高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数教学设计

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                 第四章  指数函数与对数函数                4.4.1对数函数的概念本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.4.1节《对数函数的概念》。对数函数是高中数学在指数函数之后的重要初等函数之一。对数函数与指数函数联系密切，无论是研究的思想方法方法还是图像及性质，都有其共通之处。相较于指数函数，对数函数的图象亦有其独特的美感。学习中让学生体会在类比推理，感受图像的变化，认识变化的规律，这是提高学生直观想象能力的一个重要的过程。为之后学习数学提供了更多角度的分析方法。培养学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模的核心素养。课程目标学科素养1、理解对数函数的定义，会求对数函数的定义域；2、了解对数函数与指数函数之间的联系，培养学生观察问题、分析问题和归纳问题的思维能力以及数学交流能力；渗透类比等基本数学思想方法。3、在学习对数函数过程中，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养数学应用的意识，感受数学、理解数学、探索数学，提高学习数学的兴趣。a.数学抽象：对数函数的概念；b.逻辑推理：对数函数与指数函数的关系；c.数学运算：求对数函数的定义域；d.直观想象：对数函数的图像；e.数学建模：运用对数函数解决实际问题； 教学重点：对数函数的概念、求对数函数的定义域 教学难点：对数函数与指数函数的关系。多媒体教学过程设计意图核心教学素养目标（一）、问题探究 问题1　当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么，死亡１年后，生物体内碳１４含量为（1-p)1；死亡２年后，生物体内碳１４含量为（1-p)2 ；死亡３年后，生物体内碳１４含量为（1-p)3 ；……死亡５７３０年后，生物体内碳１４含量为（1-p)5730 ．根据已知条件， （1-p)5730＝,从而1-p=,所以p=1-．设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳１４含量为y，那么y=（1-p)x ，即, （x∈[０，＋∞））． 这也是一个函数，指数x是自变量．死亡生物体内碳１４含量每年都以1-减率衰减．像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减．因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减．在上述问题中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究．  在问题中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？2、概念建构根据指数与对数的关系，由（x≥０）得到如图过y轴正半轴上任意一点（0，）（ ≤１）作x轴的平行线，与（x≥０）的图象有且只有一个交点（，）．这就说明，对于任意一个y∈（０，１］，通过对应关系，在［０，＋∞）上，都有唯一确定的数x和它对应，所以x也是y的函数．也就是说，函数刻画了时间x随碳14含量y的衰减而变化的规律．同样地，根据指数与对数的关系，由（ ＞０，且≠１）可以得到（ ＞０，且≠１）,x也是y的函数．通常，我们用x表示自变量，表y示函数．为此，将（ ＞０，且≠１）中的字母x和y对调，写成yx（ ＞０，且≠１）．                对数函数的概念       函数y＝lo____x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．（二）、典例解析题型1   对数函数的概念及应用例1　(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0，且a≠1)；③y＝log(－1)x；④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝logx.其中是对数函数的为(　　)A．③④⑤　　　　　　　B．②④⑥C．①③⑤⑥           D．③⑥(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.  (3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ＝________.  (1)D　(2)4　(3)－1　[(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，所以解得a＝4.(3)设对数函数为f(x)＝logax(a>0且a≠1)，由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，∴f(x)＝log2x，∴f ＝log2＝－1.][规律方法]　       判断一个函数是对数函数的方法 跟踪训练1．若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________.答案：2　[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a>0且a≠1，所以a＝2.]题型2   对数函数的定义域例2 求下列函数的定义域．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8). [解]　(1)要使函数f(x)有意义，则logx＋1>0，即logx>－1，解得0<x<2，即函数f(x)的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足即解得－1<x<2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得解得故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义域为.[规律方法]　求对数型函数的定义域时应遵循的原则（1）分母不能为；（2）根指数为偶数时，被开方数非负；（3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.跟踪训练2．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋；(2)f(x)＝logx＋1(16－4x)．[解]　(1)要使函数有意义，需满足解得x>2且x≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，需满足解得－1<x<0或0<x<4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．题型3   对数函数的应用例3　假设某地初始物价为１，每年以５％的增长率递增，经过y年后的物价为x．（１）该地的物价经过几年后会翻一番？（２）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．解：（１）由题意可知，经过y年后物价x为，即（ ∈［０，＋∞））．由对数与指数间的关系，可得y= ∈［１，＋∞）．由计算工具可得，当＝２时，≈１４．所以，该地区的物价大约经过１４年后会翻一番．（２）根据函数y= ∈［１，＋∞）．利用计算工具，可得下表：由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加１倍所需要的时间在逐渐缩小． 温故知新，通过对上节指数函数问题的回顾，提出新的问题，构建对数函数的概念。培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。                     通过对指数函数回顾，类比得出对数函数的概念质，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养；              通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉对数函数的概念性。培养逻辑推理核心素养。               求解对数函数的定义域，发展学生数学运算、逻辑推理的核心素养；                    通过对应用问题的解决，发展学生数学建模的核心素养；三、当堂达标1．下列函数是对数函数的是(　　)A．y＝2＋log3x                   B．y＝loga(2a)(a>0，且a≠1)C．y＝logax2(a>0，且a≠1)          D．y＝ln x【答案】D　[结合对数函数的形式y＝logax(a>0且a≠1)可知D正确．]2．函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是(　　) A.　　　　B.   C.      D.【答案】C　[由得即1≤x<.]3．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围. 【答案】(1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．所以所求a的取值范围为0<a<2.  通过练习巩固本节所学知识，巩固对数函数的概念，增强学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。    四、小结1.对数函数的定义:一般地,函数                               叫做对数函数.其中 x是自变量.定义域为     .五、作业1. 课时练   2. 预习下节课内容学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；