2021学年4.3 对数教案

课程目标

学科素养

1、理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化；

2、了解常用对数与自然对数的意义，理解对数恒等式并能运用于有关对数计算。

3、通过转化思想方法的运用，培养学生转化的思想观念及逻辑思维能力。

a.数学抽象：对数的运算性质；

b.逻辑推理：对数运算性质的推导；

c.数学运算：对数运算性质的运用；

d.直观想象：指数与对数的关系；

e.数学建模：在实际问题中运用对数运算性质及换底公式；

教学过程

设计意图

核心教学素养目标

（一）、温故知新

1．对数

(1)指数式与对数式的互化及有关概念：

(2)底数a的范围是________________.

（二）、探索新知

问题提出：在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？

我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？

探究一：对数的运算性质

回顾指数幂的运算性质：

，，．

把指对数互化的式子具体化：

设，，

于是有．

根据对数的定义有：，，．

于是有对数的运算性质：

如果，且时，M>0，N>0，那么：

（1）            ；（积的对数等于两对数的和）

（2）               ；（商的对数等于两对数的差）

（3）               ；（）．（幂的对数等于幂指数乘以底数的对数）

1．思考辨析

(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．(　　)

(2)loga(xy)＝logax·logay.(　　)

(3)log2(－3)2＝2log2(－3)．(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

例1．求下列各式的值

（1）log84＋log82；（2）log510－log52  （3）log2（47×25）

解：（1）log84＋log82＝log88＝1.

（2）log510－log52＝log55＝1

(3) log2（47×25）= log2219 =19

跟踪训练1 计算下列各式的值：

(1)lg －lg ＋lg ；

(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；

(3).

[解]　(1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－·lg 2＋(2lg 7＋lg 5)

＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5

＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.

(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2

＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2

＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.

(3)原式＝＝＝＝.

探究二：换底公式

问题1：前面我们学习了常用对数和自然对数，我们知道任意不等于1的正数都可以作为对数的底，能否将其它底的对数转换为以10或为底的对数？

把问题一般化，能否把以为底转化为以为底？

探究：设，则，对此等式两边取以为底的对数，得到：，根据对数的性质，有：，

所以．

即．其中，且，，且．

公式          ；称为换底公式．

用换底公式可以很方便地利用计算器进行对数的数值计算．

在4.2.1的问题1中，求经过多少年B地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算 2 的值。

由换底公式可得2=，

利用计算工具，可得=，

由此可得，大约经过7年，B地景区的

游客人次就达到2001年的2倍，类似地，

可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，

…所需要的年数。

例3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震M之间的关系为

2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，

它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川

发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？

解:设里氏9.0级和里氏8.0级地震的能量分别为E1和E2

设里利用计算工具可得，

虽然里氏9.0级和里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出的能量却是后者的约32倍。

跟踪训练2求值：

(1)log23·log35·log516；

(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．

[解]　(1)原式＝··＝＝＝4.

(2)原式＝

＝＝·＝.

温故知新，通过对上节对数概念及指对数互化，为对数运算性质的推导做准备。培养和发展逻辑推理和数学抽象的核心素养。

通过对指数运算性质的回顾，类比推导对数运算性质，，发展学生逻辑推理，数学抽象、数学运算等核心素养；

通过典例问题的分析，让学生进一步熟悉对数运算性质。深化对对数运算性质的理解。

通过换底公式的推导及应用，发展学生数学运算、逻辑推理和数学建模的核心素养；

三、当堂达标

1．计算：log153－log62＋log155－log63＝(　　)

A．－2　　　　B．0　　　　C．1　　　　D．2

【答案】B　[原式＝log15(3×5)－log6(2×3)＝1－1＝0.]

2．计算log92·log43＝(　　)

A．4        B．2          C.         D.

【答案】D　[log92·log43＝·＝.]

3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　)

A.          B.      C．ab     D．a＋b

【答案】B　[∵10a＝2，∴lg 2＝a，

∴log26＝＝＝.]

4． log816＝________.

【答案】　[log816＝log2324＝.]

5．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；

      (2)log2＋log212－log242－1.

【答案】(1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5

＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.

(2)原式＝log2＋log212－log2－log22

＝log2＝log2＝log22＝－.

通过练习巩固本节所学知识，巩固对数的概念及其性质，增强学生的数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。

四、小结

1.对数的运算法则。

2.利用定义及指数运算证明对数的运算法则。

3.对数运算法则的应用。

4.换底公式的证明及应用。

五、作业

1. 课时练   2. 预习下节课内容

学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；