2021学年5.1 任意角和弧度制教案设计

【新教材】5.1.2弧度制 教学设计（人教A版）

前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.

课程目标

1.了解弧度制,明确1弧度的含义.

2.能进行弧度与角度的互化.

3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.

数学学科素养

1.数学抽象：理解弧度制的概念；

2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；

3.直观想象：区域角的表示；

4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.

重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；

难点：弧度制概念的理解．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本172-174页，思考并完成以下问题

1． 1弧度的含义是？

2．角度值与弧度制如何互化？

3．扇形的弧长公式与面积公式是？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1．度量角的两种单位制

(1)角度制

①定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．

②1度的角：周角的．

(2)弧度制

①定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．

②1弧度的角：长度等于 半径长 的弧所对的圆心角．

2．弧度数的计算

3.角度制与弧度制的转算

4．一些特殊角与弧度数的对应关系

5．扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：

(1)弧长公式：l＝      ．

(2)扇形面积公式：S＝      ＝      ．

四、典例分析、举一反三

题型一    角度制与弧度制的互化

例1 　把下列弧度化成角度或角度化成弧度：

(1)－450°；(2)；(3)－；(4)112°30′.

【答案】（1）－ rad；(2) 18°；(3) －240°；(4)  rad.

【解析】(1)－450°＝－450× rad＝－ rad；

(2) rad＝×°＝18°；

(3)－ rad＝－×°＝－240°；

(4)112°30′＝112.5°＝112.5× rad＝ rad.

解题技巧：（角度制与弧度制转化的要点）

跟踪训练一

1．将下列角度与弧度进行互化．

(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.

【答案】（1） rad；（2）－ rad；（3）105°；（4）－396°.

【解析】(1)20°＝ rad＝ rad.

(2)－15°＝－ rad＝－ rad.

(3) rad＝×180°＝105°.

(4)－ rad＝－×180°＝－396°.

题型二  用弧度制表示角的集合

例2　用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．

【答案】（1）；  

（2）；（3）.

【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，

(1).

(2).

(3).

解题技巧：(表示角的集合注意事项)

1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．

在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．

2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤．

(1)仔细观察图形．

(2)写出区域边界作为终边时角的表示．

(3)用不等式表示区域范围内的角．

提醒：角度制与弧度制不能混用.

跟踪训练二

1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．

①　　　　          　②

【答案】(1).

(2).

 【解析】(1)如题图①，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)，

所以阴影部分内的角的集合为

.

(2)如题图②，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)．

不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，

则M1＝，M2＝.

所以阴影部分内的角的集合为

M1∪M2＝.

题型三    扇形的弧长与面积问题

例3一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？

【答案】当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．

【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r，弧长为l，则l＝αr，

依题意l＋2r＝20，即αr＋2r＝20，∴α＝.

由l＝20－2r>0及r>0得0<r<10，

∴S扇形＝αr2＝··r2＝(10－r)r

＝－(r－5)2＋25(0<r<10)．

∴当r＝5时，扇形面积最大为S＝25.此时l＝10，α＝2，

故当扇形半径r＝5，圆心角为2 rad时，扇形面积最大．

解题技巧：（弧度制下解决扇形相关问题的步骤）

 (1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝|α|r2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)

(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．

(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．

跟踪训练三

1、已知某扇形的圆心角为80°,半径为6 cm,则该圆心角对应的弧长为(　　)

A.480 cm B.240 cm C

【答案】C

【解析】:80°=×80=,

又r=6 cm,故弧长l=αr=×6=(cm).

2、如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB的面积.

【答案】12π-9

【解析】S扇形AOB=×62=12π,

S△AOB=×6×6×sin 60°=9,

故S弓形ACB=S扇形AOB-S△AOB=12π-9.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本175页练习及175页习题5.1.

本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生通过角度制与弧度制的转化将角与实数建立一一对应关系，切记：角度和弧度不可同时出现.