人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换导学案

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【新教材】5.5.2 简单的三角恒等变换（人教A版）1.能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用． 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法． 3.能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用． 1.逻辑推理： 三角恒等式的证明； 2.数据分析：三角函数式的化简； 3.数学运算：三角函数式的求值. 重点：能用二倍角公式推导出半角公式，体会三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用； 难点：能利用三角恒等变换的技巧进行三角函数式的化简、求值以及证明，进而进行简单的应用. 一、    预习导入阅读课本225-226页，填写。1．半角公式2．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(其中tan θ＝)．  1．已知180°＜α＜360°，则cos的值等于(　　)A．－　　 B．C．－ D．2．2sin θ＋2cos θ＝(　　)A．sin B．2sinC．2sin D．sin3．函数f(x)＝2sin x＋cos x的最大值为        ．4．已知2π＜θ＜4π，且sin θ＝－，cos θ＜0，则tan的值等于        ．题型一    化简求值问题例1　设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin等于(　　)A．　　 B．C．－ D．－跟踪训练一1．已知sin α＝－，π＜α＜，求sin ，cos ，tan 的值．题型二  三角恒等式的证明例2 求证：＝sin 2α.跟踪训练二1.求证：＝.题型三   三角恒等变换与三角函数图象性质的综合例3已知函数f(x)＝coscos－sin xcos x＋.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数f(x)的单调递增区间．跟踪训练三1．已知函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x－＋1(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)若x∈，求f(x)的值域．1．若cos 2α＝－，且α∈，则sin α＝(　　)A.   B.C.   D．－2．函数f(x)＝cos2x－2cos2(x∈[0，π])的最小值为(　　)A．1   B．－1C.   D．－3．已知sin －cos ＝，则cos 2θ＝________．4．若3sin x－cos x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．5．化简：(0<α<π)．6．已知函数f(x)＝sin－2sin2x.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的最大、最小值．        答案小试牛刀1．C2．C.3. .4. -3.自主探究例1　【答案】D【解析】∵5π＜θ＜6π，∴∈，∈.又cos＝a，∴sin＝－＝－.跟踪训练一1．【答案】sin ＝，cos ＝－，tan ＝－2.【解析】　∵π＜α＜，sin α＝－，∴cos α＝－，且＜＜，∴sin ＝＝，cos ＝－＝－，tan ＝＝－2.例2 【答案】证明略.【解析】证明：　法一：用正弦、余弦公式．左边＝＝＝＝＝sincoscos α＝sin αcos α＝sin 2α＝右边，∴原式成立．法二：用正切公式．  左边＝＝cos2α·＝cos2α·tan α＝cos αsin α＝sin 2α＝右边，∴原式成立．跟踪训练二1.【答案】证明略.【解析】　证明：　左边＝＝＝＝＝＝＝右边．所以原等式成立.例3【答案】 (1)函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为.(2)函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.【解析】　(1)∵f(x)＝coscos－sin 2x＋＝－sin 2x＋＝cos2x－sin2x－sin 2x＋＝－－sin 2x＋＝(cos 2x－sin 2x)＝cos.∴函数f(x)的最小正周期为T＝π，函数f(x)的最大值为.(2)由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得kπ－π≤x≤kπ－，k∈Z.函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.跟踪训练三1．【答案】(1)最小正周期为T＝π. (2)函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(3)值域为[0，3]..【解析】f(x)＝sin 2x＋(2cos2x－1)＋1＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1.(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(3)∵x∈，∴2x＋∈，∴sin∈.∴f(x)∈[0，3].当堂检测 1-2.AD3.4．－5．【答案】原式＝－2cos .【解析】因为tan ＝，所以(1＋cos α)tan ＝sin α. 又因为cos＝－sin α，且1－cos α＝2sin2，所以原式＝＝＝－.因为0<α<π，所以0<<.所以sin >0.所以原式＝－2cos .6．【答案】(1)f(x)图象的对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)．对称中心的坐标是(k∈Z)．(2)所以当x＝时，f(x)取最小值－，当x＝时，f(x)取最大值1－.【解析】f(x)＝sin 2x－cos 2x－2·＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－.(1)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)．令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)．所以函数f(x)图象的对称中心的坐标是(k∈Z)．(2)当0≤x≤时，≤2x＋≤，－≤sin≤1，所以当x＝时，f(x)取最小值－，当x＝时，f(x)取最大值1－.