高中人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质教案及反思

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【新教材】5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 教学设计（人教A版）由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．课程目标1.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.2.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系. 数学学科素养1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念； 2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系； 3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像； 4.数学运算：五点作图； 5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用. 重点：正弦函数、余弦函数的图象．难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、    情景导入遇到一个新的函数，非常自然地是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等．我们也很自然地想知道y＝sinx与y＝cosx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？请学生尝试画出当x∈[0,2π]时，y＝sinx的图象．要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本196-199页，思考并完成以下问题1.任意角的正弦函数在单位圆中是怎样定义的？ 2．怎样作出正弦函数y=sinx的图像？3.怎样作出余弦函数y＝cos x的图像？ 4.正弦曲线与余弦曲线的区别与联系. 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．正弦曲线、余弦曲线(1)定义：正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)的图象分别叫做 正弦 曲线和余弦曲线．(2)图象：如图所示．2．“五点法”画图步骤：(1)列表：x0π2πsin x010－10cos x10－101(2)描点：画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．；画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正、余弦曲线的简图．3．正、余弦曲线的联系依据诱导公式cos x＝sin，要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向 左平移个单位长度即可．四、典例分析、举一反三题型一    作正弦函数、余弦函数的简图例1画出下列函数的简图(1)y＝1＋sinx，x∈[0,2π]；(2)y＝－cosx，x∈[0,2π]．【答案】见解析【解析】(1)按五个关键点列表：x0π2πsinx010－101＋sinx12101描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图1)．图1(2)按五个关键点列表：x0π2πcosx10－101－cosx－1010－1描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图2)．图2 解题技巧：（简单三角函数图像画法）1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点. 2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换. 跟踪训练一1.画出函数y＝|sinx|，x∈R的简图．【答案】见解析．【解析】按三个关键点列表：x0πsinx010y＝|sinx|010描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图3)．图32. 在给定的直角坐标系如图4中，作出函数f(x)＝cos(2x＋)在区间[0，π]上的图象．【答案】见解析．【解析】列表取点如下：x0π2x＋π2πf(x)10－01描点连线作出函数f(x)＝cos(2x＋)在区间[0，π]上的图象如图5所示．              图4                                               图5题型二  正弦函数、余弦函数图象的简单应用例2　求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域.【答案】见解析.【解析】由题意，得x满足不等式组即作出y＝sin x的图象，如图所示.结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).  例3　在同一坐标系中，作函数y＝sin x和y＝lg x的图象，根据图象判断出方程sin x＝lg x的解的个数. 【答案】见解析.【解析】建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin x的图象. 描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg x的图象，如图所示. 由图象可知方程sin x＝lg x的解有3个解题技巧： (正弦函数、余弦函数图象的简单应用)1.解不等式问题：三角函数的定义域或不等式可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.2.方程的根(或函数零点)问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用. 跟踪训练二1.函数y＝的定义域为_________________________________.【答案】，k∈Z.【解析】　由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0， 即sin x≥.由y＝sin x在[0,2π]的图象，可知≤x≤π，又有y＝sin x的周期性，可得y＝的定义域为，k∈Z.2. 若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围.【答案】m∈(－1，)∪(，0).【解析】由题意可知，sin x－2m－1＝0，在[0,2π]上有2个根.即sin x＝2m＋1有两个根. 可转化为y＝sin x与y＝2m＋1两函数图象有2个交点. 由y＝sin x图象可知： －1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0， 解得－1＜m＜0，且m≠－.∴m∈(－1，)∪(，0).五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计      七、作业课本200页练习，213习题5.4第1题.本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象．