高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式导学案，共9页。

2.经历基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理能力。
3.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性。
重点：基本不等式的形成以及推导过程和利用基本不等式求最值；
难点：基本不等式的推导以及证明过程．
预习导入
阅读课本44-45页，填写。
1.重要不等式
2.基本不等式
(1)基本不等式成立的条件:_____________.
(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.
注意：一正二定三等.
3.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥_
_____(a,b∈R).
(2) ≥____(a,b同号).
(3) (a,b∈R).
(4) (a,b∈R).
4. 设a>0,b>0，则a,b的算术平均数为___________,几何平均
数为______，基本不等式可叙述为：_____________________.
1.已知x>0，求x+1x的最小值.
2. 已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P；
（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2.
题型一 利用基本不等式求最值
例1 求下列各题的最值.
（1）已知x>0,y>0,xy=10,求 的最小值；
（2）x>0,求 的最小值；
（3）x<3，求 的最大值；
跟踪训练一
（1）已知x>0,y>0，且 求x+y 的最小值；
（2）已知x< 求函数 的最大值;
（3）若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值.
题型二 利用基本不等式解决实际问题
例2 （ １ ） 用篱笆围一个面积为１００m2的矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 所用篱笆最短？ 最短篱笆的长度是多少？
（ ２ ） 用一段长为 ３６ｍ 的篱笆围成一个矩形菜园 ,当这个矩形的边长为多少时 ， 菜园的面积最大？ 最大面积是多少？
跟踪训练二
1. 如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.
（1）要使矩形的面积大于50平方米，则的长应在什么范围？
（2）当的长为多少米时，矩形花坛的面积最小？并求出最小值.
1．已知，且，则最大值为 （ ）
A．1B．2C．3D．4
2．函数的最小值为( )
A．6B．7C．8D．9
3．已知，则的最小值是（ ）
A．B．C．5D．4
4．若函数在处取最小值，则等于（ ）
A．3B．C．D．4
5．已知正数、满足，则的最大值为__________．
6．当时，的最大值为__________.
7．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
（1）将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
答案
小试牛刀
1．【答案】见解析
【解析】因为x>0，所以x+1x ≥2x∙1x=2,
当且仅当x=1x，即x2=1，x=1时，等号成立，因此所求的最小值为2.

2．【答案】见证明
【解析】证明：因为x，y都是正数，所以x+y2 ≥xy
（1）当积xy等于定值P时，x+y2 ≥P，
所以x+y ≥ 2P，
当且仅当x=y时，上式等号成立.于是，当x=y时，和x+y有最小值2P.
（2）当和x+y等于定值S时，xy⩽S2，
所以 xy ⩽ 14S2，
当且仅当x=y时，上式等号成立。于是，当x=y时，积xy有最大值14S2.
自主探究
例1 【答案】见解析
【解析】（1） 由x>0,y>0,xy=10.
当且仅当2y=5x,即x=2,y=5时等号成立.
(2)∵x>0,
等号成立的条件是 即x=2,
∴f(x)的最小值是12.
(3)∵x<3,∴x-3<0,∴3-x>0,
当且仅当即x=1时，等号成立.故f(x)的最大值为-1.
跟踪训练一
【答案】见解析
【解析】
例2 【答案】见解析
【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m,ym，篱笆的长度为2x+ym.
(1)由已知得xy=100.
由x+y2 ≥xy，可得x+y≥2xy=20,
所以2x+y≥40,
当且仅当x=y=10时，上式等号成立.
(2)由已知得2x+y=36，矩形菜园的面积为xym2.
由xy⩽x+y2 = 182 = 9,可得xy⩽81，
当且仅当x=y=9时，上式等号成立.
跟踪训练二
1.【答案】见解析
【解析】（1）设的长为米，则米

由矩形的面积大于得：
又，得：，解得：或
即长的取值范围为：
（2）由（1）知：矩形花坛的面积为：
当且仅当，即时，矩形花坛的面积取得最小值
故的长为米时，矩形的面积最小，最小值为平方米
当堂检测
1-4．DCAA
5．5
6.-3
7．【答案】（1） ；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大
【解析】（1）由题意可知，当时， （万件），
所以，所以，所以，
每件产品的销售价格为 （万元），
所以年利润
所以，其中.
（2）因为时，，即
所以，当且仅当，即 （万元）时， （万元）.
所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.