高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.3 幂函数学案设计，共9页。学案主要包含了四象限．等内容，欢迎下载使用。


1、理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象；
2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；
3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．
1.数学抽象：用数学语言表示函数幂函数；
2.逻辑推理：常见幂函数的性质；
3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；
4.数据分析：比较幂函数大小；
5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。
重点：常见幂函数的概念、图象和性质；
难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．
预习导入
阅读课本89-90页，填写。
1．幂函数
一般地,函数________叫做幂函数,其中________是自变量, ________是常数.
幂函数的性质
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数． ( )
(2)幂函数的图象必过点(0,0)(1,1)． ( )
(3)幂函数的图象都不过第二、四象限． ( )
2．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝eq \r(x) B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝x－1
3．已知f(x)＝(m－1)x是幂函数，则m＝( )
A．2 B．1
C．3 D．0
4．已知幂函数f(x)＝xα图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(\r(2),2)))，则f(4)＝________.
题型一 幂函数的概念
例1 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.
跟踪训练一
1.如果幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不过原点,求实数m的取值.
题型二 幂函数的图象与性质
例2 已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.cC.b跟踪训练二
1.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是( )
A.nB.mC.n>m>0
D.m>n>0
题型三 利用幂函数的单调性比较大小
例3 比较下列各组中两个数的大小:
(1)2512与1312;
(2)-23-1与-35-1;
(3)1234与3412.
跟踪训练三
1. 已知a=243,b=425,c=2513,则( )
A.bC.b1．在函数①y＝eq \f(1,x)，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝x中，是幂函数的是( )
A．①②④⑤ B．③④⑥
C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
2．已知幂函数f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\r(2)))，则k＋α＝( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．.2
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D.y＝x
4.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )
A．nC．n>m>0 D．m>n>0
5．如下图所示曲线是幂函数y＝xα在第一象限内的图象，已知α取±2，±eq \f(1,2)四个值，则对应于曲线C1，C2，C3，C4的指数α依次为( )
A．－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2
B．2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2
C．－eq \f(1,2)，－2,2，eq \f(1,2)
D．.2，eq \f(1,2)，－2，－eq \f(1,2)
6．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．
解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，))∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±eq \r(2).
7．比较下列各组数的大小．
(1)3和3.2；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))；
(3)4.1和3.8.
解：(1)函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3＞3.2.
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而eq \f(2,3)＞eq \f(π,6)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6))).
(3)4.1＞1＝1,0＜3.8－eq \f(4,3)＜1－eq \f(4,3)＝1，
所以4.1＞3.8－eq \f(4,3).
答案
小试牛刀
1．（1）√ （2）× （3） ×
2-3．C A
4．eq \f(1,2)
自主探究
例1 【答案】m=3
【解析】根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.
当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;
当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.
跟踪训练一
1.【答案】m=1或m=2.
【解析】 由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.
综上所述,m=1或m=2.
例2 【答案】A
【解析】由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0跟踪训练二
1.【答案】 A
【解析】画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n例3 【答案】见解析
【解析】(1)∵幂函数y=x12在[0,+∞)上是增函数,
又25>13,∴2512>1312.
(2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是减函数,
又-23<-35,∴-23-1>-35-1.
(3)∵函数y1=12x在定义域内为减函数,且34>12,∴1212>1234.
又函数y2=x12在[0,+∞)上是增函数,且34>12,
∴3412>1212.∴3412>1234.
跟踪训练三
1.【答案】A
【解析】 ∵a=243=1613,b=425=1615,c=2513, ∴a>b,a当堂检测
1-5．CAAAB
6．【答案】见解析
【解析】(1)若函数f(x)为正比例函数，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))∴m＝1.
(2)若函数f(x)为反比例函数，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，))∴m＝－1.
(3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
∴m＝－1±eq \r(2).
7. 【答案】见解析
【解析】(1)函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3＞3.2.
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而eq \f(2,3)＞eq \f(π,6)，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))＞eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6))).
(3)4.1＞1＝1,0＜3.8－eq \f(4,3)＜1－eq \f(4,3)＝1，
所以4.1＞3.8－eq \f(4,3).
幂函数
y=x
y=x2
y=x3
y=
y=x-1
定义域
R
R
R
_____
(-∞,0)∪(0,+∞)
值域
R
_____
R
_____
(-∞,0)∪(0,+∞)
奇偶性
_____
_____
奇函数
_____
_____
单调性
在R上是_____
在[0,+∞)上是_____,在(-∞,0]上是_____
在R上是_____
在[0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是_____,在(-∞,0)上是_____
公共点
_____