高中数学人教版新课标A必修4第一章 三角函数1.6 三角函数模型的简单应用测试题

【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 13.2导数的应用课时提能训练 文 新人教版

(45分钟  100分)

一、选择题(每小题6分，共36分)

1.函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是(　　)

(A)x＝1　　　　　　 　 (B)x＝－1

(C)x＝1或－1或0      (D)x＝0

2.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)

(A)f(0)＋f(2)＜2f(1)

(B)f(0)＋f (2)≤2f(1)

(C)f(0)＋f(2)≥2f(1)

(D)f(0)＋f(2)＞2f(1)

3.已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋2在R上是减函数，则a的取值范围是(　　)

(A)(－∞，－3)      (B)(－∞，－3]

(C)(－3,0)          (D)[－3,0]

4.已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c(　　)

(A)有最大值        (B)有最大值－

(C)有最小值        (D)有最小值－

5.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为(　　)

(A)，0            (B)0，

(C)－，0          (D)0，－

6.已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集

为(　　)

(A)(－∞，)∪(，2)

(B)(－∞，0)∪(，2)

(C)(－∞，) ∪(，＋∞)

(D)(－∞，)∪(2，＋∞)

二、填空题(每小题6分，共18分)

7.(易错题)已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝　　　　.

8.如果函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　.

9.直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是　　　　.

三、解答题(每小题15分，共30分)

10.(预测题)设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x

(1)当方程f(x)＝0只有一个实数解时，求实数m的取值范围.

(2)若m>0且当x∈[1－m,3]时，恒有f(x)≤0，求实数m的取值范围.

11.某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品售价降低2元时，一星期多卖出24件.

(1)将一个星期内该商品的销售利润表示成x的函数f(x)；

(2)如何定价才能使一个星期该商品的销售利润最大？

【探究创新】

(16分)某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝

3 700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5 000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).

(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)；(提示：利润＝产值－成本)

(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？

(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？

答案解析

1.【解析】选C.∵f(x)＝x4－2x2＋3，

∴由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0得

x＝0或x＝1或x＝－1，

又当x＜－1时f′(x)＜0，当－1＜x＜0时，f′(x)＞0，

当0＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，

∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点.

2.【解题指南】分x>1和x＜1两种情况讨论单调性.

【解析】选C.当x>1时，f′(x)≥0，若f′(x)＝0，

则f(x)为常数函数，

若f′(x)>0，则f(x)为增函数，总有f(x)≥f(1).

当x<1时，f′(x)≤0，若f′(x)＝0，则f(x)为常数函数.

若f′(x)<0，则f(x)为减函数，总有f(x)≥f(1)，

∴f(x)在x＝1处取得最小值.

即f(0)≥f(1)，f(2)≥f(1)，∴f(0)＋f(2)≥2f(1).

3.【解析】选B.∵f(x)＝ax3＋3x2－x＋2在R上是减函数，

∴f′(x)＝3ax2＋6x－1≤0在R上恒成立.

∴.∴a≤－3.

4.【解析】选B.由f(x)在[－1,2]上是减函数，知

f′(x)＝3x2＋2bx＋c≤0，x∈[－1,2]，

则15＋2b＋2c≤0

b＋c≤－.

5.【解题指南】解答本题的突破口在于由f(x)的图象与x轴切于(1,0)点得到

f′(1)＝0及f(1)＝0.

【解析】选A.f′(x)＝3x2－2px－q，

由f′(1)＝0，f(1)＝0得

，解得，

∴f(x)＝x3－2x2＋x.

由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，

得x＝或x＝1，

进而求得当x＝时，f(x)取极大值，当x＝1时，

f(x)取极小值0，故选A.

6.【解析】选B.由f(x)图象的单调性可得f′(x)在(－∞，)和(2，＋∞)上

大于0，在(，2)上小于0，

∴xf′(x)<0的解集为(－∞，0)∪(，2).

7.【解析】∵f′(x)＝3x2＋6mx＋n，

∴由已知可得

，

∴或，

当时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立与x＝－1是极值点矛盾，

当时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，

显然x＝－1是极值点，符合题意，

∴m＋n＝11.

答案：11

【误区警示】本题易出现求得m，n后不检验的错误.

8.【解析】∵y′＝3ax2－2x＋1≥0

∴a>0且Δ＝4－12a≤0，即a≥.

答案：[，＋∞)

9. 【解析】令f′(x)＝3x2－3＝0，

得x＝±1，

可求得f(x)的极大值为

f(－1)＝2，

极小值为f(1)＝－2，

画出函数图象如图所示，可得－2<a<2时，恰有三个不同公共点.

答案：(－2,2)

【方法技巧】图象的应用

对于求函数y＝f(x)的零点个数或方程f(x)＝0的根的个数的题目，可以转化为求两个函数的图象的交点的个数，利用导数知识可以研究函数的单调性和极值，从而得到函数的图象，通过观察函数图象得到答案.

10.【解析】(1)f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1) x＝x[－x2＋x＋(m2－1)]，

∵方程f(x)＝0只有一个实数解，

∴－x2＋x＋(m2－1)＝0没有实数解.

∴Δ＝1＋(m2－1)<0，解得－<m<.

所以，当方程f(x)＝0只有一个实数解时，实数m的取值范围是(－，).

(2)由f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1＝－(x－m－1)(x＋m－1)，

因为m>0，所以1＋m>1－m，

所以f(x)在(－∞，1－m)和(1＋m，＋∞)内单调递减，

在(1－m,1＋m)内单调递增.

①当3<1＋m，即m>2时，f(x)在区间[1－m,3]上是增函数，

f(x)max＝f(3)＝3m2－3，

∴无解.

②当1＋m≤3，即0<m≤2时，f(x)在区间[1－m，1＋m]上是增函数，在(1＋m,3)上是减函数，

∴f(x)max＝f(1＋m)＝m3＋m2－，

∴，解得0<m≤，

综上所述，m的取值范围为(0，].

【变式备选】已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b为实数，且a>1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若函数g(x)＝f(x)－mx在区间[－2,2]上为减函数，求实数m的取值范围.

【解析】(1)f′(x)＝3x2－3ax，

令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝a，

∵a>1，

∴f(x)在[－1,0]上为增函数，在[0,1]上为减函数.

∴f(0)＝b＝1，

∵f(－1)＝－a，f(1)＝2－a，∴f(－1)<f(1)，

∴f(－1)＝－a＝－2，a＝.

∴f(x)＝x3－2x2＋1.

(2)g(x)＝x3－2x2－mx＋1，

g′(x)＝3x2－4x－m.

由g(x)在[－2,2]上为减函数，

知g′(x)≤0在x∈[－2,2]上恒成立.

∴，即，∴m≥20.

∴实数m的取值范围是m≥20.

11.【解析】(1)依题意商品降价x元，则每个星期多卖的商品数为kx2，则

f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)，

又由已知条件，24＝k·22，于是有k＝6，

所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21].

(2)根据(1)，我们有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化如下表：

故x＝12时，f(x)取到极大值.因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，

所以定价为12元能使一个星期的商品销售利润最大.

【探究创新】

【解析】(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3 240x－5 000(x∈N*，

且1≤x≤20)；

MP(x)＝P(x＋1)－P(x)

＝－30x2＋60x＋3 275 (x∈N*，且1≤x≤19).

(2)P′(x)＝－30x2＋90x＋3 240

＝－30(x－12)(x＋9)，

∵x>0，∴P′(x)＝0时，x＝12，

当0<x<12时，P′(x)>0，

当x>12时，P′(x)<0，

∴x＝12时，P(x)有极大值，也是最大值.

即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.

(3)MP(x)＝－30x2＋60x＋3 275

＝－30(x－1)2＋3 305.

所以，当x≥1时，MP(x)单调递减，

所以单调减区间为[1,19]，且x∈N*.

MP(x)是减函数的实际意义是：随着产量的增加，每艘利润与前一艘比较，利润在减少.