数学必修4第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念练习题

双基达标　限时20分钟

1．下列量不是向量的是(　　)．

A．力  B．速度  C．质量  D．加速度

解析　质量只有大小，没有方向，不是向量．

答案　C

2．下列说法错误的是(　　)．

A．向量与的长度相等

B．两个相等的向量若起点相同，则终点必相同

C．只有零向量的模等于0

D．零向量没有方向

解析　零向量的方向是任意的，不能理解为没有方向．

答案　D

3．设O为坐标原点，且||＝1，则动点M的集合是(　　)．

A．一条线段   B．一个圆面

C．一个圆   D．一个圆弧

解析　动点M到原点O的距离等于定长1，故动点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆．

答案　C

4．若对任意向量b，均有a∥b，则a为________．

解析　0与任意向量平行，故a＝0.

答案　0

5．如图所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．

(1)与向量相等的向量有________；

(2)若||＝3，则向量的模等于________．

解析　由题意知AB∥EC，且D是EC的中点．与向量相等的向量有，.由于||＝3，所以||＝6.

答案　(1)，　(2)6

6．在四边形ABCD中，＝，N，M是AD，BC上的点，且DN＝MB.

求证：＝.

证明　∵＝，∴||＝||且AB∥DC，

∴四边形ABCD是平行四边形∴CB＝DA，

∵DN＝MB，∴CM＝NA，

又∵CM∥NA，∴四边形CNAM是平行四边形，∴CN綉MA，

又与方向相同，∴＝.

综合提高　限时25分钟

7．下列命题：

(1)若a是单位向量，b也是单位向量，则a与b的方向相同或相反；

(2)若向量是单位向量，则向量也是单位向量；

(3)以坐标平面上的定点A为起点，所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆．

其中正确的个数为(　　)．

A．0             B．1          C．2            D．3

解析　由单位向量的定义知，凡长度为1的向量均称为单位向量，对方向没有任何要求，故(1)不正确；因为||＝||, 所以当是单位向量时，也是单位向量，故(2)正确；由于向量是单位向量，故||＝1，所以点P是以A为圆心的单位圆上的一点．反过来，若点P是以A为圆心的单位圆上的任意一点，则由于||＝1，所以向量是单位向量，故(3)正确．

答案　C

8．下列命题不正确的是(　　)．

A．零向量没有方向   B．零向量只与零向量相等

C．零向量的模为0   D．零向量与任何向量共线

解析　零向量是有方向的，它的方向可以是任意的，故选A.

答案　A

9．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________．

解析　因为a＝b⇒a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是①③④.

答案　①③④

10．给出下列命题：

①||＝||；

②若a与b方向相反，则a∥b；

③若、是共线向量，则A、B、C、D四点共线；

④有向线段是向量，向量就是有向线段；

基中所有真命题的序号是________．

解析　共线向量指方向相同或相反的向量，向量、是共线向量，也可能有AB∥CD，故③是假命题，向量可以用有向线段表示，不能说“有向线段是向量，向量就是有向线段”，比如0不能用有向线段表示，另外，向量有大小、方向两个要素，而有向线段有起点、方向、长度三个要素，故④是假命题．

答案　①②

11．已知直线l：y＝x－，点A，B(x，y)是直线l上的两点．

(1)若为零向量，求x，y的值；

(2)若为单位向量，求x，y的值．

解　(1)当为零向量时，点B到点A重合，此时x＝0，y＝－.

(2)当为单位向量时，||＝1，即A与B两点的距离为1，

所以 ＝1，即x2＋2＝1，

将y＝x－代入得，2x2＝1，

所以x＝，y＝0或x＝－，y＝－.

12．(创新拓展)一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30 n mile，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40 n mile有一艘渔船抛锚需救助．试求：

(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；

(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移．

解　(1)如图由于路程不是向量，与方向无关，所以其总的路程为巡逻艇两次路程的和，即为AB＋BC＝70(n mile)．

(2)巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有方向，因而大小为||＝＝50(n mile)，由于sin∠BAC＝，故方向为北偏东53°.