北师大版 (2019)4.1 样本的数字特征导学案

样本的数字特征

【学习目标】

1．能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养解决问题的能力。

2．通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高运算能力。

【学习重难点】

重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。

难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。

【学习过程】

一、初试身手

1．判断正误。(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平均数反映了一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的变化。(    )

(2)一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况。中位数不受极端值的影响。(    )

(3)一组数据的众数的大小只与这组数据中的部分数据有关。(    )

(4)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定。(    )

(5)数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定。(    )

2．在某次考试中，10名同学的得分如下：84，77，84，83，68，78，70，85，79，95．则这一组数据的众数和中位数分别为(    )

A．84，68                   B．84，78

C．84，81  D．78，81

3．某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示，则该学生这几次数学测试的平均成绩为________。

4．如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________。

二、合作探究

[典例]  据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；

(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法。

[解]  (1)平均数是

＝1 500＋(4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋591＝2 091(元)，

中位数是1 500元，众数是1 500元。

(2)平均数是

′＝1 500＋(28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋1 788＝3 288(元)。

中位数是1 500元，众数是1 500元。

(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平。

[典例]  从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测试，两人在相同条件下各射击10次，命中的环数如下：

甲：7，8，6，9，6，5，9，9，7，4．

乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．

(1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数；

(2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差；

(3)比较两人的成绩，然后决定选择哪一个人参赛。

[解]  (1)对于甲：极差是9－4＝5，众数是9，中位数是7；

对于乙：极差是9－5＝4，众数是7，中位数是7．

(2)甲＝＝7，

s＝×[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝2．8，

s甲＝＝≈1．673．

乙＝＝7，

s＝×[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1．2，

s乙＝＝≈1．095．

(3)∵甲＝乙，s甲＞s乙，

∴甲、乙两人的平均成绩相等，乙的成绩比甲的成绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以选择乙参赛。

【学习小结】

1．平均数、中位数、众数

(1)平均数

如果有n个数x1，x2，…，xn，那么＝，

叫作这n个数的平均数。

(2)中位数

把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数。

(3)众数

一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个。

2．极差、方差、标准差

(1)极差

一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差。

(2)方差

标准差的平方s2叫作方差。

s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]。

其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本平均数。

(3)标准差

标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。s＝ 。

【精炼反馈】

1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是(    )

A．46，45，56           B．46，45，53

C．47，45，56  D．45，47，53

2．某学校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在每一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形统计图表示如下，根据条形统计图估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为(    )

A．0.6 h  B．0.9 h

C．1．0 h  D．1．5 h

3．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2．现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为，方差为s2，则(    )

A．＝5，s2＜2  B．＝5，s2＞2

C．＞5，s2＜2  D．＞5，s2＞2

4．小明5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________。

【答案】

1.解析：选A  样本的中位数是(45＋47)÷2＝46，众数是45，极差为68－12＝56．

2.解析：选B  由条形统计图可得，这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为

＝0.9(h)，因此估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为0.9 h。

3.解析：选A  ∵(x1＋x2＋…＋x8)＝5，∴(x1＋x2＋…＋x8＋5)＝5，∴＝5．

由方差定义及意义可知加入新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，∴s2＜2，故选A．

4.解析：由题意可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，

设x＝10＋t，y＝10－t，则t2＝4，|t|＝2，故|x－y|＝2|t|＝4．

答案：4