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初中数学苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆综合与测试同步达标检测题
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这是一份初中数学苏科版九年级上册第2章 对称图形——圆综合与测试同步达标检测题，共39页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
圆--章节提优练习
一、选择题
1. 如图，在菱形 ABCD 中，∠BAC=60∘，以顶点 B 为圆心，以 AB 长为半径画圆，延长 DC 交 ⊙B 于点 E，则 CE 的度数等于
A． 120∘ B． 90∘ C． 60∘ D． 30∘
2. 已知 ⊙O 的直径 CD=10 cm，AB 是 ⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为 M，且 AB=8 cm，则 AC 的长为
A．25 cm B．45 cm
C．25 cm 或 45 cm D．23 cm 或 43 cm
3. 如图，圆内接正六边形的边长为 4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为
A． 243−4π B． 123+4π C． 243+8π D． 243+4π
4. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，则 ON=
A． 5 B． 7 C． 9 D． 11
5. 对于题目：“如图（1），平面上，正方形内有一长为 12 、宽为 6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数 n．
甲：如图（2），思路是当 x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 n=13．
乙：如图（3），思路是当 x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 n=14．
丙：如图（4），思路是当 x 为矩形的长与宽之和的 22 倍时就可移转过去；结果取 n=13．
下列正确的是
A．甲的思路错，他的 n 值对 B．乙的思路和他的 n 值都对
C．甲和丙的 n 值都对 D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对
6. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，∠B=60∘，AD=83，分别以 B 和 C 为圆心，以大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 P 和 Q，直线 PQ 与 BA 延长线交于点 E，连接 CE，则 △BCE 的内切圆半径是
A． 4 B． 43 C． 2 D． 23
7. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边 AB 上的点 O 为圆心的圆分别与 AC，BC 相切于点 E，F，与 AB 分别相交于点 G，H，且 EH 的延长线与 CB 的延长线交于点 D，则 CD 的长为
A． 22−12a B． 2+12a C． 2a D． 2−14a
8. 如图，矩形 ABCD 中，G 是 BC 的中点，过 A，D，G 三点的 ⊙O 与边 AB，CD 分别交于点 E，点 F，下列说法：① AC 与 BD 的交点是 ⊙O 的圆心；② AF 与 DE 的交点是 ⊙O 的圆心；③ BC 与 ⊙O 相切，其中正确说法的个数是
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
9. 如图，在等腰 △ABC 中，AB=AC=25，BC=8，按下列步骤作图：
①以点 A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 AB，AC 于点 E，F，再分别以点 E，F 为圆心，大于 12EF 的长为半径作弧相交于点 H，作射线 AH；
②分别以点 A，B 为圆心，大于 12AB 的长为半径作弧相交于点 M，N，作直线 MN，交射线 AH 于点 O；
③以点 O 为圆心，线段 OA 长为半径作圆．
则 ⊙O 的半径为
A． 25 B． 10 C． 4 D． 5
10. 如图所示，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，∠CDB=30∘，CD=23，则阴影部分图形的面积为
A．4π B．2π C．π D．2π3
二、填空题
11. 如图所示，若用半径为 8，圆心角为 120∘ 的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 ．
12. 如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径 1，直线 l 的解析式为 y=x+t．若直线 l 与半圆只有一个交点，则 t 的取值范围是 ．
13. 如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线 l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm．
14. 如图，等边三角形 ABC 内接于 ⊙O，点 D 在 ⊙O 上，∠ABD=25∘，则 ∠BAD= ．
15. 已知 △ABC 的直角边 BC=1，斜边 AB=2，在直线 l 上如图所示位置开始滚动，第一次滚动绕 A 点旋转至线段 AB 与直线 l 重合，第二次绕 B 点滚动至线段 BC 与直线 l 重合，依此类推．当 △ABC 滚动一周时，点 B 移动的路程为 ，当 △ABC 滚动 2019 次时点 A 距它初始位置的长度为 ．
16. 在 △ABC 中，若 AB=6，∠ACB=45∘．则 △ABC 的面积的最大值为 ．
17. 如图直线 y=−x+mm>0 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，C 是 AB 的中点，点 D 在直线 y=−2 上，以 CD 为直径的圆与直线 AB 的另一交点为 E，交 y 轴于点 F，G，已知 CE+DE=62，FG=25，则 CD 的长是 ．
18. 如图，在 △ABC 中，AC:BC:AB=5:12:13，⊙O 在 △ABC 内自由移动，若 ⊙O 的半径为 1，且圆心 O 在 △ABC 内所能到达的区域的面积为 152，则 △ABC 的周长为 ．
三、解答题
19. 在 ⊙O 中，AB 为直径，C 为 ⊙O 上一点．
(1) 如图①，过点 C 作 ⊙O 的切线，与 AB 的延长线相交于点 P，若 ∠CAB=32∘，求 ∠P 的大小；
(2) 如图②，D 为优弧 ADC 上一点，且 DO 的延长线经过 AC 的中点 E，连接 DC 与 AB，相交于点 P，若 ∠CAB=16∘，求 ∠DPA 的大小．
20. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，AD 和过 C 点的直线互相垂直，垂足为 D，且 AC 平分 ∠DAB．
(1) 求证：DC 为 ⊙O 的切线；
(2) 若 ⊙O 的半径为 3，AD=4，求 AC 的长．
21. 如图 1，AB 为 ⊙O 的直径，点 C 为 ⊙O 上一点，CD 平分 ∠ACB 交 ⊙O 于点 D，交 AB 于点 E．
(1) 求证：△ABD 为等腰直角三角形．
(2) 如图 2，ED 绕点 D 顺时针旋转 90∘，得到 DEʹ，连接 BEʹ，证明：BEʹ 为 ⊙O 的切线．
(3) 如图 3，点 F 为弧 BD 的中点，连接 AF，交 BD 于点 G，若 DF=1，求 AG 的长．
22. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，BC 是弦，弦 BD 平分 ∠ABC 交 AC 于 F，弦 DE⊥AB 于 H，交 AC于G．
(1) 求证：AG=GD；
(2) 当 ∠ABC 满足什么条件时，△DFG 是等边三角形？并说明理由．
23. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和 ⊙C，给出如下定义：若 ⊙C 上存在点 A，使得 ∠APC=30∘，则称 P 为 ⊙C 的半角关联点．
当 ⊙O 的半径为 1 时，
(1) 在点 D12,−12，E2,0，F0,23 中，⊙O 的半角关联点是 ；
(2) 直线 l:y=−33x−2 交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，若直线 l 上的点 Pm,n 是 ⊙O 的半角关联点，求 m 的取值范围．
24. 如图，在边长为 8 的正方形 ABCD 中，点 O 为 AD 上一动点 4
(1) 求证：△ODE∽△ECF．
(2) 在点 O 的运动过程中，设 DE=x：
①求 OD⋅CF 的最大值，并求此时 ⊙O 的半径长；
②判断 △CEF 的周长是否为定值？若是，求出 △CEF 的周长；否则，请说明理由．
25. 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 与 x 轴交于点 A−4,0，B2,0，与 y 轴交于点 C0,4，线段 BC 的中垂线与对称轴 l 交于点 D，与 x 轴交于点 F，与 BC 交于点 E，对称轴 l 与 x 轴交于点 H．
(1) 求抛物线的函数表达式．
(2) 求点 D 的坐标．
(3) 点 P 为 x 轴上一点，⊙P 与直线 BC 相切于点 Q，与直线 DE 相切于点 R．求点 P 的坐标．
(4) 点 M 为 x 轴上方抛物线上的点，在对称轴 l 上是否存在一点 N，使得以点 D，P，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出 N 点坐标．若不存在，请说明理由．
26. 如图 1，点 E 是 △ABC 的内心，AE 的延长线交 BC 于点 F，交 △ABC 的外接圆 ⊙O 于点 D，连接 BD，过点 D 作直线 DM，使 ∠BDM=∠DAC．
(1) 求证：BC∥MD．
(2) 求证，直线 DM 是 ⊙O 的切线．
(3) 如图 2，若 AB 过圆心 O，BD=5，BC=8，求 △ABC 内切圆的半径长．
27. 已知：AB 是 ⊙O 的直径，PB 切 ⊙O 于点 B，AP 交 ⊙O 于点 C，D 是 ⊙O 上一点，连接 AD，CD．
(1) 如图 1，求证：∠APB=∠ADC；
(2) 如图 2，点 G 在 CD 上，∠CGB=∠BAD，OF⊥AC 于点 F，求证：BG=2OF；
(3) 如图 3，在（2）的条件下，连接 AG 并延长交 ⊙O 于点 H，若 CD 为 ⊙O 直径，当 ∠CGB=∠HGB，OF=3 时，求线段 GH 的长．
28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和 ⊙O，给出如下定义：若存在过点 P 的直线 l 交 ⊙O 于异于点 P 的 A，B 两点，在 P，A，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点 P 为 ⊙O 的相邻点，直线 l 为 ⊙O 关于点 P 的相邻线．
(1) 当 ⊙O 的半径为 1 时，
① 分别判断在点 D12,14,E0,−3,F4,0 中，是 ⊙O 的相邻点有 ；
②请从 ① 中的答案中，任选一个相邻点，在图 1 中做出 ⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程．
③ 点 P 在直线 y=−x+3 上，若点 P 为 ⊙O 的相邻点，求点 P 横坐标的取值范围；
(2) ⊙O 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y=−33x+23 与 x 轴，y 轴分别交于点 M，N，若线段 MN 上存在 ⊙O 的相邻点 P，直接写出圆心 O 的横坐标的取值范围．
答案
一、选择题
1. 【答案】C
【知识点】弧、弦、圆心角的关系定理
2. 【答案】C
【解析】连接 AC，AO．
∵⊙O 的直径 CD=10 cm，AB⊥CD，AB=8 cm，
∴AM=12AB=12×8=4 cm，OD=OC=5 cm，
当 C 点位置如图所示时，
∵OA=5 cm，AM=4 cm，CD⊥AB，
∴OM=OA2−AM2=52−42=3 cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8 cm，
∴AC=AM2+CM2=42+82=45 cm；
当 C 点位置如图所示时，同理可得 OM=3 cm，
∵OC=5 cm，
∴MC=5−3=2 cm，
在 Rt△AMC 中，AC=AM2+MC2=42+22=25 cm．
【知识点】垂径定理
3. 【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
4. 【答案】A
【解析】由题意可得，ON⊥AB，OA=13，AB=24，
∴AN=12，
∴ON=OA2−AN2=132−122=5．
【知识点】垂径定理、勾股定理
5. 【答案】B
【知识点】勾股定理、三角形的外接圆与外心、矩形的性质
6. 【答案】A
【解析】 ∵ 在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD=83，
由作图过程可得 EB=EC，
∵∠B=60∘，
∴△EBC 是等边三角形，
∴△BCE 的内切圆半径是 13×83×12×3=4．
【知识点】三角形的内切圆，内心
7. 【答案】B
【解析】 ∵△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边 AB 上的点 O 为圆心的圆分别与 AC，BC 相切于点 E，F，与 AB 分别相交于点 G，H，且 EH 的延长线与 CB 的延长线交于点 D，
∴ 连接 OE，OF，
由切线的性质可得 OE=OF=⊙O 的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90∘，
∴OECF 是正方形，
∵ 由 △ABC 的面积可知 12×AC×BC=12×AC×OE+12×BC×OF，
∴OE=OF=12a=EC=CF，BF=BC−CF=0.5a，GH=2OE=a，
∵ 由切割线定理可得 BF2=BH⋅BG，
∴14a2=BHBH+a，
∴BH=−1+22a 或 BH=−1−22a（舍去），
∵OE∥DB，OE=OH，
∴△OEH∽△BDH，
∴OEOH=BDBH，
∴BH=BD，CD=BC+BD=a+−1+22a=1+22a．
【知识点】切线的性质、基本定理、两角分别相等
8. 【答案】C
【解析】连接 DG，AG，作 GH⊥AD 于点 H，连接 OD，EF，如图．
∵G 是 BC 的中点，
∴AG=DG，
∴GH 垂直平分 AD，
∴ 点 O 在 HG 上．
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC 与 ⊙O 相切，故③正确．
∵OG=OD，
∴O 不是 HG 的中点，
∴ 圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点，故①不正确．
∵∠ADF=∠DAE=90∘，
∴∠AEF=90∘，
∴ 四边形 AEFD 为 ⊙O 的内接矩形，
∴AF 与 DE 的交点是 ⊙O 的圆心，故②正确．
【知识点】圆周角定理推论、切线的判定
9. 【答案】D
【解析】如图，设 OA 交 BC 于 T．
∵AB=AC=25，AO 平分 ∠BAC，
∴AO⊥BC，BT=TC=4，
∴AT=AC2−CT2=252−42=2，
在 Rt△OCT 中，则有 r2=r−22+42，解得 r=5．
【知识点】垂径定理
10. 【答案】D
【解析】设弦 CD 和直径 AB 相交于点 E，
因为弦 CD⊥AB，
所以 ∠OEC=∠BED=90∘，CE=DE=12CD=3．
又 ∠CDB=30∘，
所以 ∠COB=60∘，∠OCE=30∘，
所以 ∠OCE=∠BDE，
所以 △COE≌△DBE，
所以 S△COE=S△DBE，则阴影部分的面积等于扇形 OBC 的面积．
在 △COE 中，由勾股定理可得 OC=2，
所以 S阴影=S扇形OBC=60π×22360=2π3．
【知识点】垂径定理、弧长面积的计算、圆周角定理
二、填空题
11. 【答案】 83
【知识点】圆锥的计算
12. 【答案】 t=2 或 −1≤t<1
【解析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点 C 或从直线过点 A 开始到直线过点 B 结束（不包括直线过点 A）．
直线 y=x+t 与 x 轴所形成的锐角是 45∘．
当直线和半圆相切于点 C 时，则 OC 垂直于直线，∠COD=45∘．
又 OC=1，则 CD=OD=22，即点 C−22,22，
把点 C 的坐标代入直线解析式，得 t=y−x=2，
当直线过点 A 时，把点 A−1,0 代入直线解析式，得 t=y−x=1．
当直线过点 B 时，把点 B1,0 代入直线解析式，得 t=y−x=−1．
即当 t=2 或 −1≤t<1 时，直线和圆只有一个公共点．
【知识点】勾股定理、切线的性质、一次函数的图象与性质
13. 【答案】 50
【解析】如图，设圆心为 O，连接 AO，CO，
∵ 直线 l 是它的对称轴，
∴CM=30，AN=40．
∵CM2+OM2=AN2+ON2，
∴302+OM2=402+70−OM2．
解得 OM=40．
∴OC=302+402=50．
∴ 能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 50 mm．
【知识点】勾股定理、垂径定理
14. 【答案】 95°
【解析】 ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60∘．
∵∠ABD=25∘，
∴∠CBD=35∘．
∵CD=CD，
∴∠DAC=∠CBD=35∘．
∴∠BAD=60∘+35∘=95∘．
【知识点】等边三角形三个角相等，都等于60°、圆周角定理及其推理
15. 【答案】 136π ； 2019+6733
【解析】在 Rt△ACB 中，AB=2，BC=1，∠ACB=90∘，
∴AC=AB2−BC2=3，
∴sin∠BAC=BCAB=12，
∴∠BAC=30∘，
∴ 第一次旋转，点 B 移动的路程为 180−30π⋅AB180=5π×26=5π3，
第二次旋转以点 B 为旋转中心，
故点 B 没有移动，
第二次旋转以点 C 为旋转中心，旋转 90∘，
∴ 点 B 移动的路程为 90π⋅BC180=π2，
∴ 当 △ABC 滚动一周时，点 B 运动的路程为：5π3+π2=10π6+3π2=13π6，
∵△ABC 滚动一周需要滚动 3 次，
∴ 每滚动 3 次，点 A 距它的初始位置的长度为 1+2+3=3+3，
∵2019÷3=673．
∴ 当 △ABC 滚动 2019 次时，△ABC 向右滚动了 673 次，
∴673×3+3=2019+6733，
∴ 当 △ABC 滚动 2019 次时，点 A 距它初始位置的长度为 2019+6733．
【知识点】弧长的计算
16. 【答案】 92+9
【解析】作 △ABC 的外接圆 ⊙O，过 C 作 CM⊥AB 于 M．
∵ 弦 AB 已确定，
∴ 要使 △ABC 的面积最大，只要 CM 取最大值即可，
如图所示，当 CM 过圆心 O 时，CM 最大，
∵CM⊥AB，CM 过 O，
∴AM=BM（垂径定理），
∴AC=BC，
∵∠AOB=2∠ACB=2×45∘=90∘，
∴OM=AM=12AB=12×6=3，
∴OA=OM2+AM2=32，
∴CM=OC+OM=32+3，
∴S△ABC=12AB⋅CM=12×6×32+3=92+9．
【知识点】垂径定理、三角形的外接圆与外心、勾股定理
17. 【答案】 35
【解析】如图，设 CD 的中点为 Oʹ，设直线 BA 交直线 y=−2 于 M，直线 y=−2 交 y 轴于 P，作 CH⊥OB 于 H，连接 OʹF，作 AJ⊥DM 于 J，OʹN⊥FG 于 N．
∵CD 是 ⊙Oʹ 的直径，
∴∠CED=90∘，
∵ 直线 y=−x+mm>0 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，
∴Am,0，B0,m，
∴OA=OB，
∴∠OAB=45∘，
∵OA∥DM，
∴∠EMD=∠OAB=45∘，
∵∠DEM=90∘，
∴ED=EM，
∴EC+ED=EC+EM=CM=62，
∵JA⊥DM，
∴∠AJM=90∘，
∴AJ=JM=2，
AM=22，
∴BC=CA=42，
∴AB=82，
∴BO=AO=8，
∴A8,0，B0,8，C4,4，
设 Dm,−2，则 Oʹ12m+4,1，
∴OʹN=12m+4，OʹF=12CD=12m−42+62，
∵OʹN⊥FG，
∴FN=12FG=5．
在 Rt△OʹFN 中，由勾股定理，得：52+14m+42=14m−42+62．
解得：m=1．
∴CD=1−42+62=35．
【知识点】勾股定理、一次函数的解析式、圆周角定理及其推理
18. 【答案】 30
【解析】如图，由题意点 O 所能到达的区域是 △EFG，连接 AE，延长 AE 交 BC 于 H，作 HM⊥AB 于 M，EK⊥AC 于 K，作 FJ⊥AC 于 J．
因为 EG∥AB，EF∥AC，FG∥BC，
所以 ∠EGF=∠ABC，∠FEG=∠CAB，
所以 △EFG∽△ACB，
所以 EF:FG:EG=AC:BC:AB=5:12:13，
设 EF=5k，FG=12k，
因为 12×5k×12k=152，
所以 k=12或−12（舍弃），
所以 EF=52，
因为四边形 EKJF 是矩形，
所以 KJ=EF=52，
设 AC=5m，BC=12m，AB=13m，
因为 ∠ACH=∠AMH=90∘，∠HAC=∠HAM，AH=AH，
所以 △HAC≌△HAMAAS，
所以 AM=AC=5m，CH=HM，BM=8m，设 CH=HM=x，
在 Rt△BHM 中，则有 x2+8m2=12m−x2，
所以 x=103m，
因为 EK∥CH，
所以 EKCH=AKAC，
所以 1103m=AK5m，
所以 AK=32，
所以 AC=AK+KJ+CJ=32+52+1=5，
所以 BC=15×5×12=12，AB=15×5×13=13，
所以 △ABC 的周长 =AC+BC+AB=5+12+13=30．
【知识点】性质与判定综合（D）、切线的性质、性质与判定综合(D)
三、解答题
19. 【答案】
(1) 连接 OC，如图①，
∵PC 为切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90∘，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB=32∘，
∴∠POC=∠OCA+∠CAB=64∘，
∴∠P=90∘−∠POC=90∘−64∘=26∘．
(2) 如图②，
∵ 点 E 为 AC 的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠OEA=90∘，
∴∠AOD=∠CAB+∠OEA=16∘+90∘=106∘，
∴∠C=12∠AOD=53∘，
∴∠DPA=∠BAC+∠C=16∘+53∘=69∘．
【知识点】切线的性质、三角形的外角及外角性质、垂径定理
20. 【答案】
(1) 如图，连接 OC，
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA．
∵ AC 平分 ∠DAB，
∴ ∠DAC=∠OAC．
∴ ∠DAC=∠OCA．
∴ OC∥AD．
∵ AD⊥CD，
∴ OC⊥CD．
∵ OC 是 ⊙O 的半径，
∴ DC 为 ⊙O 的切线；
(2) 如图，连接 BC，则 ∠ACB=90∘，
∵ ∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90∘，
∴ △ADC∽△ACB．
∴ ADAC=ACAB．
∴ AC2=AD⋅AB．
∵ ⊙O 的半径为 3，AD=4，
∴ AB=6．
∴ AC=26．
【知识点】圆周角定理推论、两角分别相等、切线的判定
21. 【答案】
(1) ∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=∠ADB=90∘，
∵CD 平分 ∠ACB，
∴AD=BD，
∴AD=BD，
∴△ABD 是等腰直角三角形．
(2) 由旋转的性质得，∠EDEʹ=90∘，DE=DEʹ，
∵∠ADB=90∘，
∴∠ADE=∠BDEʹ，
∵AD=BD，
∴△ADE≌△BDEʹSAS，
∴∠DAE=∠DBEʹ，
∵∠EAD=∠DCB=45∘，∠ABD=∠DCA=45∘，
∴∠OBE=∠ABD+∠DBEʹ=90∘，
∴BEʹ 为 ⊙O 的切线．
(3) ∵ 点 F 为 BD 的中点，
∴∠FAD=12∠DAB=22.5∘，
取 AG 的中点 H，连接 DH，
∵∠ADB=90∘，
∴DH=AH=GH，
∴∠ADH=∠FAD=22.5∘，
∴∠DHF=∠ADH+∠FAD=45∘，
∵∠AFD=∠ACD=45∘，
∴∠DHF=∠AFD，
∴DH=DF=1，
∴AG=2DH=2．
【知识点】弧、弦、圆心角的关系定理、切线的判定、边角边、圆周角定理及其推理、直角三角形斜边的中线、等腰直角三角形
22. 【答案】
(1) 连接 AD，
∵ DE⊥AB，AB 是 ⊙O 的直径，
∴ AD=AE，
∴ ∠ADE=∠ABD．
∵ 弦 BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠DBC=∠ABD．
∵ ∠DBC=∠DAC，
∴ ∠ADE=∠DAC，
∴ AG=GD．
(2) 当 ∠ABC=60∘ 时，△DFG 是等边三角形．
理由：
∵ 弦 BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠DBC=∠ABD=30∘．
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠ACB=90∘，
∴ ∠CAB=90∘−∠ABC=30∘，
∴ ∠DFG=∠FAB+∠DBA=60∘．
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DGF=∠AGH=90∘−∠CAB=60∘，
∴ △DGF 是等边三角形．
【知识点】垂径定理、圆周角定理、等边三角形
23. 【答案】
(1) D，E
(2) 由直线 l 的解析式得 M−23,0，N0,−2，
以 O 为圆心，ON 长为半径画圆，交直线 MN 于点 G，
可得 m≤0，
设小圆 ⊙O 与 y 轴负半轴的交点为 H，
连接 OG，HG，
∵M−23,0，N0,−2，
∴OM=23，ON=2，
∴tan∠OMN=33，
∴∠OMN=30∘，∠ONM=60∘，
∴△OGN 是等边三角形，
∴GH⊥y 轴，
∴ 点 G 的纵坐标为 −1，代入 y=−33x−2 可得，横坐标为 −3，
∴m≥−3，
∴−3≤m≤0．
【知识点】圆的定义、特殊角的正切值、30度所对的直角边等于斜边的一半、一次函数与一元一次方程的关系
24. 【答案】
(1) ∵EF 切 ⊙O 于点 E，
∴∠OEF=90∘，
∴∠OED+∠CEF=90∘，
∵∠C=90∘，
∴∠CEF+∠CFE=90∘，
∴∠OED=∠EFC，
∵∠D=∠C=90∘ ,
∴△ODE∽△ECF．
(2) ①由(1)：△ODE∽△ECF，
∴ODEC=DECF，
∴OD⋅CF=DE⋅EC，
∵DE=x，
∴EC=8−x，
∴OD⋅CF=x8−x=−x2+8x=−x−42+16，
当 x=4 时，OD⋅CF 的值最大，最大值为 16，
设此时半径为 r，则 OA=OE=r，OD=8−r，
在 Rt△ODE 中，
∵OD2+DE2=OE2，
∴8−r2+42=r2，
解得 r=5．
即此时半径长为5．
② △CEF 的周长为定值，△CEF 的周长 =16，
在 Rt△ODE 中，OD2+DE2=OE2，OA=OE，
即：8−OE2+x2=OE2，
∴OE=4+x216，OD=8−OE=4−x216，
∵Rt△DOE∽Rt△CEF，
即 ODEC=DECF=OEEF，
∴4−x2168−x=xCF=4+x216EF，
解得 CF=16x8+x，EF=64+x28+x，
∴△CEF 的周长 =CE+CF+EF=8−x+16x8+x+64+x28+x=16．
【知识点】相似三角形的性质、切线的性质、两角分别相等、勾股定理
25. 【答案】
(1) ∵ 抛物线过点 A−4,0，B2,0，
∴ 设抛物线表达式为：y=ax+4x−2，
把 C0,4 代入得，
4=a0+40−2，
∴a=−12，
∴ 抛物线表达式为：y=−12x+4x−2=−12x2−x+4．
(2) 由（1）抛物线对称轴为直线 x=−b2a=−1，
∵ 线段 BC 的中垂线与对称轴 l 交于点 D，
∴ 点 D 在对称轴上，
设点 D 坐标为 −1,m，
过点 C 作 CG⊥l 于 G，连 DC，DB，
∴DC=DB，
在 Rt△DCG 和 Rt△DBH 中，
∵DC2=12+4−m2，DB2=m2+2+12，
∴12+4−m2=m2+2+12，
解得：m=1，
∴ 点 D 坐标为 −1,1．
(3) ∵ 点 B 坐标为 2,0，C 点坐标为 0,4，
∴BC=22+42=25，
∵EF 为 BC 中垂线，
∴BE=5，
在 Rt△BEF 和 Rt△BOC 中，
cos∠CBF=BEBF=OBBC，
∴5BF=225，
∴BF=5，EF=BF2−BE2=25，OF=3，
设 ⊙P 的半径为 r，⊙P 与直线 BC 和 EF 都相切，
如图：
①当圆心 P1 在直线 BC 左侧时，连 P1Q1，P1R1，则 P1Q1=P1R1=r1，
∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90∘，
∴ 四边形 P1Q1ER1 是正方形，
∴ER1=P1Q1=r1，
在 Rt△BEF 和 Rt△FR1P1 中，
tan∠1=BEBF=P1R1FR1，
∴525=r125−r1，
∴r1=253，
∵sin∠1=BEBF=P1R1FP1，
∴FP1=103，OP1=13，
∴ 点 P1 坐标为 13,0．
②同理，当圆心 P2 在直线 BC 右侧时，
可求 r2=25，OP2=7，
∴P2 坐标为 7,0，
∴ 点 P 坐标为 13,0 或 7,0．
(4) −1,8318，−1,4718，−1,−4718．
【解析】
(4) 存在．
当点 P 坐标为 13,0 时，
①若 DN 和 MP 为平行四边形对边，则有 DN=MP，
当 x=13 时，y=−12132−13+4=6518，
∴DN=MP=6518，
∴ 点 N 坐标为 −1,8318．
②若 MN，DP 为平行四边形对边时，M，P 点到 ND 距离相等，
则点 M 横坐标为 −73，
则 M 纵坐标为 −12×−322+73+4=6518，
由平行四边形中心对称性可知，点 M 到 N 的垂直距离等于点 P 到点 D 的垂直距离，
当点 N 在 D 点上方时，点 N 纵坐标为 6518−1=4718，
此时点 N 坐标为 −1,4718，
当点 N 在 x 轴下方时，点 N 坐标为 −1,−4718，
当点 P 坐标为 7,0 时，所求 N 点不存在．
【知识点】切线的性质、平行四边形及其性质、二次函数的解析式、勾股定理
26. 【答案】
(1) ∵∠BDM=∠DAC，
∠DAC=∠DBC，
∴∠BDM=∠DBC，
∴BC∥MD．
(2) 连接 OD，OB，OC，DC．
∵ 点 E 是 △ABC 的内心，
∴AF 平分 ∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴BD=CD，
又 OB=OC，
∴OD 垂直平分 BC，
∴OD⊥BC，
∵BC∥MD，
∴OD⊥MD，
∴ 直线 DM 是 ⊙O 的切线．
(3) 设 OD 与 BC 交于 G．
∵OD⊥BC，BC=8，
∴BG=12BC=4，
∵BD=5，
∴DG=BD2−BG2=52−42=3，
设 ⊙O 的半径为 r，则 OB=r，OG=r−3，
Rt△OBG 中，OB2=BG2+OG2，
∴r2=42+r−32，解得 r=256，
∴AB=2r=253，
OG=256−3=76，
∵OA=OB，BG=CG，
∴AC=2OG=73，
∵AB 为直径，
∴∠C=90∘，
∴Rt△ABC 内切圆的半径长为 BC+AC−AB2=8+73−2532=1．
【知识点】圆周角定理推论、垂径定理、切线的判定
27. 【答案】
(1) 如图 1 中，连接 BC．
∵PB 是 ⊙O 的切线，
∴AB⊥PB，
∴∠ABP=90∘，
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠P+∠PBC=90∘，∠PBC+∠ABC=90∘，
∴∠P=∠ABC，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠P=∠ADC．
(2) 如图 2 中，连接 BC．
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∵OA=OB，
∴BC=2OF，
∵∠CGB=∠BAD，∠BCD=∠BAD，
∴∠BCG=∠BGC，
∴BG=BC=2OF．
(3) 如图 3 中，连接 BC，BH，作 BM⊥CD 于 M，AN⊥CD 于 N．
∵CD，AB 是直径，
∴OA=OD=OC=OB，
∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD≌△BOCSAS，
∴AD=BC=2OF=6，
∵OA=OB，∠AON=∠BOM，∠ANO=∠BMO=90∘，
∴△AON≌△BOMAAS，
∴OM=ON，AN=BM，设 OM=ON=a，
∵∠CGB=∠HGB，
∴∠OGH=2∠CGB，
∵∠BOG=∠OCB+∠OBC=2∠GCB，∠GCB=∠BGC，
∴∠BOG=∠OGH，
∴∠AOG=∠AGO，
∴AO=AG，
∵AN⊥OG，
∴ON=NG=a，
∵BG=AD，BM=AN，∠AND=∠BMG=90∘，
∴Rt△BMG≌Rt△ANDHL，
∴MG=DN=3a，OD=OA=OB=OC=4a，
∴BM=OB2−OM2=15a，
在 Rt△CBM 中，
∵BC2=BM2+CM2，
∴36=15a2+9a2，
∵a>0，
∴a=62，
∴MG=3a=362，
∵∠BGH=∠BGM，∠BMG=∠H=90∘，BG=BG，
∴△BGH≌△BGMAAS，
∴GH=MG=362．
【知识点】圆周角定理及其推理、等腰三角形的判定、切线的性质、垂径定理
28. 【答案】
(1) ① D，E
②连接 OD，过 D 作 OD 的垂线交 ⊙O 于 A，B 两点．
③因为 ⊙O 的半径为 1，所以点 P 到 ⊙O 的距离小于等于 3，且不等于 1 时时，符合题意.
因为点 P 在直线 y=−x+3 上，
所以 0≤xp≤3．
(2) 0≤xo≤9
【知识点】一次函数的解析式、圆的相关元素
圆--章节提优练习
一、选择题
1. 如图，在菱形 ABCD 中，∠BAC=60∘，以顶点 B 为圆心，以 AB 长为半径画圆，延长 DC 交 ⊙B 于点 E，则 CE 的度数等于
A． 120∘ B． 90∘ C． 60∘ D． 30∘
2. 已知 ⊙O 的直径 CD=10 cm，AB 是 ⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为 M，且 AB=8 cm，则 AC 的长为
A．25 cm B．45 cm
C．25 cm 或 45 cm D．23 cm 或 43 cm
3. 如图，圆内接正六边形的边长为 4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为
A． 243−4π B． 123+4π C． 243+8π D． 243+4π
4. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，则 ON=
A． 5 B． 7 C． 9 D． 11
5. 对于题目：“如图（1），平面上，正方形内有一长为 12 、宽为 6 的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数 n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长，再取最小整数 n．
甲：如图（2），思路是当 x 为矩形对角线长时就可移转过去；结果取 n=13．
乙：如图（3），思路是当 x 为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取 n=14．
丙：如图（4），思路是当 x 为矩形的长与宽之和的 22 倍时就可移转过去；结果取 n=13．
下列正确的是
A．甲的思路错，他的 n 值对 B．乙的思路和他的 n 值都对
C．甲和丙的 n 值都对 D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对
6. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，∠B=60∘，AD=83，分别以 B 和 C 为圆心，以大于 12BC 的长为半径作弧，两弧相交于点 P 和 Q，直线 PQ 与 BA 延长线交于点 E，连接 CE，则 △BCE 的内切圆半径是
A． 4 B． 43 C． 2 D． 23
7. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边 AB 上的点 O 为圆心的圆分别与 AC，BC 相切于点 E，F，与 AB 分别相交于点 G，H，且 EH 的延长线与 CB 的延长线交于点 D，则 CD 的长为
A． 22−12a B． 2+12a C． 2a D． 2−14a
8. 如图，矩形 ABCD 中，G 是 BC 的中点，过 A，D，G 三点的 ⊙O 与边 AB，CD 分别交于点 E，点 F，下列说法：① AC 与 BD 的交点是 ⊙O 的圆心；② AF 与 DE 的交点是 ⊙O 的圆心；③ BC 与 ⊙O 相切，其中正确说法的个数是
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
9. 如图，在等腰 △ABC 中，AB=AC=25，BC=8，按下列步骤作图：
①以点 A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 AB，AC 于点 E，F，再分别以点 E，F 为圆心，大于 12EF 的长为半径作弧相交于点 H，作射线 AH；
②分别以点 A，B 为圆心，大于 12AB 的长为半径作弧相交于点 M，N，作直线 MN，交射线 AH 于点 O；
③以点 O 为圆心，线段 OA 长为半径作圆．
则 ⊙O 的半径为
A． 25 B． 10 C． 4 D． 5
10. 如图所示，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，∠CDB=30∘，CD=23，则阴影部分图形的面积为
A．4π B．2π C．π D．2π3
二、填空题
11. 如图所示，若用半径为 8，圆心角为 120∘ 的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是 ．
12. 如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径 1，直线 l 的解析式为 y=x+t．若直线 l 与半圆只有一个交点，则 t 的取值范围是 ．
13. 如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线 l 是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm．
14. 如图，等边三角形 ABC 内接于 ⊙O，点 D 在 ⊙O 上，∠ABD=25∘，则 ∠BAD= ．
15. 已知 △ABC 的直角边 BC=1，斜边 AB=2，在直线 l 上如图所示位置开始滚动，第一次滚动绕 A 点旋转至线段 AB 与直线 l 重合，第二次绕 B 点滚动至线段 BC 与直线 l 重合，依此类推．当 △ABC 滚动一周时，点 B 移动的路程为 ，当 △ABC 滚动 2019 次时点 A 距它初始位置的长度为 ．
16. 在 △ABC 中，若 AB=6，∠ACB=45∘．则 △ABC 的面积的最大值为 ．
17. 如图直线 y=−x+mm>0 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，C 是 AB 的中点，点 D 在直线 y=−2 上，以 CD 为直径的圆与直线 AB 的另一交点为 E，交 y 轴于点 F，G，已知 CE+DE=62，FG=25，则 CD 的长是 ．
18. 如图，在 △ABC 中，AC:BC:AB=5:12:13，⊙O 在 △ABC 内自由移动，若 ⊙O 的半径为 1，且圆心 O 在 △ABC 内所能到达的区域的面积为 152，则 △ABC 的周长为 ．
三、解答题
19. 在 ⊙O 中，AB 为直径，C 为 ⊙O 上一点．
(1) 如图①，过点 C 作 ⊙O 的切线，与 AB 的延长线相交于点 P，若 ∠CAB=32∘，求 ∠P 的大小；
(2) 如图②，D 为优弧 ADC 上一点，且 DO 的延长线经过 AC 的中点 E，连接 DC 与 AB，相交于点 P，若 ∠CAB=16∘，求 ∠DPA 的大小．
20. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，AD 和过 C 点的直线互相垂直，垂足为 D，且 AC 平分 ∠DAB．
(1) 求证：DC 为 ⊙O 的切线；
(2) 若 ⊙O 的半径为 3，AD=4，求 AC 的长．
21. 如图 1，AB 为 ⊙O 的直径，点 C 为 ⊙O 上一点，CD 平分 ∠ACB 交 ⊙O 于点 D，交 AB 于点 E．
(1) 求证：△ABD 为等腰直角三角形．
(2) 如图 2，ED 绕点 D 顺时针旋转 90∘，得到 DEʹ，连接 BEʹ，证明：BEʹ 为 ⊙O 的切线．
(3) 如图 3，点 F 为弧 BD 的中点，连接 AF，交 BD 于点 G，若 DF=1，求 AG 的长．
22. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的直径，BC 是弦，弦 BD 平分 ∠ABC 交 AC 于 F，弦 DE⊥AB 于 H，交 AC于G．
(1) 求证：AG=GD；
(2) 当 ∠ABC 满足什么条件时，△DFG 是等边三角形？并说明理由．
23. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和 ⊙C，给出如下定义：若 ⊙C 上存在点 A，使得 ∠APC=30∘，则称 P 为 ⊙C 的半角关联点．
当 ⊙O 的半径为 1 时，
(1) 在点 D12,−12，E2,0，F0,23 中，⊙O 的半角关联点是 ；
(2) 直线 l:y=−33x−2 交 x 轴于点 M，交 y 轴于点 N，若直线 l 上的点 Pm,n 是 ⊙O 的半角关联点，求 m 的取值范围．
24. 如图，在边长为 8 的正方形 ABCD 中，点 O 为 AD 上一动点 4
(1) 求证：△ODE∽△ECF．
(2) 在点 O 的运动过程中，设 DE=x：
①求 OD⋅CF 的最大值，并求此时 ⊙O 的半径长；
②判断 △CEF 的周长是否为定值？若是，求出 △CEF 的周长；否则，请说明理由．
25. 如图，抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 与 x 轴交于点 A−4,0，B2,0，与 y 轴交于点 C0,4，线段 BC 的中垂线与对称轴 l 交于点 D，与 x 轴交于点 F，与 BC 交于点 E，对称轴 l 与 x 轴交于点 H．
(1) 求抛物线的函数表达式．
(2) 求点 D 的坐标．
(3) 点 P 为 x 轴上一点，⊙P 与直线 BC 相切于点 Q，与直线 DE 相切于点 R．求点 P 的坐标．
(4) 点 M 为 x 轴上方抛物线上的点，在对称轴 l 上是否存在一点 N，使得以点 D，P，M，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出 N 点坐标．若不存在，请说明理由．
26. 如图 1，点 E 是 △ABC 的内心，AE 的延长线交 BC 于点 F，交 △ABC 的外接圆 ⊙O 于点 D，连接 BD，过点 D 作直线 DM，使 ∠BDM=∠DAC．
(1) 求证：BC∥MD．
(2) 求证，直线 DM 是 ⊙O 的切线．
(3) 如图 2，若 AB 过圆心 O，BD=5，BC=8，求 △ABC 内切圆的半径长．
27. 已知：AB 是 ⊙O 的直径，PB 切 ⊙O 于点 B，AP 交 ⊙O 于点 C，D 是 ⊙O 上一点，连接 AD，CD．
(1) 如图 1，求证：∠APB=∠ADC；
(2) 如图 2，点 G 在 CD 上，∠CGB=∠BAD，OF⊥AC 于点 F，求证：BG=2OF；
(3) 如图 3，在（2）的条件下，连接 AG 并延长交 ⊙O 于点 H，若 CD 为 ⊙O 直径，当 ∠CGB=∠HGB，OF=3 时，求线段 GH 的长．
28. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和 ⊙O，给出如下定义：若存在过点 P 的直线 l 交 ⊙O 于异于点 P 的 A，B 两点，在 P，A，B 三点中，位于中间的点恰为以另外两点为端点的线段的中点时，则称点 P 为 ⊙O 的相邻点，直线 l 为 ⊙O 关于点 P 的相邻线．
(1) 当 ⊙O 的半径为 1 时，
① 分别判断在点 D12,14,E0,−3,F4,0 中，是 ⊙O 的相邻点有 ；
②请从 ① 中的答案中，任选一个相邻点，在图 1 中做出 ⊙O 关于它的一条相邻线，并说明你的作图过程．
③ 点 P 在直线 y=−x+3 上，若点 P 为 ⊙O 的相邻点，求点 P 横坐标的取值范围；
(2) ⊙O 的圆心在 x 轴上，半径为 1，直线 y=−33x+23 与 x 轴，y 轴分别交于点 M，N，若线段 MN 上存在 ⊙O 的相邻点 P，直接写出圆心 O 的横坐标的取值范围．
答案
一、选择题
1. 【答案】C
【知识点】弧、弦、圆心角的关系定理
2. 【答案】C
【解析】连接 AC，AO．
∵⊙O 的直径 CD=10 cm，AB⊥CD，AB=8 cm，
∴AM=12AB=12×8=4 cm，OD=OC=5 cm，
当 C 点位置如图所示时，
∵OA=5 cm，AM=4 cm，CD⊥AB，
∴OM=OA2−AM2=52−42=3 cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8 cm，
∴AC=AM2+CM2=42+82=45 cm；
当 C 点位置如图所示时，同理可得 OM=3 cm，
∵OC=5 cm，
∴MC=5−3=2 cm，
在 Rt△AMC 中，AC=AM2+MC2=42+22=25 cm．
【知识点】垂径定理
3. 【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
4. 【答案】A
【解析】由题意可得，ON⊥AB，OA=13，AB=24，
∴AN=12，
∴ON=OA2−AN2=132−122=5．
【知识点】垂径定理、勾股定理
5. 【答案】B
【知识点】勾股定理、三角形的外接圆与外心、矩形的性质
6. 【答案】A
【解析】 ∵ 在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB=CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD=83，
由作图过程可得 EB=EC，
∵∠B=60∘，
∴△EBC 是等边三角形，
∴△BCE 的内切圆半径是 13×83×12×3=4．
【知识点】三角形的内切圆，内心
7. 【答案】B
【解析】 ∵△ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边 AB 上的点 O 为圆心的圆分别与 AC，BC 相切于点 E，F，与 AB 分别相交于点 G，H，且 EH 的延长线与 CB 的延长线交于点 D，
∴ 连接 OE，OF，
由切线的性质可得 OE=OF=⊙O 的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90∘，
∴OECF 是正方形，
∵ 由 △ABC 的面积可知 12×AC×BC=12×AC×OE+12×BC×OF，
∴OE=OF=12a=EC=CF，BF=BC−CF=0.5a，GH=2OE=a，
∵ 由切割线定理可得 BF2=BH⋅BG，
∴14a2=BHBH+a，
∴BH=−1+22a 或 BH=−1−22a（舍去），
∵OE∥DB，OE=OH，
∴△OEH∽△BDH，
∴OEOH=BDBH，
∴BH=BD，CD=BC+BD=a+−1+22a=1+22a．
【知识点】切线的性质、基本定理、两角分别相等
8. 【答案】C
【解析】连接 DG，AG，作 GH⊥AD 于点 H，连接 OD，EF，如图．
∵G 是 BC 的中点，
∴AG=DG，
∴GH 垂直平分 AD，
∴ 点 O 在 HG 上．
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC 与 ⊙O 相切，故③正确．
∵OG=OD，
∴O 不是 HG 的中点，
∴ 圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点，故①不正确．
∵∠ADF=∠DAE=90∘，
∴∠AEF=90∘，
∴ 四边形 AEFD 为 ⊙O 的内接矩形，
∴AF 与 DE 的交点是 ⊙O 的圆心，故②正确．
【知识点】圆周角定理推论、切线的判定
9. 【答案】D
【解析】如图，设 OA 交 BC 于 T．
∵AB=AC=25，AO 平分 ∠BAC，
∴AO⊥BC，BT=TC=4，
∴AT=AC2−CT2=252−42=2，
在 Rt△OCT 中，则有 r2=r−22+42，解得 r=5．
【知识点】垂径定理
10. 【答案】D
【解析】设弦 CD 和直径 AB 相交于点 E，
因为弦 CD⊥AB，
所以 ∠OEC=∠BED=90∘，CE=DE=12CD=3．
又 ∠CDB=30∘，
所以 ∠COB=60∘，∠OCE=30∘，
所以 ∠OCE=∠BDE，
所以 △COE≌△DBE，
所以 S△COE=S△DBE，则阴影部分的面积等于扇形 OBC 的面积．
在 △COE 中，由勾股定理可得 OC=2，
所以 S阴影=S扇形OBC=60π×22360=2π3．
【知识点】垂径定理、弧长面积的计算、圆周角定理
二、填空题
11. 【答案】 83
【知识点】圆锥的计算
12. 【答案】 t=2 或 −1≤t<1
【解析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点 C 或从直线过点 A 开始到直线过点 B 结束（不包括直线过点 A）．
直线 y=x+t 与 x 轴所形成的锐角是 45∘．
当直线和半圆相切于点 C 时，则 OC 垂直于直线，∠COD=45∘．
又 OC=1，则 CD=OD=22，即点 C−22,22，
把点 C 的坐标代入直线解析式，得 t=y−x=2，
当直线过点 A 时，把点 A−1,0 代入直线解析式，得 t=y−x=1．
当直线过点 B 时，把点 B1,0 代入直线解析式，得 t=y−x=−1．
即当 t=2 或 −1≤t<1 时，直线和圆只有一个公共点．
【知识点】勾股定理、切线的性质、一次函数的图象与性质
13. 【答案】 50
【解析】如图，设圆心为 O，连接 AO，CO，
∵ 直线 l 是它的对称轴，
∴CM=30，AN=40．
∵CM2+OM2=AN2+ON2，
∴302+OM2=402+70−OM2．
解得 OM=40．
∴OC=302+402=50．
∴ 能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 50 mm．
【知识点】勾股定理、垂径定理
14. 【答案】 95°
【解析】 ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60∘．
∵∠ABD=25∘，
∴∠CBD=35∘．
∵CD=CD，
∴∠DAC=∠CBD=35∘．
∴∠BAD=60∘+35∘=95∘．
【知识点】等边三角形三个角相等，都等于60°、圆周角定理及其推理
15. 【答案】 136π ； 2019+6733
【解析】在 Rt△ACB 中，AB=2，BC=1，∠ACB=90∘，
∴AC=AB2−BC2=3，
∴sin∠BAC=BCAB=12，
∴∠BAC=30∘，
∴ 第一次旋转，点 B 移动的路程为 180−30π⋅AB180=5π×26=5π3，
第二次旋转以点 B 为旋转中心，
故点 B 没有移动，
第二次旋转以点 C 为旋转中心，旋转 90∘，
∴ 点 B 移动的路程为 90π⋅BC180=π2，
∴ 当 △ABC 滚动一周时，点 B 运动的路程为：5π3+π2=10π6+3π2=13π6，
∵△ABC 滚动一周需要滚动 3 次，
∴ 每滚动 3 次，点 A 距它的初始位置的长度为 1+2+3=3+3，
∵2019÷3=673．
∴ 当 △ABC 滚动 2019 次时，△ABC 向右滚动了 673 次，
∴673×3+3=2019+6733，
∴ 当 △ABC 滚动 2019 次时，点 A 距它初始位置的长度为 2019+6733．
【知识点】弧长的计算
16. 【答案】 92+9
【解析】作 △ABC 的外接圆 ⊙O，过 C 作 CM⊥AB 于 M．
∵ 弦 AB 已确定，
∴ 要使 △ABC 的面积最大，只要 CM 取最大值即可，
如图所示，当 CM 过圆心 O 时，CM 最大，
∵CM⊥AB，CM 过 O，
∴AM=BM（垂径定理），
∴AC=BC，
∵∠AOB=2∠ACB=2×45∘=90∘，
∴OM=AM=12AB=12×6=3，
∴OA=OM2+AM2=32，
∴CM=OC+OM=32+3，
∴S△ABC=12AB⋅CM=12×6×32+3=92+9．
【知识点】垂径定理、三角形的外接圆与外心、勾股定理
17. 【答案】 35
【解析】如图，设 CD 的中点为 Oʹ，设直线 BA 交直线 y=−2 于 M，直线 y=−2 交 y 轴于 P，作 CH⊥OB 于 H，连接 OʹF，作 AJ⊥DM 于 J，OʹN⊥FG 于 N．
∵CD 是 ⊙Oʹ 的直径，
∴∠CED=90∘，
∵ 直线 y=−x+mm>0 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A，B，
∴Am,0，B0,m，
∴OA=OB，
∴∠OAB=45∘，
∵OA∥DM，
∴∠EMD=∠OAB=45∘，
∵∠DEM=90∘，
∴ED=EM，
∴EC+ED=EC+EM=CM=62，
∵JA⊥DM，
∴∠AJM=90∘，
∴AJ=JM=2，
AM=22，
∴BC=CA=42，
∴AB=82，
∴BO=AO=8，
∴A8,0，B0,8，C4,4，
设 Dm,−2，则 Oʹ12m+4,1，
∴OʹN=12m+4，OʹF=12CD=12m−42+62，
∵OʹN⊥FG，
∴FN=12FG=5．
在 Rt△OʹFN 中，由勾股定理，得：52+14m+42=14m−42+62．
解得：m=1．
∴CD=1−42+62=35．
【知识点】勾股定理、一次函数的解析式、圆周角定理及其推理
18. 【答案】 30
【解析】如图，由题意点 O 所能到达的区域是 △EFG，连接 AE，延长 AE 交 BC 于 H，作 HM⊥AB 于 M，EK⊥AC 于 K，作 FJ⊥AC 于 J．
因为 EG∥AB，EF∥AC，FG∥BC，
所以 ∠EGF=∠ABC，∠FEG=∠CAB，
所以 △EFG∽△ACB，
所以 EF:FG:EG=AC:BC:AB=5:12:13，
设 EF=5k，FG=12k，
因为 12×5k×12k=152，
所以 k=12或−12（舍弃），
所以 EF=52，
因为四边形 EKJF 是矩形，
所以 KJ=EF=52，
设 AC=5m，BC=12m，AB=13m，
因为 ∠ACH=∠AMH=90∘，∠HAC=∠HAM，AH=AH，
所以 △HAC≌△HAMAAS，
所以 AM=AC=5m，CH=HM，BM=8m，设 CH=HM=x，
在 Rt△BHM 中，则有 x2+8m2=12m−x2，
所以 x=103m，
因为 EK∥CH，
所以 EKCH=AKAC，
所以 1103m=AK5m，
所以 AK=32，
所以 AC=AK+KJ+CJ=32+52+1=5，
所以 BC=15×5×12=12，AB=15×5×13=13，
所以 △ABC 的周长 =AC+BC+AB=5+12+13=30．
【知识点】性质与判定综合（D）、切线的性质、性质与判定综合(D)
三、解答题
19. 【答案】
(1) 连接 OC，如图①，
∵PC 为切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCP=90∘，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAB=32∘，
∴∠POC=∠OCA+∠CAB=64∘，
∴∠P=90∘−∠POC=90∘−64∘=26∘．
(2) 如图②，
∵ 点 E 为 AC 的中点，
∴OD⊥AC，
∴∠OEA=90∘，
∴∠AOD=∠CAB+∠OEA=16∘+90∘=106∘，
∴∠C=12∠AOD=53∘，
∴∠DPA=∠BAC+∠C=16∘+53∘=69∘．
【知识点】切线的性质、三角形的外角及外角性质、垂径定理
20. 【答案】
(1) 如图，连接 OC，
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA．
∵ AC 平分 ∠DAB，
∴ ∠DAC=∠OAC．
∴ ∠DAC=∠OCA．
∴ OC∥AD．
∵ AD⊥CD，
∴ OC⊥CD．
∵ OC 是 ⊙O 的半径，
∴ DC 为 ⊙O 的切线；
(2) 如图，连接 BC，则 ∠ACB=90∘，
∵ ∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90∘，
∴ △ADC∽△ACB．
∴ ADAC=ACAB．
∴ AC2=AD⋅AB．
∵ ⊙O 的半径为 3，AD=4，
∴ AB=6．
∴ AC=26．
【知识点】圆周角定理推论、两角分别相等、切线的判定
21. 【答案】
(1) ∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=∠ADB=90∘，
∵CD 平分 ∠ACB，
∴AD=BD，
∴AD=BD，
∴△ABD 是等腰直角三角形．
(2) 由旋转的性质得，∠EDEʹ=90∘，DE=DEʹ，
∵∠ADB=90∘，
∴∠ADE=∠BDEʹ，
∵AD=BD，
∴△ADE≌△BDEʹSAS，
∴∠DAE=∠DBEʹ，
∵∠EAD=∠DCB=45∘，∠ABD=∠DCA=45∘，
∴∠OBE=∠ABD+∠DBEʹ=90∘，
∴BEʹ 为 ⊙O 的切线．
(3) ∵ 点 F 为 BD 的中点，
∴∠FAD=12∠DAB=22.5∘，
取 AG 的中点 H，连接 DH，
∵∠ADB=90∘，
∴DH=AH=GH，
∴∠ADH=∠FAD=22.5∘，
∴∠DHF=∠ADH+∠FAD=45∘，
∵∠AFD=∠ACD=45∘，
∴∠DHF=∠AFD，
∴DH=DF=1，
∴AG=2DH=2．
【知识点】弧、弦、圆心角的关系定理、切线的判定、边角边、圆周角定理及其推理、直角三角形斜边的中线、等腰直角三角形
22. 【答案】
(1) 连接 AD，
∵ DE⊥AB，AB 是 ⊙O 的直径，
∴ AD=AE，
∴ ∠ADE=∠ABD．
∵ 弦 BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠DBC=∠ABD．
∵ ∠DBC=∠DAC，
∴ ∠ADE=∠DAC，
∴ AG=GD．
(2) 当 ∠ABC=60∘ 时，△DFG 是等边三角形．
理由：
∵ 弦 BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠DBC=∠ABD=30∘．
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠ACB=90∘，
∴ ∠CAB=90∘−∠ABC=30∘，
∴ ∠DFG=∠FAB+∠DBA=60∘．
∵ DE⊥AB，
∴ ∠DGF=∠AGH=90∘−∠CAB=60∘，
∴ △DGF 是等边三角形．
【知识点】垂径定理、圆周角定理、等边三角形
23. 【答案】
(1) D，E
(2) 由直线 l 的解析式得 M−23,0，N0,−2，
以 O 为圆心，ON 长为半径画圆，交直线 MN 于点 G，
可得 m≤0，
设小圆 ⊙O 与 y 轴负半轴的交点为 H，
连接 OG，HG，
∵M−23,0，N0,−2，
∴OM=23，ON=2，
∴tan∠OMN=33，
∴∠OMN=30∘，∠ONM=60∘，
∴△OGN 是等边三角形，
∴GH⊥y 轴，
∴ 点 G 的纵坐标为 −1，代入 y=−33x−2 可得，横坐标为 −3，
∴m≥−3，
∴−3≤m≤0．
【知识点】圆的定义、特殊角的正切值、30度所对的直角边等于斜边的一半、一次函数与一元一次方程的关系
24. 【答案】
(1) ∵EF 切 ⊙O 于点 E，
∴∠OEF=90∘，
∴∠OED+∠CEF=90∘，
∵∠C=90∘，
∴∠CEF+∠CFE=90∘，
∴∠OED=∠EFC，
∵∠D=∠C=90∘ ,
∴△ODE∽△ECF．
(2) ①由(1)：△ODE∽△ECF，
∴ODEC=DECF，
∴OD⋅CF=DE⋅EC，
∵DE=x，
∴EC=8−x，
∴OD⋅CF=x8−x=−x2+8x=−x−42+16，
当 x=4 时，OD⋅CF 的值最大，最大值为 16，
设此时半径为 r，则 OA=OE=r，OD=8−r，
在 Rt△ODE 中，
∵OD2+DE2=OE2，
∴8−r2+42=r2，
解得 r=5．
即此时半径长为5．
② △CEF 的周长为定值，△CEF 的周长 =16，
在 Rt△ODE 中，OD2+DE2=OE2，OA=OE，
即：8−OE2+x2=OE2，
∴OE=4+x216，OD=8−OE=4−x216，
∵Rt△DOE∽Rt△CEF，
即 ODEC=DECF=OEEF，
∴4−x2168−x=xCF=4+x216EF，
解得 CF=16x8+x，EF=64+x28+x，
∴△CEF 的周长 =CE+CF+EF=8−x+16x8+x+64+x28+x=16．
【知识点】相似三角形的性质、切线的性质、两角分别相等、勾股定理
25. 【答案】
(1) ∵ 抛物线过点 A−4,0，B2,0，
∴ 设抛物线表达式为：y=ax+4x−2，
把 C0,4 代入得，
4=a0+40−2，
∴a=−12，
∴ 抛物线表达式为：y=−12x+4x−2=−12x2−x+4．
(2) 由（1）抛物线对称轴为直线 x=−b2a=−1，
∵ 线段 BC 的中垂线与对称轴 l 交于点 D，
∴ 点 D 在对称轴上，
设点 D 坐标为 −1,m，
过点 C 作 CG⊥l 于 G，连 DC，DB，
∴DC=DB，
在 Rt△DCG 和 Rt△DBH 中，
∵DC2=12+4−m2，DB2=m2+2+12，
∴12+4−m2=m2+2+12，
解得：m=1，
∴ 点 D 坐标为 −1,1．
(3) ∵ 点 B 坐标为 2,0，C 点坐标为 0,4，
∴BC=22+42=25，
∵EF 为 BC 中垂线，
∴BE=5，
在 Rt△BEF 和 Rt△BOC 中，
cos∠CBF=BEBF=OBBC，
∴5BF=225，
∴BF=5，EF=BF2−BE2=25，OF=3，
设 ⊙P 的半径为 r，⊙P 与直线 BC 和 EF 都相切，
如图：
①当圆心 P1 在直线 BC 左侧时，连 P1Q1，P1R1，则 P1Q1=P1R1=r1，
∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90∘，
∴ 四边形 P1Q1ER1 是正方形，
∴ER1=P1Q1=r1，
在 Rt△BEF 和 Rt△FR1P1 中，
tan∠1=BEBF=P1R1FR1，
∴525=r125−r1，
∴r1=253，
∵sin∠1=BEBF=P1R1FP1，
∴FP1=103，OP1=13，
∴ 点 P1 坐标为 13,0．
②同理，当圆心 P2 在直线 BC 右侧时，
可求 r2=25，OP2=7，
∴P2 坐标为 7,0，
∴ 点 P 坐标为 13,0 或 7,0．
(4) −1,8318，−1,4718，−1,−4718．
【解析】
(4) 存在．
当点 P 坐标为 13,0 时，
①若 DN 和 MP 为平行四边形对边，则有 DN=MP，
当 x=13 时，y=−12132−13+4=6518，
∴DN=MP=6518，
∴ 点 N 坐标为 −1,8318．
②若 MN，DP 为平行四边形对边时，M，P 点到 ND 距离相等，
则点 M 横坐标为 −73，
则 M 纵坐标为 −12×−322+73+4=6518，
由平行四边形中心对称性可知，点 M 到 N 的垂直距离等于点 P 到点 D 的垂直距离，
当点 N 在 D 点上方时，点 N 纵坐标为 6518−1=4718，
此时点 N 坐标为 −1,4718，
当点 N 在 x 轴下方时，点 N 坐标为 −1,−4718，
当点 P 坐标为 7,0 时，所求 N 点不存在．
【知识点】切线的性质、平行四边形及其性质、二次函数的解析式、勾股定理
26. 【答案】
(1) ∵∠BDM=∠DAC，
∠DAC=∠DBC，
∴∠BDM=∠DBC，
∴BC∥MD．
(2) 连接 OD，OB，OC，DC．
∵ 点 E 是 △ABC 的内心，
∴AF 平分 ∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴BD=CD，
∴BD=CD，
又 OB=OC，
∴OD 垂直平分 BC，
∴OD⊥BC，
∵BC∥MD，
∴OD⊥MD，
∴ 直线 DM 是 ⊙O 的切线．
(3) 设 OD 与 BC 交于 G．
∵OD⊥BC，BC=8，
∴BG=12BC=4，
∵BD=5，
∴DG=BD2−BG2=52−42=3，
设 ⊙O 的半径为 r，则 OB=r，OG=r−3，
Rt△OBG 中，OB2=BG2+OG2，
∴r2=42+r−32，解得 r=256，
∴AB=2r=253，
OG=256−3=76，
∵OA=OB，BG=CG，
∴AC=2OG=73，
∵AB 为直径，
∴∠C=90∘，
∴Rt△ABC 内切圆的半径长为 BC+AC−AB2=8+73−2532=1．
【知识点】圆周角定理推论、垂径定理、切线的判定
27. 【答案】
(1) 如图 1 中，连接 BC．
∵PB 是 ⊙O 的切线，
∴AB⊥PB，
∴∠ABP=90∘，
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠P+∠PBC=90∘，∠PBC+∠ABC=90∘，
∴∠P=∠ABC，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠P=∠ADC．
(2) 如图 2 中，连接 BC．
∵OF⊥AC，
∴AF=CF，
∵OA=OB，
∴BC=2OF，
∵∠CGB=∠BAD，∠BCD=∠BAD，
∴∠BCG=∠BGC，
∴BG=BC=2OF．
(3) 如图 3 中，连接 BC，BH，作 BM⊥CD 于 M，AN⊥CD 于 N．
∵CD，AB 是直径，
∴OA=OD=OC=OB，
∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD≌△BOCSAS，
∴AD=BC=2OF=6，
∵OA=OB，∠AON=∠BOM，∠ANO=∠BMO=90∘，
∴△AON≌△BOMAAS，
∴OM=ON，AN=BM，设 OM=ON=a，
∵∠CGB=∠HGB，
∴∠OGH=2∠CGB，
∵∠BOG=∠OCB+∠OBC=2∠GCB，∠GCB=∠BGC，
∴∠BOG=∠OGH，
∴∠AOG=∠AGO，
∴AO=AG，
∵AN⊥OG，
∴ON=NG=a，
∵BG=AD，BM=AN，∠AND=∠BMG=90∘，
∴Rt△BMG≌Rt△ANDHL，
∴MG=DN=3a，OD=OA=OB=OC=4a，
∴BM=OB2−OM2=15a，
在 Rt△CBM 中，
∵BC2=BM2+CM2，
∴36=15a2+9a2，
∵a>0，
∴a=62，
∴MG=3a=362，
∵∠BGH=∠BGM，∠BMG=∠H=90∘，BG=BG，
∴△BGH≌△BGMAAS，
∴GH=MG=362．
【知识点】圆周角定理及其推理、等腰三角形的判定、切线的性质、垂径定理
28. 【答案】
(1) ① D，E
②连接 OD，过 D 作 OD 的垂线交 ⊙O 于 A，B 两点．
③因为 ⊙O 的半径为 1，所以点 P 到 ⊙O 的距离小于等于 3，且不等于 1 时时，符合题意.
因为点 P 在直线 y=−x+3 上，
所以 0≤xp≤3．
(2) 0≤xo≤9
【知识点】一次函数的解析式、圆的相关元素
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