高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式练习

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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【题组一 解无参数的一元二次不等式】解下列不等式：（1）；        （2）；（3）；        （4）．（5）x2＋3x－5＞0         （6）－2x2＋3x－2＜0；（7）－2＜x2－3x≤10．【答案】（1）或；（2）；（3）或；（4）.(5)(6)R(7)[－2，1)∪(2，5]【解析】（1）由题意，不等式，则不等式的解集为或；（2）由题意，不等式，则不等式的解集为；（3）由题意，不等式，则不等式的解集为或； （4）由题意，不等式，则不等式的解集为；（5）原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为（6）原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R（7）原不等式等价于，①可化为x2－3x＋2＞0，解得x＞2或x＜1②可化为x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5．故原不等式的解集为[－2，1)∪(2，5]【题组二 解有参数的一元二次不等式】1．（2020·安徽金安 六安一中高一期中（理））设函数．（1）若对任意的，均有成立，求实数的取值范围；（2）若，解关于的不等式．【答案】（1）；（2）答案见解析．【解析】（1）由题意得，对任意的成立，即对任意的成立，①当时，，显然不符合题意；②当时，只需，即，化简得，解得，综上所述，.（2）由得，即，①当时，，解集为；②当时，，解集为；③当时，，解集为．2．（2020·宁夏兴庆.银川一中高一期末）解关于的不等式：.【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】原不等式移项得，即.∵，∴当时，当时，当时，综上所述：当时，解集为当时，解集为当时，解集为3．（2019·四川仁寿一中高一月考）设，解关于的不等式．【答案】详见解析【解析】①时，恒成立．②时，不等式可化为，即而，此时不等式的解集为；③当时，不等式可化为，即而，此时不等式的解集为；4．（2020·上海高三专题练习）解关于x的不等式：.【答案】见解析【解析】（1）当时,;（2）当时,原不等式化为.①当时,原不等式化为..②当时,原不等式化为.a.当时,；b.当时，；c.当时，.综上所述：①当时,；②当时,; ③当时,；④当时,;⑤当时,..5．（2020·上海高一课时练习）解关于x的不等式：．【答案】见解析【解析】将不等式变形为.当a <0或时，有a < a2，所以不等式的解集为或；当a =0或时，a = a2=0，所以不等式的解集为且；当0< a <1时，有a > a2，所以不等式的解集为或；6（2020·浙江高一课时练习）解关于x的不等式：．【答案】答案见解析.【解析】当时，不等式化为，解得；若，则原不等式可化为，，当时，，解得或，当时，不等式化为，解得且，当时，，解得或；若，则不等式可化为当时，，解得，当时，不等式可化为，其解集为，当时，，解得．综上，当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为或;当时，不等式的解集为且；当时，不等式的解集为或．7．（2020·上海高一课时练习）解下列含参数的不等式：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）原不等式等价于，对应方程两根为，比较两根的大小情况，可得当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．（2）当时，不等式化为．解得．当时，方程的两根为，．①时，分情况讨论：时，；时，；时，．②时，．综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．（3）．①，即或时，不等式的解集为；②，即或时，不等式的解集为；③，即时，不等式的解集为.【题组三 三个一元二次的关系】1．（2020·全国高一开学考试）关于的不等式，解集为，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题,是方程的两根,可得,即,所以不等式为,即,所以,故选：D2．（2020·全国高一课时练习）若方程只有正根，则m的取值范围是（    ）A．或 B．C． D．【答案】B【解析】方程只有正根，则当，即时，当时，方程为时，，符合题意；当时，方程为时，不符合题意.故成立；当，解得或，则，解得.综上得.故选B.3．（2020·全国高一课时练习）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集                .【答案】.【解析】由题意，不等式的解集为，所以与是方程的两个实数根，由根与系数的关系得 解得所以不等式，即为，整理得，解得即不等式的解集为.4．（2020·上海高一开学考试）关于的方程有两个不等的实根，则的取值范围是（    ）A．  B． C． D．【答案】D【解析】因为关于的方程有两个不等的实根且，即：且，解得且.故选：D.5．（2019·山东济宁.高一月考）已知，关于的一元二次不等式的解集为（   ）A．，或 B．C．，或 D．【答案】B【解析】依题意可化为，由于，故不等式的解集为.故选B.6．（2020·哈尔滨德强学校高一期末）关于的不等式的解集为.（1）求的值；（2）求关于的不等式的解集．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）关于的不等式的解集为，∴，且﹣1和2是方程的两实数根，由根与系数的关系知，，解得；（2）由（1）知，时，不等式为，∴不等式的解集是.7．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知关于x的不等式（1）若不等式的解集是，求k的值；（2）若不等式的解集是R，求k的取值范围；（3）若不等式的解集为，求k的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】(1)∵不等式的解集是,∴且-3和-2是方程的实数根,由根与系数的关系,得,所以；(2)不等式的解集是R,所以,解得 (3)不等式的解集为,得,解得8．（2020·全国高一课时练习）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）若该方程的两根分别为，且满足，求k的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意方程有两个不相等的实数根，则满足，解得，即实数k的取值范围是；（2）由（1）可知，又由一元二次方程中根与系数的关系，可得，因为，所以，整理得，解得（舍去）或，所以.9（2020·浙江高一课时练习）已知关于x的不等式．（1）若不等式的解集是或，求k的值．（2）若不等式的解集是，求k的值．（3）若不等式的解集是R，求k的取值范围．（4）若不等式的解集是，求k的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）由不等式的解集为或可知，且与是方程的两根，，解得．（2）由不等式的解集为可知，解得．（3）依题意知解得．（4）依题意知解得．【题组四 一元二次恒成立问题】1．（2020·全国高一课时练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________．【答案】【解析】，且，所以原不等式等价于，不等式恒成立，则，由，当且仅当时,，所以正确答案为．2．（2020·全国高一课时练习）对任意x∈R，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值总为非负，则m的取值范围为________.【答案】{0}【解析】由题意知＝(m－4)2－4(4－2m)= m2≤0，得m＝0.故答案为：.3．（2020·江西高一期末）对任意实数x，不等式恒成立，则k的取值范围是______．【答案】【解析】∵对任意实数x恒成立，的系数∴，解得：，∴k的取值范围是：．故答案为：．4．（2020·安徽金安.六安一中高一期中（文））若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为__________________.【答案】【解析】当时，，满足题意；当时，则，即解得：，综上：.故答案为：.5．（2019·天津河西 高二期中）已知函数=.（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）已知，若方程在有解，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）；（3）.【解析】（1）由的解集是，可得有2个不等的实根1和2， 由韦达定理，可得 此时等价于，即，解得或所以不等式的解集是或；（2）对于任意的，不等式恒成立，也即  对任意的恒成立，因为二次函数开口向上，最大值在或处取得，所以只需满足，解得：，据此可得；综上可得，实数a的取值范围是：.（3）若方程在有解，可得到在有实数根.参数分离得，则，结合二次函数的性质可得，所以，也即.综上可得，实数a的取值范围是：.6．（2020·浙江宁波.高一期末）已知集合．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）已知，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由题意可知，和是方程的两个根，所以由韦达定理得，故实数.（Ⅱ）由，原不等式可化为，所以在上恒成立，令，因为，所以，所以不等式恒成立等价于，故由，解得：，故实数的取值范围为：.【题组五 实际运用题】1．（2019·全国高一课时练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量 （件）与单价 （元）之间的关系为，生产件所需成本为（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量的取值范围是（    ）.A． B．C． D．【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为元，则，，，根据题意，可得，解得，故当，且时，每天获得的利润不利于1300元.故选B.2．（2019·辽宁沙河口 辽师大附中高三月考（文））某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为(    )A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间【答案】C【解析】设销售价定为每件元,利润为则依题意,得即,解得所以每件销售价应定为12元到16元之间故选:C3．（2020·沙坪坝 重庆八中高一期中）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：（）.（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（保留分数形式）（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范用内？【答案】（1）当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；（2）汽车的平均速度应大于且小于.【解析】（1）依题得.当且仅当，即时，上时等号成立，（千辆/时）.当时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时；（2）由条件得，因为，所以整理得，即，解得.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于且小于.4．（2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为（），则出厂价相应地提高比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比应在什么范围内？【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由题意得：，，整理得：，（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须，即，．解得，所以投入成本增加的比例应在范围内．