2021学年2.2.2用样本的数字特征估计总体导学案

四川省岳池县第一中学高中数学必修三学案：2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征

学习目标  

1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。

2.能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释。

3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征。

学习过程

一、课前准备

1.预习众数、中位数、平均数的概念。

2.标准差、方差的概念。

(1).数据的离散程度可用极差、     、      来描述．样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．一般地，设样本的数据为，样本的平均数为，则定义

                       ，表示方差。

(2).为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常要求出样本方差的算术平方根

=                         ，表示样本标准差。不要漏写单位。

3.如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、平均数呢？

①众数：                              。

②中位数：                            。

③平均数：                            。

二、新课导学

※ 探索新知

新知1：众数、中位数、平均数

(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数．

(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数称为这组数据的中位数．

①     当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列中间的那个数．

②当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的两个数的平均数．

(3)平均数：如果有n个数，那么

叫这n个数的平均数．

新知2：标准差、方差

1.标准差

考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。样本数据的标准差的算法：

①           算出样本数据的平均数。

②              算出每个样本数据与样本

③                    算出②中的平方。

④    算出③中n个平方数的平均数，即为样本方差。

⑤         算出④中平均数的算术平方根，，即为样本标准差。

其计算公式为：

显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。

思考：标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有什么特点？

1.从标准差的定义和计算公式都可以得出：。当时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数。

2.方差

从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方s2（即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：

在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。

※ 典型例题

例1 甲乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图．

(1)分别求出两人得分的平均数与方差；

(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．

．

例2若的平均数为8，方差为3，则的平均数为       ，方差为       ．

※ 动手试试

练1.某工厂人员及工资构成如下：

（1）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数

（2）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？

练2.(2010·南通模拟)从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：

甲：25　41　40　37　22　14　19　39　21　42

乙：27　16　44　27　44　16　40　40　16　40

问：(1)哪种玉米苗长得高？

 (2)哪种玉米苗长得齐？

练3.若一组数据的平均数为4，方差为2，则 的平均数为      ，标准差为        ．

三、总结提升

1.用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：

①用样本平均数估计总体平均数。   

②用样本标准差估计总体标准差。样本容量越大，估计就越精确。

2.平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平。

3.标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度。

学习评价

※ 当堂检测

1.下列说法正确的是（    ）

A．  在两组数据中，平均数较大的一组方差较大

B．  平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均数的波动大小

C．  方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和

D．  在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射击水平高．

2. 一个样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19

X,23,27,28,31,其中位数为22，则x=（    ）

A .21        B .22         C .20       D.23

3.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 90  89  90   95  93   94   93

去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（    ）

A.92 ,2    B.92,2.8    C.93 ,2   D.93 , 2.8

4.样本101，98，102，100，99的标准差为（    ）

A．       B．0     C．1     D．2

5.一组数据的每一数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差为4.4，则原来数据的平均数和方差分别是     、      ．

6.甲、乙、丙、丁四人参加射击项目选拔赛，成绩如下：

则加奥运会的最佳人选是      ．

课后作业

1.某人5次上班途中所的花时间（单位：min）分别为：x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数是10，方差为2，则的值为（    ）

A．1     B．2     C．3     D．4

2. 若数据这20个数据的平均数为；方差为0．20，则这21个数据的方差为      ．

3. 甲乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：

分别计算两组数据的平均数与标准差，从计算结果看，哪台机床的性能较好？