人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制练习题

5.1  任意角和弧度制

考点一 基本概念的辨析

【例1】（2020·河南宛城·南阳中学高一月考）下列说法正确的个数是（    ）

①小于的角是锐角；

②钝角一定大于第一象限角；

③第二象限的角一定大于第一象限的角；

④始边与终边重合的角为.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【解析】对①，小于的角不是锐角，如不是锐角，故①错；

对②，角是第一象限的角，大于任何钝角，故②错；

对③，第二象限角中的角小于第一象限角中的角，故③错；

对④，始边与终边重合的角的度数是，故④错．故选：A．

【一隅三反】

1．（2020·全国高一课时练习）下列说法正确的是（　　）

A．终边相同的角一定相等 B．钝角一定是第二象限角

C．第四象限角一定是负角 D．小于的角都是锐角

【答案】B

【解析】终边相同的角不一定相等，所以该选项错误；

钝角一定是第二象限角，所以该选项正确；

第四象限角不一定是负角，如是第四象限的角，但是不是负角，所以该选项错误；

小于的角不都是锐角，如.所以该选项错误.故选B

2．（2020·浙江高一课时练习）下列命题中正确的是（    ）．

A．终边与始边重合的角是零角 B．90°～180°间的角不一定是钝角

C．终边和始边都相同的两个角相等 D．第二象限的角大于第一象限的角

【答案】B

【解析】终边与始边重合的角还有360°角，720°角等，故A错误；

90°～180°间的角包括90°角，故90°～180°间的角不一定是钝角，故B正确；

终边和始边都相同的两个角相差，故C错误；

120°角是第二象限角，它小于第一象限的角400°角，故D错误．故选：B

3．（2020·陕西大荔·高一期末）下列说法正确的是（    ）

A．第二象限角大于第一象限角 B．不相等的角终边可以相同

C．若是第二象限角，一定是第四象限角 D．终边在轴正半轴上的角是零角

【答案】B

【解析】A选项，第一象限角，而是第二象限角，∴该选项错误；

B选项，与终边相等，但它们不相等，∴该选项正确；

C选项，若是第二象限角，则，

∴是第三象限角或第四象限角或终边在轴负半轴上的轴线角，∴该选项错误；D选项，角的终边在轴正半轴上，但不是零角，∴该选项错误.故选：.

考点二 角度与弧度的转换

【例2】（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））把下列各角的弧度数化为度数，度数化为弧度数.

（1）；    （2） ；   （3）1125° ；（4）-225°.

【答案】（1）； （2）； （3）； （4）.

【解析】根据弧度制与角度制的互化公式，，可得：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【一隅三反】

1．（2020·全国高一课时练习）把下列角度化成弧度：

（1）；   （2）；   （3）；  （4）.

【答案】（1）（2）（3）（4）

【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．

2．（2020·甘肃城关·兰州一中高一期中）___________弧度,弧度=________.

【答案】       

【解析】,,故答案为：；

3．（2020·土默特左旗金山学校高一月考（理））下列转化结果错误的是（    ）

A．化成弧度是 B．化成度是

C．化成弧度是 D．化成度是

【答案】C

【解析】化成弧度是，A正确化成度是，B正确；

是，C错误；化成度是，D正确.故选：C.

考点三 终边相同

【例3】（2020·全国高一课时练习）（1）把－1480°写成的形式，其中；

（2）在内找出与角终边相同的角.

【答案】（1）；（2）72°，432°.

【解析】（1）∵，

而，且，∴.

∴.

（2）∵，

∴终边与角相同的角为，

当时，；当时，.

∴在内与角终边相同的角为72°，432°.

【一隅三反】

1．（2020·汪清县汪清第六中学高一期中（文））已知角.

（1）将角改写成(，)的形式，并指出角是第几象限的角；

（2）在区间上找出与角终边相同的角.

【答案】（1），是第三象限角；（2）．

【解析】

（1），是第三象限角，∴是第三象限角．

（2）由得，因为，∴，对应角依次为．

2．（2020·全国高一课时练习）把下列各角度化为弧度,并写成的角加上的形式.

(1);

(2);

(3)

【答案】(1);(2);(3).

【解析】(1);

(2);

(3).

3．（2019·陕西榆阳·榆林十二中高一月考）用弧度制写出角的终边在下图中阴影区域内的角的集合.

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）

【解析】（1），，用弧度制表示终边在图中阴影区域内的角的集合为

.

（2），，用弧度制表示终边在图中阴影区域内的角的集合为

.

考点四 象限的判断

【例4】（2020·全国高一课时练习）已知下列各角：① ② ③ ④，其中第二象限角的是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

【答案】D

【解析】①表示由轴非负半轴绕原点顺时针旋转，落在第三象限；

②表示由轴非负半轴绕原点顺时针旋转，落在第二象限；

③表示由轴非负半轴绕原点逆时针旋转，落在轴非正半轴；

④表示由轴非负半轴绕原点逆时针旋转，且，的终边和的终边相同，所以落在第二象限.故选：D

【一隅三反】

1．（2020·周口市中英文学校高一期中）角的终边所在的象限是（     ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【解析】因为，角是第一象限角，所以角的终边所在的象限是第一象限．

故选A.

2．（2020·全国高二）若是第二象限角，则是(　　)

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

【答案】A

【解析】为第二象限角，不妨取，则为第一象限角，故选A．

3．（2020·全国高一课时练习）在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.

（1）－150°；（2）650°；（3）－950°15′.

【答案】（1），第三象限的角；（2），第四象限的角；（3），第二象限的角；

【解析】（1），是第三象限的角，是第三象限的角；

（2），是第四象限的角，是第四象限的角；

（3），是第二象限的角，是第二象限的角．

考点五 扇形

【例5】（2020·浙江高一课时练习）已知一扇形的圆心角为，所在圆的半径为R.

（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；

（2）若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?

【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）设扇形的弧长为l，弓形面积为S，则

，，，

.

（2）设扇形弧长为l，则，即，

∴扇形面积，

∴当时，S有最大值，此时，.

因此当时，这个扇形面积最大.

【一隅三反】

1．（2020·赤峰二中）《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图阴影部分所示）是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，矢为4的弧田，按照上述方法计算出其面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设半径为,圆心到弦的距离为,则,

所以弦长为,

弧田面积为.

故选:D.

2．（2020·辽宁沈阳·高一期中）一个半径是的扇形，其周长为，则该扇形圆心角的弧度数为（    ）

A．1 B．3 C． D．

【答案】A

【解析】设扇形的弧长为，则，得，则扇形圆心角的弧度数为.故选：A.

3．（2020·上海高一课时练习）在扇形中，半径等于r.

（1）若弦的长等于半径，求扇形的弧长l；

（2）若弦的长等于半径的倍，求扇形的面积S

【答案】（1）；  （2）

【解析】（1）如图所示：设，

若弦的长等于半径，则

所以扇形的弧长

（2）如图所示：

若弦的长等于半径的倍，

则，

因为，所以，

所以，

所以扇形的面积为.