人教版九年级下册27.1 图形的相似课后复习题

27.1　图形的相似

第2课时　相似多边形的特征

一、选择题

1.如图所示的四边形与选项中的一个四边形相似,这个四边形是(      )

2.如图,四边形ABCD∽四边形EFGH,∠A＝80°,∠C＝90°,∠F＝70°,则∠E的度数为(      )

A.70° B.80° C.90° D.120°

第2题图                          第3题图                       第11题图

3.如图,一张矩形纸片ABCD的长AB＝a,宽BC＝b.将纸片对折,折痕为EF.若所得矩形AFED与矩形ABCD相似,则a∶b＝(      )

A.2∶1    B.∶1    C.3∶     D.3∶2

4.若四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，且相似比为1∶2，已知BC＝8，则B1C1的长为 (　　)

A．4　　　 B．16　　　C．24　　　 D．48

5.下列说法正确的是(　　)

A．若＝，则a＝b  B．若－x＝4y，则x＝－2y

C．若ax＝bx，则a＝b  D．若a2＝b2，则a＝b

6.如果2x＝3y(x，y均不为0)，那么下列各式中正确的是(　　)

A．＝    B．＝3  C．＝   D．＝

7.若＝＝＝k且3a－2b＋c＝3，则2a＋4b－3c的值是(　　)

A．14     B．42   C．7     D．

8.一个多边形的边长依次为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为(　　)

A．6        B．8         C．10        D．12

9.【中考·重庆】制作一块3 m×2 m的长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是(　　)

A．360元   B．720元  C．1 080元   D．2 160元

10.四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为2∶3，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为5∶4，则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比为(　　)

A．5∶6     B．6∶5   C．5∶6或6∶5   D．8∶15

11.如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(　　)

A．2DE＝3MN  B．3DE＝2MN  C．3∠A＝2∠F  D．2∠A＝3∠F

12.如图,一块矩形绸布ABCD的长AB＝a,宽AD＝3,按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗,如果裁出的每面彩旗与矩形绸布ABCD相似,那么a的值等于(      )

A.3 B.2 C.3 D.2

第12题图                                  第18题图

二、填空题

13.若,且3x+4z－2y＝40,则x的值为　　. 

14.【2020·娄底】若＝＝(a≠c)，则＝________.

15.下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有________________．(填序号)

16.利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为________.

17.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝60，CD＝15，E，F分别为AD，BC上一点，且EF∥AB，若梯形DEFC∽梯形EABF，那么EF＝________.

18.如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则矩形ABCD的面积是________.

三、解答题

19.如图，已知等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′相似，∠A′＝65°，A′B′＝6 cm，AB＝8 cm，AD＝5 cm.试求：

(1)梯形ABCD的各角的度数；

(2)A′D′，B′C′的长．

20.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处．若矩形EFDC与矩形ABCD相似，求AD的长．

21.为了铺设一矩形场地，特意选择某矩形地砖进行密铺，为了使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：

(1)每块矩形地砖的长与宽分别为多少？

(2)这样的地砖与所铺成的每一部分矩形是否相似？试说明理由．

22.【2021·贵阳云岩区模拟】已知a，b，c是△ABC的三边长，且＝＝≠0.

(1)求的值；

(2)若△ABC的周长为90，求各边的长．

23.一个用钢筋焊接的三角形的三边长分别是20 cm，60 cm，50 cm，现要做一个与其相似的钢筋三角形．因为只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，所以要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，请问：有几种截法？请指出余料最少的截法截出的三边长分别为多少．

24.在AB＝30 m,AD＝20 m的矩形花坛四周修筑小路.

(1)如果四周的小路的宽均相等,都是a,如图1,那么小路四周所围成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD相似吗?请说明理由.

(2)如果相对着的两条小路的宽均相等,宽度分别为x,y,如图2,试问小路的宽x与y的比值为多少时,能使得小路四周所围成的矩形A2B2C2D2和矩形ABCD相似?请说明理由.

参考答案

一、选择题

1.如图所示的四边形与选项中的一个四边形相似,这个四边形是(   D   )

2.如图,四边形ABCD∽四边形EFGH,∠A＝80°,∠C＝90°,∠F＝70°,则∠E的度数为(   B   )

A.70° B.80° C.90° D.120°

第2题图                          第3题图                       第11题图

3.如图,一张矩形纸片ABCD的长AB＝a,宽BC＝b.将纸片对折,折痕为EF.若所得矩形AFED与矩形ABCD相似,则a∶b＝(   B   )

A.2∶1    B.∶1    C.3∶     D.3∶2

4.若四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，且相似比为1∶2，已知BC＝8，则B1C1的长为 (　B　)

A．4　　　 B．16　　　C．24　　　 D．48

5.下列说法正确的是(　A　)

A．若＝，则a＝b  B．若－x＝4y，则x＝－2y

C．若ax＝bx，则a＝b  D．若a2＝b2，则a＝b

6.如果2x＝3y(x，y均不为0)，那么下列各式中正确的是(　B　)

A．＝    B．＝3  C．＝   D．＝

7.若＝＝＝k且3a－2b＋c＝3，则2a＋4b－3c的值是(　D　)

A．14     B．42   C．7     D．

8.一个多边形的边长依次为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边长为24，则另一个多边形的最短边长为(　B　)

A．6        B．8         C．10        D．12

9.【中考·重庆】制作一块3 m×2 m的长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是(　C　)

A．360元   B．720元  C．1 080元   D．2 160元

10.四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为2∶3，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为5∶4，则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比为(　A　)

A．5∶6     B．6∶5   C．5∶6或6∶5   D．8∶15

11.如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(　B　)

A．2DE＝3MN  B．3DE＝2MN  C．3∠A＝2∠F  D．2∠A＝3∠F

12.如图,一块矩形绸布ABCD的长AB＝a,宽AD＝3,按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗,如果裁出的每面彩旗与矩形绸布ABCD相似,那么a的值等于(   C   )

A.3 B.2 C.3 D.2

第12题图                                  第18题图

二、填空题

13.若,且3x+4z－2y＝40,则x的值为　4　. 

14.【2020·娄底】若＝＝(a≠c)，则＝________.

【答案】

15.下列命题：①所有的正方形都相似；②所有的矩形都相似；③有一个角是150°的两个菱形相似；④所有的正六边形都相似．其中是真命题的有________________．(填序号)

【答案】①③④

16.利用复印机的缩放功能放大一个三角形，将原图中边长为3，5，6的三角形的最长边放大到8，那么放大后的那个三角形的周长为________.

【答案】

17.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝60，CD＝15，E，F分别为AD，BC上一点，且EF∥AB，若梯形DEFC∽梯形EABF，那么EF＝________.

【答案】30

18.如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则矩形ABCD的面积是________.

【答案】

三、解答题

19.如图，已知等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′相似，∠A′＝65°，A′B′＝6 cm，AB＝8 cm，AD＝5 cm.试求：

(1)梯形ABCD的各角的度数；

解：∵等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′相似，∠A′＝65°，

∴∠A＝∠A′＝65°，

∴∠B＝∠A＝65°.

∴∠D＝∠C＝180°－65°＝115°.

(2)A′D′，B′C′的长．

解：∵等腰梯形ABCD与等腰梯形A′B′C′D′相似，

∴＝，即＝.

∴A′D′＝ cm.

∴B′C′＝A′D′＝ cm.

20.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处．若矩形EFDC与矩形ABCD相似，求AD的长．

解：由题意知四边形ABEF是正方形．

设AD＝x.  ∵AB＝1，∴FD＝x－1，FE＝1.

∵矩形EFDC与矩形ABCD相似，

∴＝，即＝，解得x1＝，x2＝(舍去)．

经检验，x＝是原方程的解且符合题意．

∴AD＝.

21.为了铺设一矩形场地，特意选择某矩形地砖进行密铺，为了使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：

(1)每块矩形地砖的长与宽分别为多少？

解：设每块矩形地砖的长为a cm，宽为b cm，

由题图可知4b＝60，即b＝15.

∵a＋b＝60，∴a＝60－b＝45.

∴每块矩形地砖的长为45 cm，宽为15 cm.

(2)这样的地砖与所铺成的每一部分矩形是否相似？试说明理由．

解：不相似．理由如下：

∵所铺成的每一部分矩形的长为2×45＝90(cm)，宽为60 cm，

∴＝＝. 而＝＝，≠，

即所铺成的每一部分矩形的长与宽和地砖的长与宽不成比例，

∴它们不相似．

22.【2021·贵阳云岩区模拟】已知a，b，c是△ABC的三边长，且＝＝≠0.

(1)求的值；

解：设＝＝＝k(k≠0)，则a＝5k，b＝4k，c＝6k，

∴＝＝.

(2)若△ABC的周长为90，求各边的长．

解：∵△ABC的周长为90，∴a＋b＋c＝90，

即5k＋4k＋6k＝90.解得k＝6，

∴a＝30，b＝24，c＝36.

【点拨】本题利用参数法，设＝＝＝k(k≠0)，易得a＝5k，b＝4k，c＝6k，再根据问题求解即可．

23.一个用钢筋焊接的三角形的三边长分别是20 cm，60 cm，50 cm，现要做一个与其相似的钢筋三角形．因为只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，所以要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，请问：有几种截法？请指出余料最少的截法截出的三边长分别为多少．

【思路点拨】利用相似多边形的对应边成比例可以求出相应的边长；由于对应边并没有给定，故需要分类讨论．

解：若截30 cm的钢筋，设截下的两段长分别为a cm和b cm(a＜b)，

则有＝＝，解得a＝，b＝.

∴a＋b＝＋＝＞30.

∴此截法不成立．

若截50 cm的钢筋，设截下的两段长分别为x cm和y cm(x＜y)．

①＝＝，

解得x＝12，y＝36.

∴x＋y＝12＋36＝48＜50.

∴此截法成立．

②＝＝，

解得x＝10，y＝25.

∴x＋y＝10＋25＝35＜50.

∴此截法成立．∴有两种截法．

∵50－48＝2(cm)，50－35＝15(cm)，

∴余料最少的截法截出的三边长分别为12 cm，30 cm，36 cm.

24.在AB＝30 m,AD＝20 m的矩形花坛四周修筑小路.

(1)如果四周的小路的宽均相等,都是a,如图1,那么小路四周所围成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD相似吗?请说明理由.

(2)如果相对着的两条小路的宽均相等,宽度分别为x,y,如图2,试问小路的宽x与y的比值为多少时,能使得小路四周所围成的矩形A2B2C2D2和矩形ABCD相似?请说明理由.

解:(1)矩形A1B1C1D1和矩形ABCD不相似.

理由:∵,

∴小路四周所围成的矩形A1B1C1D1和矩形ABCD不相似.

(2)∵当,

∴小路的宽x与y的比值为时,能使得小路四周所围成的矩形A2B2C2D2和矩形ABCD相似.