2021学年4.4 对数函数课时训练

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常见考法
考点一 对数函数的概念辨析
【例1-1】（2019·全国高一）下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】B
【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；
由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；
由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；
由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；
只有③④符合对数函数的定义.故选：B
【例1-2】（2020·宝鸡市渭滨中学高一期中）若函数的图像过点，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【解析】由题, .故选：B
判断一个函数是对数函数的方法
【一隅三反】
1．（2020·全国高一课时练习）下列函数为对数函数的是（ ）
A．y＝lgax＋1(a＞0且a≠1) B．y＝lga(2x)(a＞0且a≠1)
C．y＝lg(a－1)x(a＞1且a≠2) D．y＝2lgax(a＞0且a≠1)
【答案】C
【解析】根据对数函数的定义，可得判定，只有函数且复数对数函数的概念，所以函数且是对数函数，而选项A、B、D中的函数只能是对数型函数，不是对数函数.故选：C.
2．下列函数是对数函数的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由对数函数定义可以，本题选C．
3．下列函数，是对数函数的是
A．y=lg10xB．y=lg3x2
C．y=lnxD．y=lg（x–1）
【答案】C
【解析】由对数函数的定义，形如y=lgax（a>0，a≠1）的函数是对数函数，由此得到：y=lg10x=x，
y==2、y=都不是对数函数，只有y=lnx是对数函数．故选C．
4．（2020·全国高一课时练习）对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝lg4xB．y＝ x
C．y＝ xD．y＝lg2x
【答案】D
【解析】由于对数函数的图象过点M(16,4)，所以4＝lga16，
得a＝2所以对数函数的解析式为y＝lg2x，故选D.
考点二 单调性（区间）
【例2】（1）（2020·辽宁锦州·高二期末）函数的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
（2）（2019·四川省新津中学高一月考）已知在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】（1）D（2）C
【解析】由题：，，解得：，
的减区间，即的减区间，对称轴为结合二次函数单调性，
所以的减区间.故选：D
（2）设， 在上是增函数，
，即，解得， 实数的取值范围是 ，故选：C．
函数单调性的判断方法，一般地，增函数与增函数的和为增函数，增函数与减函数的差为增函数，复合函数的单调性的判断方法是同增异减，对于与对数函数有关的复合函数，注意真数恒大于零的要求.
【一隅三反】
1．（2019·小店·山西大附中高一期中）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，解得或
令，因为的图像开口向上，对称轴方程为 ，
所以内函数在上单调递增，外函数单调递减，
所以由复合函数单调性的性质可知函数的单调递减区间为故选A.
2．函数y=是
A．区间（–∞，0）上的增函数B．区间（–∞，0）上的减函数
C．区间（0，+∞）上的增函数D．区间（0，+∞）上的减函数
【答案】A
【解析】如图所示，函数y=的图象与函数y=的图象关于y轴对称，
所以函数y=是区间（–∞，0）上的增函数．故选A．
3．（2020·全国）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得或所以的定义域为
因为在上单调递增所以在上单调递增
所以故选：D
考点三 定义域和值域
【例3】（1）（2020·永昌县第四中学高二期末（文））函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
（2）（2019·新疆兵团第二师华山中学高二月考（文））函数的值域是（ ）.
A．RB．C．D．
【答案】（1）C（2）B
【解析】（1）要使得函数有意义，只需：且，解得.故函数定义域为.
故选：.
（2）恒成立，函数的定义域为
设
由复合函数的单调性可知函数在定义域上先增后减，函数取到最大值即： 函数的值域为故选
具体函数的定义域的求解，求解原则如下：
（1）分式中分母不为零；
（2）偶次根式中被开方数非负；
（3）对数中真数大于零，底数大于零且不为；
（4）正切函数中，；
（5）求定义域只能在原函数解析式中求，不能对解析式变形.
【一隅三反】
1．（2020·沭阳县修远中学高二期末）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域满足：，解得.故选：A.
2．（2020·湖南高新技术产业园区·衡阳市一中高三月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域是________.
【答案】
【解析】由题意，函数的定义域是，即，
则函数有意义，则满足 ，解得，
解得，即函数的定义域是.故答案为：.
3．（2019·北）若函数 则函数的值域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.
考点四 比较大小
【例4】（2020·全国高一课时练习）比较下列各组数中两个值的大小．
（1）lg23.4，lg28.5；
（2）lg0.31.8，lg0.32.7；
（3）lga5.1，lga5.9(a>0，且a≠1)．
【答案】（1）；（2）；
（3）当时，；当时，.
【解析】（1）根据对数函数在为单调递增函数，
因为，所以.
（2）根据对数函数在为单调递减函数，
因为，所以.
（3）根据对数函数的性质，可得：
当时，函数在为单调递减函数，
因为，所以；
当时，函数在为单调递增函数，
因为，所以.
比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性．
1．若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较．
2．若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．
3．若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较．
4．若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较
【一隅三反】
1．（2020·辽源市田家炳高级中学校高二期末（文））已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】,,,,故选：A
2．（2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末（文））已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】，，，所以，故选：A.
3．（2020·贵州铜仁伟才学校高二期末（文））若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为，所以，故.
故选：A.
考点五 解不等式
【例5】（2020·内蒙古集宁一中高二期末（文））不等式的解集是________.
【答案】
【解析】由在单调递减，因为，
所以 ，解得，，即解集为.故答案为:
【一隅三反】
1．（2020·安徽马鞍山）已知函数是定义域为的偶函数，在上单调递减，则不等式的解集是（ ）
A．B．（1，3）C．D．
【答案】C
【解析】因为的图象是由的图象向左平移2个单位，
而的图象关于轴对称，故的图象关于直线对称.
由在上单调递减可得在上单调递增，
故即为，
也就是，所以或，
解得或，
故选：C．
2．（2020·湖北）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，，，
因为是定义在上的奇函数，所以，
即.因此，
作出的图象如下：
在上单调递增，又，
由得：，解得：.故选：A.
3．（2019·山东省实验中学高三月考）已知函数 (>0且≠1)的图像过点(9，2)
(1)求函数的解析式；
(2)解不等式．
【答案】（1）（2）
【解析】(1)因为，所以，即
(2)因为单调递增，所以即不等式的解集是
考点六 定点
【例6】（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）函数的图象恒过定点，（其中且），则的坐标为__________.
【答案】
【解析】令，解得 ，所以 ，所以 的坐标为，故答案为：
【一隅三反】
1.（2020·云南省玉溪第一中学高一期中）函数的图象必过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵过定点， ∴，
，故图象必过定点．故选：A．
2．（2019·重庆高一月考）函数（，且）的图象恒过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】真数为1时，对数为0，所以令x=2，则f（x）=1，所以函数的图象过定点.
考点七 图像
【例7】（2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末（文））函数（且）与函数（且）在同一直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当时，和均为减函数，
而的图象和的图象关于y轴对称，
结合选项知A、B、C、D均错误；当时，和均为增函数，
而的图象和的图象关于y轴对称，结合选项可得A正确.故选：A
函数y＝lgax(a＞0且a≠1)的底数变化对图象位置的影响．
观察图象，注意变化规律：
(1)上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象向右越靠近x轴，0＜a＜1时a越小，图象向右越靠近x轴．
(2)左右比较：比较图象与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．
【一隅三反】
1．（2020·山东滨州·高二期末）函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】,所以舍B;
当时,单调递增，所以舍去CD，故选：A
2．（2020·全国高一课时练习）函数y＝2lg4(1－x)的图象大致是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为且单调递减，故选C.
3.如图，若C1，C2分别为函数y＝lgax和y＝lgbx的图象，则( )
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
【答案】B
【解析】作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.
考点八 对数函数综合运用
【例8】（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（文））已知函数．
（1）求的值；
（2）求函数的定义域
（3）判断函数的奇偶性，并证明.
【答案】(1)；(2)；(3)偶函数，证明见解析．
【解析】(1)令，则
(2)由题意:，解得，故定义域为；
(3)函数为偶函数
证明：对任意，
由偶函数的定义可得函数为偶函数
【一隅三反】
1．（2020·湖南桃江·高二期末）已知函数且.
（1）求的定义域；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）当时，定义域为，当时，定义域为；（2）.
【解析】（1）由函数有意义得，∴当时，定义域为 ，当时，定义域为 .
（2）∵在定义域内，∴∴单调递增，结合定义域可知：的解集为.
2．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中）已知函数，a常数.
（1）若，求证为奇函数，并指出的单调区间；
（2）若对于，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】（1）证明见解析，单调增区间为；（2）.
【解析】（1）证明：当时，.
的定义域为.
当时,
.
，
∴在区间上是奇函数，
的单调增区间为，.
（2）由，
得.
令，
若使题中不等式恒成立，只需要.
由（1）知在上是增函数，所以.
所以m的取值范围是.