数学3.4 基本不等式测试题

选修4—5   不等式选讲

随堂演练巩固

1.对于R,不等式|x+10|-|x-2|的解集为          .

【答案】

【解析】 令y=|x+10|-|x-2|=

则可画出其函数图象如图所示:

由图象可以观察出使的x的范围为.

∴|x+10|-|x-2|的解集为.

2.（2011江西高考，理15）对于实数x,y,若|x-1||y-2|1,则|x-2y+1|的最大值为          .

【答案】 5

【解析】 |x-2y+1|=|x-1-2(y-2)-2||x-1|+2|y-2|+1+2+2=5.

3.设函数f(x)=|2x-4|+1.

(1)画出函数y=f(x)的图象;

(2)若不等式的解集非空,求a的取值范围.

【解】 (1)由于f(x)= 则函数y=f(x)的图象如图所示.

(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当或a<-2时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点,故不等式的解集非空时,a的取值范围为.

4.设a,b是非负实数,求证: .

【证明】 由a,b是非负实数,作差得

.

当时从而

得;

当a<b时从而

得.

∴.

5.若a>b>c,且a+b+c=0,证明:.

【证明】

c)>0.

∵a>b>c,a+b+c=0,

∴a-c>0,2a+c=a+(a+c)=a-b>0,

即知(a-c)(2a+c)>0.

故.

6.已知求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.

【证法一】 假设三式同时大于

即有

三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b.

又.

同理.

∴(1-a)a(1-b与假设矛盾,

∴结论正确.

【证法二】 假设三式同时大于

∵0<a<1,∴1-a>0,

.

同理都大于.

三式相加,得矛盾.

∴原命题成立.

课后作业夯基

基础巩固

1.若不等式|x+1|+|x-2|对任意R恒成立,则a的取值范围是          .

【答案】

【解析】 方法一:∵|x+1|+|x-2||(x+1)-(x-2)|=3,

∴使原不等式恒成立的a的取值范围是.

方法二:|x+1|+|x-2|表示数轴上一点A(x)到B(-1)与C(2)的距离之和,而|BC|=3,

∴|AB|+|AC|.∴.

方法三:设f(x)=|x+1|+|x-2|=

∴f(x)的图象如图所示,

∴.∴.

2.不等式||的解集是          .

【答案】

【解析】 ∵||=||,

而恒成立,

∴原不等式等价于

即2x>-6,x>-3.

∴原不等式的解集为.

3.（2011天津高考，理13）已知集合A={R||x+3|+|x-4|9},B={R|

},则集合                 .

【答案】 {x|}

【解析】 解不等式|x+3|+|x-4|.

(1)当x<-3时,|x+3|+|x-4|=-x-3+4-9,

∴即;

(2)当时,|x+3|+|x-4|=x+3+4-9恒成立,

∴;

(3)当x>4时,|x+3|+|x-4|

∴即.

综上所述,A={R|}.

∵∴当且仅当时等号成立.

∴B={R|}.

∴{R|}{R|}={R|}.

4.如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|<a的解集不是空集,则实数a的取值范围是        .

【答案】 a>-1

【解析】 a>(|x-3|-|x-4|令y=|x-3|-|x-4|,

由几何意义得故a>-1.

5.若不等式||>|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是        .

【答案】 (1,3)

【解析】 ∵||∴|a-2|+1<2,

即|a-2|<1,解得1<a<3.

6.解不等式|3x-2|>4.

【解法一】 由|3x-2|>4,得3x-2<-4或3x-2>4,

即或x>2.

所以原不等式的解集为{x|或x>2}.

【解法二】 (数形结合法):

画出函数y=|3x-2|= 的图象,如下图所示:

|3x-2|=4,解得x=2或

∴|3x-2|>4时或x>2.

∴原不等式的解集为{x|或x>2}.

7.解不等式:|x|+|2x+7|<5.

【解】 当时,-x-(2x+7)<5,x>-4,∴-4<;

当时,-x+2x+7<5,x<-2,

∴<x<-2;当x>0时,x+2x+7舍去.

∴原不等式的解集为(-4,-2).

8.若关于x的不等式x+|x-1|有解,求实数a的取值范围.

【解】 设f(x)=x+|x-1|,则f(x)=

所以f(x)的最小值为1.

所以当时有解,

即实数a的取值范围是.

9.解不等式x+|2x-1|<3.

【解】 原不等式可化为

或

解得或.

所以原不等式的解集是{x|}.

10.求证:.

【证明】 设

定义域为{x|R且},f(x)分别在上是增函数.

又|a+b||a|+|b|,

∴f(|a+b||a|+|b|),

即

.

∴原不等式成立.

11.设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.

(1)当a=1时,求不等式的解集;

(2)若不等式的解集为{x|},求a的值.

【解】 (1)当a=1时可化为|x-1|.

由此可得或.

故不等式的解集为{x|或-1}.

(2)由得|x-a|.

此不等式化为不等式组

或

即 或

因为a>0,所以不等式组的解集为{x|}.

由题设可得故a=2.

12.已知且求证:若a,b,c成等差数列,则不可能成等差数列.

【证明】 假设成等差数列,则化简得b(a+c)=2ac. ①

因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.  ②

把②代入①,得由此得.

这与相矛盾,因此假设不成立,故原命题正确.

13.(2011安徽高考,理19)(1)设证明x+y+;

(2)设证明loglogloglogloglog.

【证明】 (1)由于所以.

将上式中的右式减左式,得[y[xy(x+y)+1]

y)-(x+y)]

=(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)

=(xy-1)(xy-x-y+1)

=(xy-1)(x-1)(y-1).

既然所以(xy-1)(x-1.

从而所要证明的不等式成立.

(2)设loglog

由对数的换底公式得loglogloglog.

于是,所要证明的不等式即为

其中x=loglog.

故由(1)可知所要证明的不等式成立.

拓展延伸

14.已知函数f(x)=|x-a|,

(1)若不等式的解集为{x|},求实数a的值;

(2)在(1)的条件下,若对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.

【解法一】 (1)由得|x-a|解得a+3.

又已知不等式的解集为{x|},

所以

解得a=2.

(2)当a=2时,f(x)=|x-2|.

设g(x)=f(x)+f(x+5),于是

g(x)=|x-2|+|x+3|=

所以当x<-3时,g(x)>5;

当时,g(x)=5;

当x>2时,g(x)>5.

综上可得,g(x)的最小值为5.

从而,若

即对一切实数x恒成立,

则m的取值范围为.

【解法二】 (1)同解法一.

(2)当a=2时,f(x)=|x-2|.设g(x)=f(x)+f(x+5).

由|x-2|+|x+3||(x-2)-(x+3)|=5(当且仅当时等号成立)得,g(x)的最小值为5.

从而,若

即对一切实数x恒成立,则m的取值范围为.