高中数学3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性课后作业题

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课后巩固作业（二十二）

(30分钟　50分)

一、选择题 (每小题4分，共16分)

1.在△ABC中，三个顶点分别为A（2，4），B（-1，2），C（1，0），点P（x,y）在△ABC的内部及其边界上运动，则y-x的取值范围为（   ）

（A）［1,3］     （B）［-3,1］      （C）［-1,3］      （D）［-3,-1］

2.（2011·天津高考）设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-y的最大值为(   )

(A)-4      (B)0       (C)      (D)4

3.已知变量x,y满足约束条件则的取值范围是（   ）

(A)［］                       (B)(-∞,］∪［6,+∞)

(C)(-∞,3］∪［6,+∞)            (D)［3,6］

4.已知实数x,y满足如果目标函数z=x-y的最小值为-1，则实数m等于（   ）

（A）7     （B）5      （C）4     （D）3

二、填空题(每小题4分，共8分)

5.若实数x,y满足不等式组则2x+3y的最小值是_________.

6.若目标函数z=x+y+1在约束条件下取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是________.

三、解答题(每小题8分，共16分)

7.已知二元一次不等式组

（1）求目标函数M=3x-y的最大值和最小值；

（2）求目标函数z=x+2y+2的最大值和最小值.

8.已知x,y满足求：

（1）的最小值；

（2）的最大值.

【挑战能力】

（10分）已知x、y、z为非负实数，p=-3x+y+2z,q=x-2y+4z,x+y+z=1,求p-q的最大值和最小值.

答案解析

1.【解析】选C.先画出三角形区域（如图），然后转化为一个线性规划问题，求线性目标函数z=y-x的取值范围.由图求出其取值范围是［-1，3］，故选C.

2.【解析】选D.作出可行域，如图所示.联立

解得当目标函数z=3x-y移至(2,2)时，z=3x-y有最大值4.故选D.

3.【解题提示】作出约束条件表示的可行域，另外要注意表示可行域内的点与原点连线的斜率，充分利用其几何意义.

【解析】选A.作出约束条件表示的可行域(如图).可行域为△ABC.

设

故选A.

4.【解析】选B.由x,y满足的可行域，可得直线y=2x-1与直线x+y=m的交点对应的x,y值使目标函数z=x-y取得最小值，故解得

代入x-y=-1,得

∴m=5，此时直线y=2x-1与直线x+y=m的交点为（2，3），故选B.

5.【解析】如图所示，阴影部分是不等式组表示的平面区域.

设z=2x+3y，则结合平面区域可得，当直线过点A时z取最小值，由得A（2，0），

∴zmin=2×2+0=4.

答案：4

6.【解题提示】解此类题目一定要把最值放在边界上考虑，只有这样才能有无数个点使目标函数取得最大值或最小值.

【解析】先根据作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z=x+y+1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x+y-2=0，且只有当n＞2时，可行域才包含x+y-2=0这条直线上的线段BC或其部分.

答案：n＞2

7.【解析】（1）作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示（阴影部分）.由M=3x-y,得y=3x-M,得到斜率为3，在y轴上的截距为-M,随M变化的一组平行直线，由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距-M最大，即M最小，解方程组得C（-2,3）,所以Mmin=3×（-2）-3=-9.当直线经过可行域上的B点时，截距-M最小，即M最大，解方程组得B（2,1）,所以Mmax=3×2-1=5.所以M=3x-y的最大值是5，最小值是-9.

（2）在图中作直线x+2y=0.由z=x+2y+2，得得到斜率为在y轴上的截距为随z变化的一组平行直线，由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距最小，即z最小，解方程组得A（-2,-3）,所以zmin=-2+2×（-3）+2=-6.当直线与x+2y=4重合时，截距最大，即z最大，所以zmax=4+2=6.所以z=x+2y+2的最大值是6，最小值是-6.

【误区警示】在求M的最值时，一定要注意M前面的符号.

8.【解题提示】解答本题可将问题转化为在线性约束条件下，求（1）原点到可行域的距离平方的最小值；

（2）定点（-3,0）与可行域内的点（x,y）的连线的斜率的最大值.【解析】先作出可行域，如图所示，

（1）    z=x2+y2可看成点O（0,0）与点（x,y）     的距离的平方，由图形可知，点O到直线AC和BC的距离相等，距离为

∴zmin=d2=2.

（2）

∴z可看成过点（－3,0）和（x，y）的直线的斜率，

设P（-3,0）,可知A（2,4）,

由图形可知

【方法技巧】非线性目标函数的最值

解决这类问题关键是利用图形的直观性，这就需要准确作出可行域，抓住目标函数z=f(x，y)中z的几何意义.

如：①中的z的几何意义就是点A（x，y）与原点连线的斜率，当求与之相关的最值问题时，就要观察图中斜率的变化情况.

②中z的几何意义为:点A(x，y)与点B(x1，y1)连线的斜率.

③中z的几何意义为：点A（x，y）与原点的距离.

④中z的几何意义为：点A（x，y）与点C（a，b）的距离.

【挑战能力】

【解题提示】这道题从表面上看不是线性规划问题，由于x、y、z非负，可以构造出关于p、q的不等式组，进而用线性规划的方法来解决.

【解析】依题意有

解得

由题意知x≥0,y≥0,z≥0.

故由上述结果可得到点（p,q）的范围实际上是由二元一次不等式组来决定其在平面上表示的区域，如图所示，显然p-q分别在点A、B处取得最值.

由得A（1,-2），

由得B（-3,1），

∴p-q的最大值为3，最小值为-4.