数学苏科版5.3 用待定系数法确定二次函数的表达式精练
展开第5章二次函数--5.3--5.4小节巩固练习
一、选择题
- 二次函数 的图象的顶点坐标是
A． B． C． D．
- 已知函数 ，则当 时，自变量 的取值范围是
A． 或 B．
C． 或 D．
- 已知方程 的解是 ，，那么抛物线 与 轴的两个交点的坐标分别是
A．， B．，
C．， D．，
- 已知二次函数 ，当 取任意实数时，都有 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
- 将抛物线 绕其顶点旋转 ，则旋转后抛物线的解析式为
A． B． C． D．
- 给出下列命题及函数 ， 和 的图象．
① 如果 ，那么 ；
② 如果 ，那么 ；
③ 如果 ，那么 ；
④ 如果 时，那么 ．
则
A．正确的命题是 ①④ B．错误的命题是 ②③④
C．正确的命题是 ①② D．错误的命题只有 ③
- 对于一个函数，自变量 取 时，函数值 等于 ，则称 为这个函数的零点．若关于 的二次函数 有两个不相等的零点 ，，关于 的方程 有两个不相等的非零实数根 ，，则下列关系式一定正确的是
A． B． C． D．
- 某同学在用描点法画二次函数 的图象时，列出了下面的表格： 由于粗心，他算错了其中一个 值，则这个错误的数值是
A． B． C． D．
- 若抛物线 （ 是常数）的顶点是点 ，直线 与坐标轴分别交于点 ， 两点，则 的面积等于
A． B． C． D．
- 如图，在平面直角坐标系 中，四边形 是矩形，点 的坐标为 ．平行于对角线 的直线 从原点 出发，沿 轴正方向以每秒 个单位长度的速度运动，设直线 与矩形 的两边分别交于点 ，，直线 运动的时间为 （秒）．设 的面积为 ，则能反映 与 之间函数关系的大致图象是
A．
B．
C．
D．
二、填空题
- 在直角坐标系 中，对于点 和 ，给出如下定义：若 则称点 为点 的“可控变点”．例如：点 的“可控变点”为点 ，点 的“可控变点”为点 ．若点 在函数 的图象上，其“可控变点” 的纵坐标 是 ，则“可控变点” 的横坐标是 ．
- 二次函数 的图象如图所示，点 位于坐标原点，点 ，，，， 在 轴的正半轴上，点 ，，，， 在二次函数 位于第一象限的图象上，若 ，，，， 都为等边三角形，则 的边长等于 ， 的边长等于 ．
- 如图，平行于 轴的直线 分别交函数 与 的图象于 、 两 点，过点 作 轴的平行线交 的图象于点 ，直线 ，交 的图象于点 ，则
- 抛物线 开口向下，且经过原点，则 ．
- 抛物线 ， 经过 ， 两点，则这条抛物线的解析式为 ．
- 二次函数 的图象如图所示．当 时，自变量 的取值范围是 ．
- 若抛物线 过原点，则该抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ．
- 如图，平行四边形 中，，点 的坐标是 ，以点 为顶点的抛物线经过 轴上的 ， 两点，则此抛物线的解析式为 ．
三、解答题
- 已知二次函数图象的顶点坐标为 ，且经过原点 ，求该函数的解析式．
- 某二次函数用表格表示如下：
X | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Y | -29 | -15 | -5 | 1 | 3 | 1 | -5 | -15 | -29 |
(1) 根据表格说明该函数图象的对称轴、顶点坐标和开口方向；
(2) 说明 为何值时， 随 的增大而增大；
(3) 你能用表达式表示这个函数关系吗？
- 如图，二次函数 的图象与 轴相交于点 、 ，交 轴点 ， 、 是二次函数图象上的关于对称轴的对称点，一次函数 的图象经过 、 两点．
(1) 求二次函数的解析式及点 的坐标；
(2) 根据图象直接写出 时， 的取值范围．
- 如图，已知二次函数 的图象经过 ， 两点．
(1) 求这个二次函数的表达式；
(2) 设该二次函数图象的对称轴与 轴交于点 ，连接 ，，求 的面积．
- 已知抛物线 ．
(1) 它与 轴的交点的坐标为 ；
(2) 在坐标系中利用描点法画出它的图象；
(3) 将该抛物线在 轴下方的部分（不包含与 轴的交点）记为 ，若直线 与 只有一个公共点，则 的取值范围是 ．
- 已知二次函数 ．
(1) 把这个二次函数化成 的形式；
(2) 写出二次函数的对称轴和顶点坐标；
(3) 求二次函数与 轴的交点坐标；
(4) 画出这个二次函数的图象
(5) 观察图象并写出 随 增大而减小时自变量 的取值范围．
(6) 观察图象并写出当 为何值时，．
- 已知抛物线 （）．
(1) 求证：该抛物线与 轴总有两个交点．
(2) 当抛物线与 轴的两个交点横坐标为整数时，求 的整数值．
- 在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，．
(1) 求抛物线的表达式及对称轴；
(2) 设点 关于原点的对称点为 ，点 是抛物线对称轴上一动点，且点 纵坐标为 ，记抛物线在 ， 之间的部分为图象 （包含 ， 两点）．若直线 与图象 有公共点，结合函数图象，求点 纵坐标 的取值范围．
- 已知一次函数 的图象和二次函数 的图象都经过 ， 两点，且点 在 轴上， 点的纵坐标为 ．
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 将此二次函数图象的顶点记作点 ，求 的面积；
(3) 已知点 在线段 上， 在 的延长线上，且 点的横坐标比 点的横坐标大 ，点 ， 在这个二次函数图象上，且 ， 与 轴平行，当 时，求 点坐标．
- 如图 1，已知直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，将直线在 轴下方的部分沿 轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“ 形折线”）．
(1) 类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
(2) 如图 2，双曲线 与新函数的图象交于点 ，点 是线段 上一动点（不包括端点），过点 作 轴的平行线，与新函数图象交于另一点 ，与双曲线交于点 ．
①试求 的面积的最大值；
②探索：在点 运动的过程中，四边形 能否为平行四边形？若能，求出此时点 的坐标；若不能，请说明理由．
答案
一、选择题
1. 【答案】D
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定
2. 【答案】A
【知识点】二次函数与方程、不等式
3. 【答案】B
【知识点】二次函数与方程、不等式
4. 【答案】B
【解析】提示：．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定
5. 【答案】B
【解析】提示：旋转后的抛物线如图所示．
故可得抛物线的解析式为 ．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定、二次函数的图象与性质
6. 【答案】A
【知识点】反比例函数与方程、不等式、一次函数与方程、不等式、二次函数与方程、不等式
7. 【答案】A
【解析】抛物线 的对称轴为直线 ．
关于 的方程 有两个不相等的非零实数根，就是关于 的二次函数 的图象与直线 有两个交点．
根据题意画出草图如下：
由图象可知： 一定成立，故选A．
【知识点】二次函数与方程
8. 【答案】D
【解析】由列表可知：抛物线 过 ，，，
抛物线的解析式为 ．
当 时，．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定
9. 【答案】B
【解析】 抛物线 （ 是常数）的顶点是点 ，
．
直线 与坐标轴分别交于点 ， 两点，
．
点 到直线 的距离为 ，
．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定
10. 【答案】D
【解析】① 时，
点 ，
，，
，
，，
，
② 时，如图，连接 、 ，
，，
，
由解析式可知，选项D符合要求．
【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数的三种形式及解析式的确定
二、填空题
11. 【答案】 或
【解析】 “可控变点” 的纵坐标 是 ，
点的纵坐标为 ．
点 在函数 的图象上，
．
当 时，，即 ，
当 时，，即 ．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定
12. 【答案】；
【解析】分别过 ，， 作 轴的垂线，垂足分别为 、 、 ．
设 ，，，则 ．，．
在正 中，，
代入 中，得 ．
解得 ，即 ．
在 正 中，，
代入 中，得 ．
解得 ，即 ，
在正 中，．
代入 中，得 ．
解得 ，即 ．
正 的边长为 ．
由此可得 的边长为 ．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定
13. 【答案】
【解析】设 点坐标为 ，，
则 ，解得 ，
点 ，
，则 ，
点
轴，
点 的横坐标与点 的横坐标相同，为 ，
，
点 的坐标为 ．
，
点 的纵坐标为 ，
，
，
点 的坐标为 ，
，
．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定、点的坐标与坐标系
14. 【答案】
【解析】经过原点 ，．
开口向下，，．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定、二次函数的图象与性质
15. 【答案】
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定
16. 【答案】
【知识点】二次函数与方程、不等式
17. 【答案】
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定
18. 【答案】
【解析】在平行四边形 中， 且 ，点 的坐标是 ，
点 的坐标为 ，
设抛物线的对称轴与 轴相交于点 ，
则 ，
， 两点的坐标分别为 ，，
设抛物线的解析式为 ，
把 代入，得 ，解得 ，
抛物线的解析式为 ．
【知识点】平行四边形及其性质、二次函数的解析式
三、解答题
19. 【答案】设二次函数的解析式为 ．
函数图象经过原点 ，
，
．
该函数解析式 （或 ）．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定
20. 【答案】
(1) 该函数图象的对称轴是直线 ，顶点坐标为 ，开口向下．
(2) 当 时， 随 的增大而增大．
(3) ．
【知识点】二次函数的增减性、二次函数图象与系数的关系、二次函数的三种形式及解析式的确定、二次函数的对称轴、二次函数的三种形式之间转化、二次函数的顶点
21. 【答案】
(1) ；
(2) 或 ．
【知识点】二次函数与方程、不等式、二次函数的三种形式及解析式的确定
22. 【答案】
(1) 把 ， 代入
得 ，，解得 ，．
这个二次函数的表达式为 ．
(2) 该抛物线的对称轴为直线 ，
点 的坐标为 ．
．
．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定、二次函数的图象与性质、三角形的面积
23. 【答案】
(1) ，
(2) 列表：
图象：
(3) 或 ．
【解析】
(3) ①当直线 经过点 时，，
在 轴下方的部分，
．
故可知 在 下方，
当直线 经过点 时，，
则符合题意的 的取值范围为 ．
②根据题意，知 ，
即 ，
则 ，
解得，．
【知识点】二次函数的图象与性质、二次函数的三种形式及解析式的确定、一次函数的解析式
24. 【答案】
(1)
(2) 对称轴为直线 ，
顶点坐标为 ．
(3) 当 时，．
解这个方程得 或 ．
与 轴交点坐标为 ，．
(4)
(5) ．
(6) 或 ．
【知识点】二次函数与方程、不等式、二次函数的三种形式及解析式的确定、二次函数的图象与性质
25. 【答案】
(1)
且
该抛物线与 轴总有两个交点．
(2) 令 ，则 ，
解得：，．
又 为整数，且方程的根为整数，且 ．
．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定、二次函数与方程、不等式
26. 【答案】
(1) 抛物线 经过点 ，，
代入得：
解得：
抛物线解析式为 ，对称轴为直线 ．
(2) 由题意得：，二次函数 的最小值为 ，
由函数图象得出 纵坐标最小值为 ，
设直线 解析式为 ，
将 与 坐标代入得：
解得：
直线 解析式为 ，
当 时，．
，．
则 的范围为 ．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定、一次函数的解析式
27. 【答案】
(1) 由题意可知： 点的坐标为 ，将 代入 ，得 ，
点坐标为 ．
将 ， 两点坐标代入 ，
解得
二次函数解析式为 ．
(2) 点坐标为 ，抛物线对称轴与直线 的交点记作点 ，则点 ，
，
．
(3) 设 点横坐标为 ，则 点坐标为 ， 点坐标为 ， 点坐标为 ， 点坐标为 ．
由题意，得 ，．
且 ， 与 轴平行，
．
又 ，
四边形 是平行四边形．
．
．
解得 ，（舍）．
点坐标为 ．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定
28. 【答案】
(1) 如图 1，新函数的两条性质：
（i）函数的最小值为 ；
（ii）函数图象的对称轴为直线 ；
由题意得 点坐标为 ．
分两种情况：
① 时，显然 ；
②当 时，设其解析式为 ．
在直线 中，当 时，，
则点 关于 轴的对称点为 ．
把 ， 代入 ，
得
解得
．
综上所述，新函数的解析式为
(2) 如图 2，
① 点 在直线 上，
．
点 在双曲线 上，
，．
点 是线段 上一动点（不包括端点），
可设点 的坐标为 ，且 ．
轴，且点 在双曲线上，
，
，
的面积为
．
，
当 时， 有最大值为 ．
，
的面积的最大值为 ；
②在点 运动的过程中，四边形 不能为平行四边形．理由如下：
当点 为 的中点时，其坐标为 ，此时 点的坐标为 ， 点的坐标为 ，
，，
与 不能互相平分，
四边形 不能为平行四边形．
【知识点】二次函数的三种形式及解析式的确定、函数关系的表示、反比例函数的解析式、平行四边形、二次函数的图象与性质、一次函数的解析式
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