+1050x﹣26000，
即每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系式为y=﹣10x2+1050x﹣26000．
【考点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】由题意可知：每天销售该商品获利金额y=每一件的利润×销售量，因此先根据题意求出销售量及每一件的利润，再列出y与x的函数关系式。
22.【答案】 解：设AB得长为xm，
矩形场地的面积是：x• 80-x2 =− 12 (x−40)2+800，
∴当x=40时， 80-x2 =20，矩形场地的面积最大，最大值是800m2 ，
故答案为：20，800．
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意可以列出矩形场地的面积，从而可以得到当AD为多少时，矩形场地的面积最大，求出相应的最大值．
23.【答案】 解：（1）设9月份的销售单价为x元，销售的保温瓶y件，
xy=200000.9xy+50=27000
解得，x=200y=100
即该保温水瓶9月份的销售单价是200元；
（2）设销售的利润为w，由题意可得，
w=（200×x10﹣80）（﹣50x+600）=﹣1000x2+16000x﹣48000=﹣1000（x﹣8）2+16000，
∴x=8时，w取得最大值，此时w=16000，
即商场打8折时利润最大，最大利润是16000元；
（3）由（1）和（2）及题意可得，
（200﹣80）×100=（200×n10﹣80）（﹣50n+600）
解得，n=6或n=10
即n的值是6或10．
【考点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据人民商场销售某保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元，可以设出9月份的保温瓶销售单价和销售数量，从而可以列出相应的二元一次方程组，即可解答本题；
（2）根据题意可以列出销售利润的关系式，将其化为顶点式，即可求得最大利润和此时的打折数；
（3）由（1）和（2）和题意可以列出相应的关系式，从而可以求得n的值．
24.【答案】 解：（1）过点A作AH⊥BC于点H．
∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°，
∴AH=AB•sinB=33
∵四边形ABCD为直角梯形
∴四边形AHCD为矩形
∴CD=AH=33 ．
∵tan∠CAD=CDAD=33
∴∠CAD=30°
∵EF∥AC
∴∠1=∠CAD=30°；
（2）点G恰好在BC上，由对折的对称性可知△FGE≌△FDE，
∴GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°
∴∠GEC=60°
∵△CEG是直角三角形
∴∠EGC=30°
∴在Rt△CEG中，EC=12EG=12x
由DE+EC=CD得x+12x=33
∴x=23；
当0≤x≤23时，
y=S△EGF=S△EDF=12·DE·DF=12x·3x=32x2 ，
∵32＞0，对称轴为y轴
∴当0≤x≤23 ， y随x的增大而增大
∴当x=23时，y最大值=63；
当23＜x≤33时，设FG，EG分别交BC于点M、N
∵DE=x，
∴EC=33﹣x，NE=2(33﹣x)，
∴NG=GE﹣NE=3x﹣63 ．
又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°，
∴MG=NG•tan30°=333x-63 ，
S△MNG=12NG·MG=123x-63×333x-63=363x-632 ，
y=S△EGF﹣S△MNG=23x2-363x-632=-3x2+18x-183 ．
∵-3<0，对称轴为直线x=182×-3=33 ，
∴当23＜x≤33时，y有最大值，
∴当x=33时，y最大值=4×3×183-182-43=93 ．
综合两种情形：由于63＜93
∴当x=33时，y的值最大，y的最大值为93；
（3）由题意可知：AB=6，分三种情况：
①若AE=BE，解得t=9
②若AB=AE，解得t=9﹣26
③若BA=BE，解得t=12﹣33 ．
【考点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】
（1）过点A作AH⊥BC于点H，构建Rt△AHB和矩形AHCD；通过解直角三角形、矩形的性质求得CD=AH=33 ． 则tan∠CAD=CDAD=33 ， 故∠CAD=30°；然后由平行线的性质推知∠1=∠CAD=30°；
（2）根据△EFG≌△EFD列出y的表达式，从而讨论x的范围，分别得出可能的值即可；
（3）需要分类讨论：以AB为底和以AB为腰的情况．
25.【答案】 解：（1）∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=﹣3，即A点坐标为（﹣3，0），
当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），
将A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，
得-9-3b+c=0c=3 ，
解得b=-2c=3 ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），则m＜0，﹣m2﹣2m+3＜0．
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴对称轴为直线x=﹣1，顶点D的坐标为（﹣1，4），
设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（﹣1，0），AG=2．
∵直线AB的解析式为y=x+3，
∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2，
∴E点坐标为（﹣1，2）．
∵S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG=12×2×2+12×2×（m2+2m﹣3）﹣12×2×（﹣1﹣m）=m2+3m，
∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3m=3，
解得m1=-3-212 ， m2=-3+212（舍去），
当m=-3-212时，﹣m2﹣2m+3=﹣m2﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=-3-212 ，
∴点F的坐标为（-3-212 ， -3-212）；
（3）设P点坐标为（﹣1，n）．
∵B（0，3），C（1，0），
∴BC2=12+32=10．
分三种情况：
①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB2+BC2=PC2 ，
即（0+1）2+（n﹣3）2+10=（1+1）2+（n﹣0）2 ，
化简整理得6n=16，解得n=83 ，
∴P点坐标为（﹣1，83），
∵顶点D的坐标为（﹣1，4），
∴PD=4﹣83=43 ，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t1=43；
②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB2+PC2=BC2 ，
即（0+1）2+（n﹣3）2+（1+1）2+（n﹣0）2=10，
化简整理得n2﹣3n+2=0，解得n=2或1，
∴P点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，1），
∵顶点D的坐标为（﹣1，4），
∴PD=4﹣2=2或PD=4﹣1=3，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t2=2，t3=3；
③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC2+PC2=PB2 ，
即10+（1+1）2+（n﹣0）2=（0+1）2+（n﹣3）2 ，
化简整理得6n=﹣4，解得n=﹣23 ，
∴P点坐标为（﹣1，﹣23），
∵顶点D的坐标为（﹣1，4），
∴PD=4+23=143 ，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t4=143；
综上可知，当t为43秒或2秒或3秒或143秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形．
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设第三象限内的点F的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，根据S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG=3，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标；
（3）设P点坐标为（﹣1，n）．先由B、C两点坐标，运用勾股定理求出BC2=10，再分三种情况进行讨论：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2 ， 据此列出关于n的方程，求出n的值，再计算出PD的长度，然后根据时间=路程÷速度，即可求出此时对应的t值；②∠BPC=90°，同①可求出对应的t值；③∠BCP=90°，同①可求出对应的t值．
26.【答案】 （1）y=(x−1)2+3
（2）45°；提示：过点 B 作 BQ⊥y 轴，垂足为 Q ，证 △ABQ∼△EBD ， BD 的斜率为 ∠ABD−∠DBE=∠DBQ=45°
（3）21+3774 ；提示：（焦点准线问题）作直线 y=114 ，证明点 K 到直线 y=114 的距离等于 KF ，点 A 到直线 y=114 的距离为 214 ，故三角形 AKF 的周长的最小值为 AF+214=21+3774 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）将D点（0，4）代入抛物线解析式求解即可；
（2）由中点坐标公式可得：点E（-1，5），则∠HBD=∠EBD ， 则∠ABH=∠ABD-∠DBE ， 进而求解；
（3）设点K（x，y），则KF2=（x-1）2+（y-134）2 ， 则KF=y-114 ， 即KF=HK，进而求解。
27.【答案】 （1）由 x2−8x+12=0 得 x=6 或 x=2 ．
又∵ OC>OB ，∴点 B 的坐标为 (2,0) ，点 C 的坐标为 (0,6) ．
∵ OA=OC ，∴点 A 的坐标为 (−6,0) ．
设抛物线的函数解析式为 y=ax2+bx+c ，
将点 A ， B ， C 的坐标代入 y=ax2+bx+c 中，
得 {36a−6b+c=04a+2b+c=0c=6 ，解得 {a=−12b=−2c=6 ．
∴过 A ， B ， C 三点的抛物线的函数解析式为 y=−12x2−2x+6 ．
（2）∵ OA=OC ，∴ ∠ACO=45° ．
由题意得 PC=2t ， CQ=6−t ，∴ |xP|=PC⋅sin45°=2t ．
∴ S△CPQ=12×CQ×|xP|=12×(6−t)×2t=−22(t2−6t) ．
∵ −22<0 ，∴当 t=3 时， S△CPQ 有最大值，最大值为 922 ．
（3）①如图，当点 M 在 AC 上方时，过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E ，
作 MF⊥y 轴于点 F ，连接 MC ．
∵ ∠ACM=15° ， ∠ACO=45° ，∴ ∠OCM=60° ．
设点 M 的坐标为 (m,−12m2−2m+6)(−6
∴ CF=33MF=−33m ．∴ OF=OC−CF=6+33m ．
∵ ∠MEO=∠EOF=∠MFO=90° ，
∴四边形 MEOF 是矩形．∴ ME=OF ．
即 −12m2−2m+6=6+33m ，解得 m1=0 （舍去）， m2=−4−233 ．
∴ ME=6+33m=16−433 ．
∴点 M 的坐标为 [−4−233,16−433] ．
②如图，当点 M 在 AC 下方时，过点 M 作 MH⊥x 轴于点 H ，
设 MC 与 x 轴交于点 G ，连接 MC ．
设点 M 的坐标为 (n,−12n2−2n+6)(n<−6) ，
则 OH=−n ， MH=12n2+2n−6 ．
∵ ∠ACM=15° ， ∠CAO=45° ，
∴ ∠CGO=∠HGM=∠CAG+∠ACM=60° ．
在 Rt△CGO 中，∵ OC=6 ，∴ OG=OCtan∠CGO=23 ．
∴ GH=OH−OG=−n−23 ．
在 Rt△MGH 中， MH=GH⋅tan∠HGM=3GH ，
∴ 12n2+2n−6=−3n−6 ，
解得 n1=0 （舍去）， n2=−4−23 ．
∴ GH=−n−23=4 ， MH=3GH=43 ．
∴点 M 的坐标为 (−4−23,−43) ．
综上所述，存在点 M ，使得 ∠ACM=15° ，
且点 M 的坐标为 [−4−233,16−433] 或 (−4−23,−43) ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题，二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由 x2−8x+12=0 得 x=6 或 x=2 ． 得到点B、C的坐标，再由图象的旋转得到A、D的坐标，最后利用待定系数法求解即可；
（2）由S△CPQ=12CQ×xP=12×2t（6-t）=-22（t2-6t），即可求解；
（3）分AD时正方形的对角线、AD时正方形的边两种情况，利用三角形全等即可求解。
28.【答案】 解：（1）把点A（0，m）代入y=ax-222-m ，
得：2am2﹣m=m，
am﹣1=0，
∵am＞1，
∴a=1m ，
∴y=1mx-2m2-m ，
故答案为：y=1mx-2m2-m；
（2）DE=12BC．
理由：又抛物线y=1mx-2m2-m ， 可得抛物线的顶点坐标P（2m，﹣m），
由l：x=2m，可得：点B（22m，m），
∴点C（22m，0）．
设直线BP的解析式为y=kx+b，点P（2m，﹣m）和点B（22m，m）在这条直线上，
得：2mk+b=-m22mk+b=m ， 解得：k=2b=-3m ，
∴直线BP的解析式为：y=2x﹣3m，
令y=0，2x﹣3m=0，解得：x=322m ，
∴点D（322m ， 0）；
设直线CP的解析式为y=k1x+b1 ， 点P（2m，﹣m）和点C（22m，0）在这条直线上，
得：22mk1+b1=02mk1+b1=-m ， 解得：k1=22b1=-2m ，
∴直线CP的解析式为：y=22x﹣2m；
抛物线与直线CP相交于点E，可得：y=1mx-2m2-my=22x-2m ， 解得：x1=322my1==-m2 ， x2=2my2=-m（舍去），
∴点E（322m ， m2）；
∵xD=xE ，
∴DE⊥x轴，
∴DE=yD﹣yE=m2 ， BC=yB﹣yC=m=2DE，
即DE=12BC；
（3）C′（423m ， 23m）．
连接CC′，交直线BP于点F，
∵BC′=BC，∠C′BF=∠CBF，
∴CC′⊥BP，CF=C′F，
设直线BP的解析式为y=kx+b，点B（22m，m），P（2m，﹣m）在直线上，
∴22mk+b=m2mk+m=-m ， 解得：k=2b=-3m ，
∴直线BP的解析式为：y=2x﹣3m，
∵CC′⊥BP，
∴设直线CC′的解析式为：y=-22x+b1 ，
∴-22x22m+b1=0，解得：b1=2m，
联立①②，得：y=2x-3my=-22x+2m ， 解得：x=523my=m3 ，
∴点F（523m ， m3），
∴CF=523m-22m2+m32=33m ，
设点C′的坐标为（a，-22a+2m），
∴C′F=523m-a2+m3+22a-2m2=33m ， 解得：a=423m ，
∴-22a+2m=23m，
∴C′（423m ， 23m）．
【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线解析式，即可求出a的值；
（2）根据抛物线的解析式，求出顶点P的坐标，根据对称轴，求出点B，C的坐标，根据待定系数法求出直线BP、CP的解析式，求出点D、E的坐标，进而求出DE，BC的长度，即可解得；
（3）连接CC′交直线BP于点F，则CC′⊥BP，且CF=C′F，求出CC′的解析式，进而求得点F的坐标，根据CF=C′F，即可解答．
5.5用二次函数解决实际问题
一、单选题
1.直线y=3x－3与抛物线y=x2－x+1的交点的个数是( ).
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不确定
2.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（ ）
A. 60m2 B. 63m2 C. 64m2 D. 66m2
3.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 ( )
A. 4米 B. 3米 C. 2米 D. 1米
4.如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m.若饲养室长为xm，占地面积为y m2 ，则y关于x的函数表达式为（ ）
A. y＝﹣ 12 x2+26x（2≤x＜52） B. y＝﹣ 12 x2+50x（2≤x＜52）
C. y＝﹣x2+52x（2≤x＜52） D. y＝﹣ 12 x2+27x﹣52（2≤x＜52）
5.如图，一次函数y=﹣x与二次函数为y=ax2+bx+c的图象相交于点M，N，则关于x的一元二次方程ax2+（b+1）x+c=0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数 C. 没有实数根 D. 以上结论都正确
6.如图，等腰Rt△ABC（∠ACB=90°）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知直线y=mx+n和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的位置如图所示，且抛物线与x轴交于点（-1, 0）、（2,0），抛物线与直线交点的横坐标为1和 ，那么不等式mx+n ＜ax2+bx+c ＜0的解集是( )
A. 1＜ x ＜2 B. x ＜ 或 x ＞1 C. ＜ x ＜2 D. -1＜ x ＜2
8.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③若点B（﹣ 52 ，y1）、C（﹣ 12 ，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；④a+b+c＞0，其中正确结论是 （ ）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
9.在平面直角坐标系内，抛物线 y=ax2−x+1(a≠0) 与线段 AB 有两个不同的交点，其中点 A(−1,0) ，点 B(1,1) .有下列结论：
①直线 AB 的解析式为 y=12x+12 ；②方程 ax2−32x+12=0 有两个不相等的实数根；③a的取值范围是 a≤−2 或 1≤a<98 .
其中，正确结论的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10.如图是抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) ，其顶点坐标为 (1,n) ，且与x轴的一个交点在点 (3,0) 和 (4,0) 之间，下列结论：
① b>0 ；② 2a+b=0 ；③ 4a−2b+c<0 ；④ a+b+c>0 ；⑤关于x的方程 0=ax2+bx+c 的另一个解在-2和-3之间，
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
11.如图是二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函数y2=mx+n（m≠0）的图象，当y2＞y1 ， x的取值范围是________．
12.如图，二次函数 y1=ax2+bx+c(a≠0) 与一次函数 y2=mx+n(m≠0) 的图象相交于点 A(−1,5) 和 B(5,2) ，则使不等式 ax2+bx+c
13.某公司10月份的产值是100万元，如果该公司第四季度每个月产值的增长率相同，都为 x（x>0) ，12月份的产值为 y 万元，那么 y 关于 x 的函数解析式是________．
14.某工厂2017年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2019年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数关系式为 ．
15.对称轴与 y 轴平行且经过原点O的抛物线也经过 A(2,m),B(4,m) ，若 ΔAOB 的面积为4，则抛物线的解析式为________.
16.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，则将每件的销售价定为________ 元时，可获得最大利润．
17.如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等．小强骑自行车从桥的一端0沿直线匀速穿过桥面到达另一端A ， 当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需 秒．
18.如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1 ，
其中正确的是________．
三、解答题
19.如图,抛物线y=12x2+bx+c（b,c是常数,且c＜0）与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧）,与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(－1,0)．
（1）请直接写出点OA的长度;
（2）若常数b,c满足关系式：bc=3．求抛物线的解析式．
（3）在（2）的条件下,点P是x轴下方抛物线上的动点,连接PB、PC．设△PBC的面积为S．
①求S的取值范围;
②若△PBC的面积S为整数,则这样的△PBC共有多少个（直接写出结果）？
20.如图，用长为6m的铝合金条制成“日”字形窗框，若窗框的宽为xm，窗户的透光面积为ym2（铝合金条的宽度不计）.
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）如何安排窗框的长和宽，才能使得窗户的透光面积最大？并求出此时的最大面积.
21.某商品每件成本40元，以单价55元试销，每天可售出100件．根据市场预测，定价每减少1元，销售量可增加10件．求每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系．
22.如图，利用一墙面（墙的长度不超过45m）,用80m长的篱笆围成一个矩形场地，当宽AD为多长时，矩形场地的面积最大，最大值为多少？
23.人民商场销售某保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元（销售额=销售量×售价）．
（1）求该保温水瓶9月份的销售单价；
（2）11月“感恩节”商场在9月份售价的基础上打折促销（但不亏本），销售的数量y（件）与打折的折数x满足一次函数y=﹣50x+600，试求商场打几折时利润最大，最大利润是多少？
（3）在（2）的条件下，商场发现打n折销售时，11月份的利润与按9月份销售的利润相同，求n的值．
24.如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB = 6，AD = 9，点E是CD上的一个动点（E不与D重合），过点E作EF∥AC，交AD于点F（当E运动到C时，EF与AC重合），把△DEF沿着EF对折，点D的对应点是点G,如图①．
⑴ 求CD的长及∠1的度数；
⑵ 设DE = x，△GEF与梯形ABCD重叠部分的面积为y．求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时，y的值最大?最大值是多少?
⑶ 当点G刚好落在线段BC上时,如图②,若此时将所得到的△EFG沿直线CB向左平移，速度为每秒1个单位，当E点移动到线段AB上时运动停止.设平移时间为t（秒）,在平移过程中是否存在某一时刻t，使得△ABE为等腰三角形?若存在，请直接写出对应的t的值；若不存在，请说明理由.
25.如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为3，求点F的坐标；
（3）点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形？直接写出所有符合条件的t值．
26.已知抛物线 y=a(x−1)2+3a ，其顶点为 E ，与 y 轴交于点 D(0,4) ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线 l ： y=−13x+8 与抛物线第一象限交于点 B ，交 y 轴于点 A ，求 ∠ABD−∠DBE 的值；
（3）若有两个定点 F(1,134) ， A(0,8) ，请在抛物线上找一点 K ，使得 △KFA 的周长最小，并求出周长的最小值．
27.如图，点 B ， C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上， OB ， OC 的长分别为 x2−8x+12=0 的两个根 (OC>OB) ，点 A 在 x 轴的负半轴上，且 OA=OC=3OB ，连接 AC ．
（1）求过 A ， B ， C 三点的抛物线的函数解析式；
（2）点 P 从点 C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 CA 运动到点 A ，点 Q 从点 O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿 OC 运动到点 C ，连接 PQ ，当点 P 到达点 A 时，点 Q 停止运动，求 S△CPQ 的最大值；
（3）M 是抛物线上一点，是否存在点 M ，使得 ∠ACM=15° ？若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
28.如图，抛物线y=a（x﹣2m）2﹣m（其中m＞1）与其对称轴l相交于点P，与y轴相交于点A（0，m）．点A关于直线l的对称点为B，作BC⊥x轴于点C，连接PC、PB，与抛物线、x轴分别相交于点D、E，连接DE．将△PBC沿直线PB翻折，得到△PBC′．
（1）该抛物线的解析式为（用含m的式子表示）；
（2）探究线段DE、BC的关系，并证明你的结论；
（3）直接写出C′点的坐标（用含m的式子表示）．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】根据直线与二次函数交点的求法得出一元二次方程的解，即可得出交点个数．
【解答】∵直线y=3x-3与抛物线y=x2-x+1的交点求法是：
3x-3=x2-x+1，
∴x2-4x+4=0，
∴x1=x2=2，
∴直线y=3x-3与抛物线y=x2-x+1的交点的个数是1个．
故选B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的性质，根据题意得出一元二次方程的解的个数是解决问题的关键．
2.【答案】 C
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】设BC=xm，则AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面积为ym2 ，
根据题意得：y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64，
当x=8m时，ymax=64m2 ，
则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2 ．
故选C．
【分析】设BC=xm，表示出AB，矩形面积为ym2 ， 表示出y与x的关系式，利用二次函数性质求出面积最大值即可．
3.【答案】 A
【考点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=-x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．
【解答】∵水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=-x2+4x的顶点坐标的纵坐标，
∴y=-x2+4x=-（x-2)2+4，
∴顶点坐标为：（2，4)，
∴喷水的最大高度为4米，
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．
4.【答案】 A
【考点】根据实际问题列二次函数关系式，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：y关于x的函数表达式为：y =12 （50+2﹣x）x
=−12 x2+26x（2≤x＜52）.
故答案为：A.
【分析】饲养场的长为xm，则宽为（50+2-x）m，由矩形的面积y=矩形的长×宽可求解.
5.【答案】 A
【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】把y=-x代入y=ax2+bx+c得ax2+(b+1)x+c=0，因为一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，所以方程ax2+(b+1)x+c=0有两个不相等的实数根，故答案为：A.
【分析】由题意把y=-x代入二次函数的解析式整理得：ax2+(b+1)x+c=0，所以要判断方程的根的情况，只需观察两个函数图像的交点的个数即可求解。
6.【答案】 A
【考点】分段函数，根据实际问题列二次函数关系式，二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】设CD的长为x,△ABC与正方形DEFG重合部分(图中阴影部分)的面积为y
∴当C从D点运动到E点时,即0⩽x⩽2时,y= 12 ×2×2− 12 (2−x)×(2−x)=− 12 x²+2x.
当A从D点运动到E点时,即2
故答案为：A.
【分析】根据已知观察图像，可知此题分两段求解，即当C从D点运动到E点时,即0⩽x⩽2时；当A从D点运动到E点时,即2
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 抛物线与x轴交于点（-1, 0）， 抛物线与直线交点的横坐标为1和 -32
∴ 不等式mx+n ＜ax2+bx+c ＜0的解集为：1＜x＜2
【分析】根据已知条件： 抛物线与x轴交于点（-1, 0）， 抛物线与直线交点的横坐标为1和 -32 ， 观察函数图像可得出不等式mx+n ＜ax2+bx+c ＜0的解集。
8.【答案】 A
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ b2−4ac>0 ，即 b2>4ac ，故①符合题意；
由图象可知：对称轴 x=−b2a=−1 ，
∴ 2a−b=0 ，故②不符合题意；
由图象可知：对称轴为 x=−b2a=−1 ，
∵ |−52+1|>|−12+1| ，
∴可知点C离对称轴的距离比点B离对称轴的距离要远，
∴ y1
∴抛物线与x轴的另一个交点为(1，0)，
∴把点(1，0)代入解析式可得 a+b+c=0 ，故④不符合题意；
故答案为：A ．
【分析】①根据抛物线与X轴交点个数可判断；②根据抛物线对称轴可判断；③根据抛物线与X轴的另一个交点坐标可判断；④根据B、C两点离对称轴的距离的大小可判断。
9.【答案】 D
【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数y=ax^2+bx+c的性质，二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：①设直线 AB 的解析式为 y=kx+b ,把 A(−1,0) ，点 B(1,1) 代入得，
{0=−k+b1=k+b 解得， {k=12b=12 ，
∴直线 AB 的解析式为 y=12x+12 ，故①符合题意；
②∵抛物线 y=ax2−x+1(a≠0) 与直线 y=12x+12 有两个不同的交点，
令 12 x+ 12 =ax2−x+1，则 ax2−32x+12=0 ,
∴方程 ax2−32x+12=0 有两个不相等的实数根，故②符合题意；
③∵抛物线 y=ax2−x+1(a≠0) 与直线 y=12x+12 有两个不同的交点，
∴令 12 x+ 12 =ax2−x+1，则2ax2−3x+1=0
∴Δ=9−8a>0
∴a< 98
a<0时， {a+1+1⩽0a−1+1⩽1
解得：a⩽−2
∴a⩽−2，
当a>0时， {a+1+1⩾0a−1+1⩾1
解得：a⩾1
∴1⩽a< 98
综上所述：1⩽a< 98 或a⩽−2, 故③符合题意.
故答案为：D.
【分析】①设直线 AB 的解析式为 y=kx+b ,把 A(−1,0) ，点 B(1,1) 代入即可得到答案；②∵抛物线 y=ax2−x+1(a≠0) 与直线 y=12x+12 有两个不同的交点，令 12 x+ 12 =ax2−x+1，则 ax2−32x+12=0 即可得到结论；③ 分a>0，a<0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围．
10.【答案】 D
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵抛物线开口向下，
∴ a<0 ，
∵对称轴直线 x=−b2a=1 ，
∴ b=−2a>0 ，
∴ 2a+b=0 ，
故①②符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线 x=1 ，
∴点 (4,y) 与 (−2,y) 关于直线 x=1 对称，
∵ x=4 时， y<0 ，
∴ x=−2 时， y<0 ，即 4a−2b+c<0 ，
故③符合题意；
∵抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0) ，其顶点坐标为 (1,n) ，
∴ n=a+b+c>0 ，
故④符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线 x=1 ，抛物线与x轴的一个交点在 (3,0) 和 (4,0) 之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在 (−2,0) 和 (−1,0) 之间，
∴关于x的方程 0=ax2+bx+c 的另一个解在 −2 和 −1 之间，
故⑤不符合题意；
∴符合题意结论的有①②③④共4个，
故答案为：D．
【分析】由抛物线开口向下，对称轴直线 x=−b2a=1 ，得出2a+b=0 ，故①②符合题意；再利用二次函数的图象与系数的关系及二次函数与一元二次方程的关系求解即可。
二、填空题
11.【答案】 ﹣2＜x＜1
【考点】二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3），
∴当有y2＞y1时，有﹣2＜x＜1，
故答案为：﹣2＜x＜1．
【分析】关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断y2＞y1时，x的取值范围．
12.【答案】 -1＜x＜5
【考点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵当-1
【分析】求不等式 ax2+bx+c
【考点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】依题意得： y=100(1+x)2
故答案为： y=100(1+x)2
【分析】根据：现有量=原有量×(1+增长率 )n ,即可列方程求解．
14.【答案】 y＝100（1+x）2（x＞0）
【考点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】根据题意，得：y关于x的函数关系式为y＝100（1+x）2（x＞0）．
故答案为：y＝100（1+x）2（x＞0）．
【分析】根据某工厂2017年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0）， 列函数解析式即可。
15.【答案】 y=-12x2+3x
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】因为 A ( 2 , m ) , B ( 4 , m )， Δ A O B 的面积为4
12AB×h=12×(4-2)×h=4
h=4;
∴m=4
即A（2,4）；B(4,4)
由图像经过原点O设函数解析式为y=ax2+bx,将A（2,4）；B(4,4)代入得
4a+2b=416a+4b=4解得a=-12b=3
所以抛物线解析式为y =- 12 x 2 + 3 x
【分析】Δ A O B 的面积为4且抛物线也经过 A ( 2 , m ) , B ( 4 , m )可得AB与X轴平行，算得的高即为m的值；再由待定系数法可得抛物线解析式为为y =- 12 x 2 + 3 x。
16.【答案】 65
【考点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设最大利润为w元，
则w=（x﹣30）（100﹣x）=﹣（x﹣65）2+1225，
∵﹣1＜0，0＜x＜100，
∴当x=65时，二次函数有最大值1225，
∴定价是65元时，利润最大．
故答案为：65．
【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．
17.【答案】 46
【考点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，
∴MN的对称轴为直线x= 18+282 =23，
∴他通过整个桥面OA共需23×2=46（秒）．
故答案为：46．
【分析】由题意及抛物线的对称性，可求得抛物线的对称轴，从而可得小强通过整个桥面OA的一半所需要的时间，再乘以2即可得出答案。
18.【答案】 ①③⑤
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的其他应用
【解析】【解答】∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴对称轴为x=- b2a =1，
∴2a+b=0，①符合题意，
∵a <0 ，b >0 ,抛物线与y轴交于正半轴，
∴c >0，
∴abc < 0，②不符合题意，
∵把抛物线向下平移3个单位长度得到y= ax2+bx+c-3,此时抛物线的顶点也向下平移3个单位长度，
∴顶点坐标为（1,0），抛物线与x轴只有一个交点，即方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根， ③符合题意.
∵对称轴为x=- b2a =1，与x轴的一个交点为（4,0），根据对称性质可知与x轴的另一个交点为（-2，0），④不符合题意，
由抛物线和直线的图像可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1. ， ⑤符合题意.
【分析】①根据拋物线的开口方向以及对称轴为x=1,即可得出a、b之间的关系以及ab的正负,由此得出①符合题意，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上,可知c为正结合a<0、b>0即可得出②不符合题意，将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x轴只有一个交点从而得知③符合题意，根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x=1以及点B的坐标,即可得出抛物线与x轴的另一交点坐标,④符合题意，⑤根据两函数图象的上下位置关系即可解题.
三、解答题
19.【答案】 解：（1）OA=1;
（2）∵抛物线y=12x2+bx+c过点A (－1,0),
∴b=c+12,
∵bc=3,
∴cc+12=3,
∵c＜0,
∴c=-2
∴b=-32,
∴抛物线的解析式y=12x2-32x-2;
（3）①设点P坐标为（x,12x2-32x-2）．
∵点A的坐标为（﹣1,0）,点B坐标为（4,0）,点C坐标为（0,﹣2）,
∴AB=5,OC=2,直线BC的解析式为y=12x﹣2．
分两种情况：
（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时,0＜S＜S△ACB ．
∵S△ACB=12AB•OC=5,
∴0＜S＜5;
（Ⅱ）当0＜x＜4时,过点P作PG⊥x轴于点G,交CB于点F．
∴点F坐标为（x,12x﹣2）,
∴PF=PG﹣GF=﹣（12x2﹣32x﹣2）+（12x﹣2）=﹣12x2+2x,
∴S=S△PFC+S△PFB=12PF•OB=12（﹣12x2+2x）×4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4,
∴当x=2时,S最大值=4,
∴0＜S≤4．
综上可知0＜S＜5;
②∵0＜S＜5,S为整数,
∴S=1,2,3,4．
分两种情况：
（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时,设△PBC中BC边上的高为h．
∵点A的坐标为（﹣1,0）,点B坐标为（4,0）,点C坐标为（0,﹣2）,
∴AC2=1+4=5,BC2=16+4=20,AB2=25,
∴AC2+BC2=AB2,∠ACB=90°,BC边上的高AC=5 ．
∵S=12BC•h,∴h=2SBC=2S25=55S ．
如果S=1,那么h=55×1=55＜5,此时P点有1个,△PBC有1个;
如果S=2,那么h=55×2=255＜5,此时P点有1个,△PBC有1个;
如果S=3,那么h=55×3=355＜5,此时P点有1个,△PBC有1个;
如果S=4,那么h=55×4=455＜5,此时P点有1个,△PBC有1个;
即当﹣1＜x＜0时,满足条件的△PBC共有4个;
（Ⅱ）当0＜x＜4时,S=﹣x2+4x．
如果S=1,那么﹣x2+4x=1,即x2﹣4x+1=0,
∵△=16﹣4=12＞0,∴方程有两个不相等的实数根,此时P点有2个,△PBC有2个;
如果S=2,那么﹣x2+4x=2,即x2﹣4x+2=0,
∵△=16﹣8=8＞0,∴方程有两个不相等的实数根,此时P点有2个,△PBC有2个;
如果S=3,那么﹣x2+4x=3,即x2﹣4x+3=0,
∵△=16﹣12=4＞0,∴方程有两个不相等的实数根,此时P点有2个,△PBC有2个;
如果S=4,那么﹣x2+4x=4,即x2﹣4x+4=0,
∵△=16﹣16=0,∴方程有两个相等的实数根,此时P点有1个,△PBC有1个;
即当0＜x＜4时,满足条件的△PBC共有7个;
综上可知,满足条件的△PBC共有4+7=11个．
故答案为12+c,﹣2c;11．
【考点】二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】 【分析】
（1）由点A的坐标为(－1,0)可得：OA=1;
（2）根据抛物线y=12x2+bx+c过点A (－1,0),得到：b = c+12,联立bc=3,求出b,c的值即可;
（3）①分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时;（Ⅱ）当0＜x＜4时;
②由0＜S＜5,S为整数,得出S=1,2,3,4．分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当﹣1＜x＜0时,（Ⅱ）当0＜x＜4时．
20.【答案】 （1）根据题意,得y=x·6-3x2=-32x2+3x0
∴当窗框的长为32m和宽为1 m时，才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为32m2.
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）由窗框的宽为x m，则长为6-3x2 m，从而根据矩形面积公式得出函数关系式即可；
（2）根据二次函数解析式，用配方法求其最大值即可．
21.【答案】 解：由题意得，商品每件定价x元时，每件降价（55﹣x）元，销售量为[100+10（55﹣x）]件，
则y=[100+10（55﹣x）]（x﹣40）=﹣10x2+1050x﹣26000，
即每天销售该商品获利金额y（元）与定价x（元）之间的函数关系式为y=﹣10x2+1050x﹣26000．
【考点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】由题意可知：每天销售该商品获利金额y=每一件的利润×销售量，因此先根据题意求出销售量及每一件的利润，再列出y与x的函数关系式。
22.【答案】 解：设AB得长为xm，
矩形场地的面积是：x• 80-x2 =− 12 (x−40)2+800，
∴当x=40时， 80-x2 =20，矩形场地的面积最大，最大值是800m2 ，
故答案为：20，800．
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意可以列出矩形场地的面积，从而可以得到当AD为多少时，矩形场地的面积最大，求出相应的最大值．
23.【答案】 解：（1）设9月份的销售单价为x元，销售的保温瓶y件，
xy=200000.9xy+50=27000
解得，x=200y=100
即该保温水瓶9月份的销售单价是200元；
（2）设销售的利润为w，由题意可得，
w=（200×x10﹣80）（﹣50x+600）=﹣1000x2+16000x﹣48000=﹣1000（x﹣8）2+16000，
∴x=8时，w取得最大值，此时w=16000，
即商场打8折时利润最大，最大利润是16000元；
（3）由（1）和（2）及题意可得，
（200﹣80）×100=（200×n10﹣80）（﹣50n+600）
解得，n=6或n=10
即n的值是6或10．
【考点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据人民商场销售某保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元，可以设出9月份的保温瓶销售单价和销售数量，从而可以列出相应的二元一次方程组，即可解答本题；
（2）根据题意可以列出销售利润的关系式，将其化为顶点式，即可求得最大利润和此时的打折数；
（3）由（1）和（2）和题意可以列出相应的关系式，从而可以求得n的值．
24.【答案】 解：（1）过点A作AH⊥BC于点H．
∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°，
∴AH=AB•sinB=33
∵四边形ABCD为直角梯形
∴四边形AHCD为矩形
∴CD=AH=33 ．
∵tan∠CAD=CDAD=33
∴∠CAD=30°
∵EF∥AC
∴∠1=∠CAD=30°；
（2）点G恰好在BC上，由对折的对称性可知△FGE≌△FDE，
∴GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°
∴∠GEC=60°
∵△CEG是直角三角形
∴∠EGC=30°
∴在Rt△CEG中，EC=12EG=12x
由DE+EC=CD得x+12x=33
∴x=23；
当0≤x≤23时，
y=S△EGF=S△EDF=12·DE·DF=12x·3x=32x2 ，
∵32＞0，对称轴为y轴
∴当0≤x≤23 ， y随x的增大而增大
∴当x=23时，y最大值=63；
当23＜x≤33时，设FG，EG分别交BC于点M、N
∵DE=x，
∴EC=33﹣x，NE=2(33﹣x)，
∴NG=GE﹣NE=3x﹣63 ．
又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°，
∴MG=NG•tan30°=333x-63 ，
S△MNG=12NG·MG=123x-63×333x-63=363x-632 ，
y=S△EGF﹣S△MNG=23x2-363x-632=-3x2+18x-183 ．
∵-3<0，对称轴为直线x=182×-3=33 ，
∴当23＜x≤33时，y有最大值，
∴当x=33时，y最大值=4×3×183-182-43=93 ．
综合两种情形：由于63＜93
∴当x=33时，y的值最大，y的最大值为93；
（3）由题意可知：AB=6，分三种情况：
①若AE=BE，解得t=9
②若AB=AE，解得t=9﹣26
③若BA=BE，解得t=12﹣33 ．
【考点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】
（1）过点A作AH⊥BC于点H，构建Rt△AHB和矩形AHCD；通过解直角三角形、矩形的性质求得CD=AH=33 ． 则tan∠CAD=CDAD=33 ， 故∠CAD=30°；然后由平行线的性质推知∠1=∠CAD=30°；
（2）根据△EFG≌△EFD列出y的表达式，从而讨论x的范围，分别得出可能的值即可；
（3）需要分类讨论：以AB为底和以AB为腰的情况．
25.【答案】 解：（1）∵y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴当y=0时，x=﹣3，即A点坐标为（﹣3，0），
当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3），
将A（﹣3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，
得-9-3b+c=0c=3 ，
解得b=-2c=3 ，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，设第三象限内的点F的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），则m＜0，﹣m2﹣2m+3＜0．
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，
∴对称轴为直线x=﹣1，顶点D的坐标为（﹣1，4），
设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，则G（﹣1，0），AG=2．
∵直线AB的解析式为y=x+3，
∴当x=﹣1时，y=﹣1+3=2，
∴E点坐标为（﹣1，2）．
∵S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG=12×2×2+12×2×（m2+2m﹣3）﹣12×2×（﹣1﹣m）=m2+3m，
∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时，m2+3m=3，
解得m1=-3-212 ， m2=-3+212（舍去），
当m=-3-212时，﹣m2﹣2m+3=﹣m2﹣3m+m+3=﹣3+m+3=m=-3-212 ，
∴点F的坐标为（-3-212 ， -3-212）；
（3）设P点坐标为（﹣1，n）．
∵B（0，3），C（1，0），
∴BC2=12+32=10．
分三种情况：
①如图2，如果∠PBC=90°，那么PB2+BC2=PC2 ，
即（0+1）2+（n﹣3）2+10=（1+1）2+（n﹣0）2 ，
化简整理得6n=16，解得n=83 ，
∴P点坐标为（﹣1，83），
∵顶点D的坐标为（﹣1，4），
∴PD=4﹣83=43 ，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t1=43；
②如图3，如果∠BPC=90°，那么PB2+PC2=BC2 ，
即（0+1）2+（n﹣3）2+（1+1）2+（n﹣0）2=10，
化简整理得n2﹣3n+2=0，解得n=2或1，
∴P点坐标为（﹣1，2）或（﹣1，1），
∵顶点D的坐标为（﹣1，4），
∴PD=4﹣2=2或PD=4﹣1=3，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t2=2，t3=3；
③如图4，如果∠BCP=90°，那么BC2+PC2=PB2 ，
即10+（1+1）2+（n﹣0）2=（0+1）2+（n﹣3）2 ，
化简整理得6n=﹣4，解得n=﹣23 ，
∴P点坐标为（﹣1，﹣23），
∵顶点D的坐标为（﹣1，4），
∴PD=4+23=143 ，
∵点P的速度为每秒1个单位长度，
∴t4=143；
综上可知，当t为43秒或2秒或3秒或143秒时，以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形．
【考点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）先由直线AB的解析式为y=x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=﹣x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设第三象限内的点F的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D的坐标，再设抛物线的对称轴与x轴交于点G，连接FG，根据S△AEF=S△AEG+S△AFG﹣S△EFG=3，列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得出点F的坐标；
（3）设P点坐标为（﹣1，n）．先由B、C两点坐标，运用勾股定理求出BC2=10，再分三种情况进行讨论：①∠PBC=90°，先由勾股定理得出PB2+BC2=PC2 ， 据此列出关于n的方程，求出n的值，再计算出PD的长度，然后根据时间=路程÷速度，即可求出此时对应的t值；②∠BPC=90°，同①可求出对应的t值；③∠BCP=90°，同①可求出对应的t值．
26.【答案】 （1）y=(x−1)2+3
（2）45°；提示：过点 B 作 BQ⊥y 轴，垂足为 Q ，证 △ABQ∼△EBD ， BD 的斜率为 ∠ABD−∠DBE=∠DBQ=45°
（3）21+3774 ；提示：（焦点准线问题）作直线 y=114 ，证明点 K 到直线 y=114 的距离等于 KF ，点 A 到直线 y=114 的距离为 214 ，故三角形 AKF 的周长的最小值为 AF+214=21+3774 ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）将D点（0，4）代入抛物线解析式求解即可；
（2）由中点坐标公式可得：点E（-1，5），则∠HBD=∠EBD ， 则∠ABH=∠ABD-∠DBE ， 进而求解；
（3）设点K（x，y），则KF2=（x-1）2+（y-134）2 ， 则KF=y-114 ， 即KF=HK，进而求解。
27.【答案】 （1）由 x2−8x+12=0 得 x=6 或 x=2 ．
又∵ OC>OB ，∴点 B 的坐标为 (2,0) ，点 C 的坐标为 (0,6) ．
∵ OA=OC ，∴点 A 的坐标为 (−6,0) ．
设抛物线的函数解析式为 y=ax2+bx+c ，
将点 A ， B ， C 的坐标代入 y=ax2+bx+c 中，
得 {36a−6b+c=04a+2b+c=0c=6 ，解得 {a=−12b=−2c=6 ．
∴过 A ， B ， C 三点的抛物线的函数解析式为 y=−12x2−2x+6 ．
（2）∵ OA=OC ，∴ ∠ACO=45° ．
由题意得 PC=2t ， CQ=6−t ，∴ |xP|=PC⋅sin45°=2t ．
∴ S△CPQ=12×CQ×|xP|=12×(6−t)×2t=−22(t2−6t) ．
∵ −22<0 ，∴当 t=3 时， S△CPQ 有最大值，最大值为 922 ．
（3）①如图，当点 M 在 AC 上方时，过点 M 作 ME⊥x 轴于点 E ，
作 MF⊥y 轴于点 F ，连接 MC ．
∵ ∠ACM=15° ， ∠ACO=45° ，∴ ∠OCM=60° ．
设点 M 的坐标为 (m,−12m2−2m+6)(−6
∴ CF=33MF=−33m ．∴ OF=OC−CF=6+33m ．
∵ ∠MEO=∠EOF=∠MFO=90° ，
∴四边形 MEOF 是矩形．∴ ME=OF ．
即 −12m2−2m+6=6+33m ，解得 m1=0 （舍去）， m2=−4−233 ．
∴ ME=6+33m=16−433 ．
∴点 M 的坐标为 [−4−233,16−433] ．
②如图，当点 M 在 AC 下方时，过点 M 作 MH⊥x 轴于点 H ，
设 MC 与 x 轴交于点 G ，连接 MC ．
设点 M 的坐标为 (n,−12n2−2n+6)(n<−6) ，
则 OH=−n ， MH=12n2+2n−6 ．
∵ ∠ACM=15° ， ∠CAO=45° ，
∴ ∠CGO=∠HGM=∠CAG+∠ACM=60° ．
在 Rt△CGO 中，∵ OC=6 ，∴ OG=OCtan∠CGO=23 ．
∴ GH=OH−OG=−n−23 ．
在 Rt△MGH 中， MH=GH⋅tan∠HGM=3GH ，
∴ 12n2+2n−6=−3n−6 ，
解得 n1=0 （舍去）， n2=−4−23 ．
∴ GH=−n−23=4 ， MH=3GH=43 ．
∴点 M 的坐标为 (−4−23,−43) ．
综上所述，存在点 M ，使得 ∠ACM=15° ，
且点 M 的坐标为 [−4−233,16−433] 或 (−4−23,−43) ．
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题，二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）由 x2−8x+12=0 得 x=6 或 x=2 ． 得到点B、C的坐标，再由图象的旋转得到A、D的坐标，最后利用待定系数法求解即可；
（2）由S△CPQ=12CQ×xP=12×2t（6-t）=-22（t2-6t），即可求解；
（3）分AD时正方形的对角线、AD时正方形的边两种情况，利用三角形全等即可求解。
28.【答案】 解：（1）把点A（0，m）代入y=ax-222-m ，
得：2am2﹣m=m，
am﹣1=0，
∵am＞1，
∴a=1m ，
∴y=1mx-2m2-m ，
故答案为：y=1mx-2m2-m；
（2）DE=12BC．
理由：又抛物线y=1mx-2m2-m ， 可得抛物线的顶点坐标P（2m，﹣m），
由l：x=2m，可得：点B（22m，m），
∴点C（22m，0）．
设直线BP的解析式为y=kx+b，点P（2m，﹣m）和点B（22m，m）在这条直线上，
得：2mk+b=-m22mk+b=m ， 解得：k=2b=-3m ，
∴直线BP的解析式为：y=2x﹣3m，
令y=0，2x﹣3m=0，解得：x=322m ，
∴点D（322m ， 0）；
设直线CP的解析式为y=k1x+b1 ， 点P（2m，﹣m）和点C（22m，0）在这条直线上，
得：22mk1+b1=02mk1+b1=-m ， 解得：k1=22b1=-2m ，
∴直线CP的解析式为：y=22x﹣2m；
抛物线与直线CP相交于点E，可得：y=1mx-2m2-my=22x-2m ， 解得：x1=322my1==-m2 ， x2=2my2=-m（舍去），
∴点E（322m ， m2）；
∵xD=xE ，
∴DE⊥x轴，
∴DE=yD﹣yE=m2 ， BC=yB﹣yC=m=2DE，
即DE=12BC；
（3）C′（423m ， 23m）．
连接CC′，交直线BP于点F，
∵BC′=BC，∠C′BF=∠CBF，
∴CC′⊥BP，CF=C′F，
设直线BP的解析式为y=kx+b，点B（22m，m），P（2m，﹣m）在直线上，
∴22mk+b=m2mk+m=-m ， 解得：k=2b=-3m ，
∴直线BP的解析式为：y=2x﹣3m，
∵CC′⊥BP，
∴设直线CC′的解析式为：y=-22x+b1 ，
∴-22x22m+b1=0，解得：b1=2m，
联立①②，得：y=2x-3my=-22x+2m ， 解得：x=523my=m3 ，
∴点F（523m ， m3），
∴CF=523m-22m2+m32=33m ，
设点C′的坐标为（a，-22a+2m），
∴C′F=523m-a2+m3+22a-2m2=33m ， 解得：a=423m ，
∴-22a+2m=23m，
∴C′（423m ， 23m）．
【考点】二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线解析式，即可求出a的值；
（2）根据抛物线的解析式，求出顶点P的坐标，根据对称轴，求出点B，C的坐标，根据待定系数法求出直线BP、CP的解析式，求出点D、E的坐标，进而求出DE，BC的长度，即可解得；
（3）连接CC′交直线BP于点F，则CC′⊥BP，且CF=C′F，求出CC′的解析式，进而求得点F的坐标，根据CF=C′F，即可解答．
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