高中数学3.2 一元二次不等式及其解法第2课时课时作业

第3章  3.2  第2课时

(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，则a，c的值为(　　)

A．a＝6，c＝1　　　　　　　　 B．a＝－6，c＝－1

C．a＝1，c＝1   D．a＝－1，c＝－6

解析：　由已知得，

解得

答案：　B

2．关于x的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)   B．(－∞，0)∪

C．(－∞，0]   D．(－∞，0]∪

解析：　原不等式等价于mx2＋mx＋m－1＜0对x∈R恒成立，

当m＝0时，0·x2＋0·x－1＜0对x∈R恒成立．

当m≠0时，由题意，得

⇔⇔⇔m＜0.

综上，m的取值范围为(－∞，0]．

答案：　C

3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是(　　)

A．(2,3)   B．(－∞，2)∪(3，＋∞)

C.   D.∪

解析：　由题意知－，－是ax2－bx－1＝0的两实根，

∴.解得.

∴x2－bx－a＜0⇔x2－5x＋6＜0⇔2＜x＜3.

答案：　A

4．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则(　　)

A．－1＜a＜1   B．0＜a＜2

C．－＜a＜  D．－＜a＜

解析：　因为(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，又不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，所以(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1＞0对任意实数x恒成立，所以Δ＝(－1)2－4(－a2＋a＋1)＜0，解得－＜a＜，故选C.

答案：　C

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．如果A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是________．

解析：　由题意知，∴0＜a＜4.

当a＝0时，A＝{x|1＜0}＝∅，符合题意．

答案：　[0,4)

6．函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取值范围为________．

解析：　由已知f(x)的定义域是R.

所以不等式ax2＋3ax＋1＞0恒成立．

(1)当a＝0时，不等式等价于1＞0，显然恒成立；

(2)当a≠0时，则有⇔⇔

⇔0＜a＜.

由(1)(2)知，0≤a＜.

即所求a的取值范围是.

答案：　

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋4x－5＜0的解集为B，

(1)求A∪B；

(2)若不等式x2＋ax＋b＜0的解集是A∪B，求ax2＋x＋b＜0的解集．

解析：　(1)解不等式x2－2x－3＜0，得A＝{x|－1＜x＜3}．

解不等式x2＋4x－5＜0，得B＝{x|－5＜x＜1}．

∴A∪B＝{x|－5＜x＜3}．

(2)由x2＋ax＋b＜0的解集为{x|－5＜x＜3}，

∴，解得.

∴2x2＋x－15＜0.

∴不等式的解集为.

8．某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．

(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；

(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．

解析：　(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%

＝a(100＋2x)(10－x)(0＜x＜10)．

(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．

依题意得：a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，

化简得，x2＋40x－84≤0，

∴－42≤x≤2.

又∵0＜x＜10，∴0＜x≤2.

∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．

尖子生题库☆☆☆

9．(10分)设0＜b＜1＋a，若关于x的不等式(x－b)2＞(ax)2的解集中的整数恰有3个，求a的取值范围．

解析：　由(x－b)2＞(ax)2，

得(x－b)2－(ax)2＞0，

即[(1＋a)x－b][(1－a)x－b]＞0.

若－1＜a＜0，则x＞或x＜，可知不止3个整数解；若0＜a＜1，则x＞或x＜，可知不止3个整数解；

若a＞1，则(x－b)2＞(ax)2，

即[(1＋a)x－b][(a－1)x＋b]＜0，

则－＜x＜.

又0＜b＜1＋a，所以不等式的解集中的整数为－2，－1,0，

故－3≤＜－2，则2a－2＜b≤3a－3，

即，解得1＜a＜3.