高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 用函数模型解决实际问题学案

5.2.2用函数模型解决实际问题

【教学目标】

重点、难点

重点：了解什么是函数模型，知道函数的一些基本模型.

难点：通过将实际问题转化为数学问题的过程，掌握数学建模的基本步骤．

学科素养

  通过解决实际问题的过程，认识到生活处处皆数学，并感受到数学知识对实际问题的指导作用，体会数学的应用价值．

【知识清单】

数学建模解决问题的过程

【经典例题】

例1某学校开展研究性学习活动， 一组同学获得了下面的一组试验数据：

现有如下5个模拟函数：(　　)

① y ＝0.58 x －0.16；② y ＝2 x －3.02；③ y ＝ x 2 －5.5 x ＋8；④ y ＝log 2 x ；⑤ y ＝ ＋1.74.

请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号)．

(2)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)

例2某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价 x 元与日销售量 y 件之间有如下关系(见下表)：

(1)在所给的坐标系中(如图)，根据表中提供的数据描出实数对( x ， y )对应的点，并确定 y 与 x 的一个函数关系式 y ＝ f ( x )；

(2)设经营此商品的日销售利润为 P 元，根据上述关系写出 P 关于 x 的函数关系式，并指出销售单价 x 为多少元时，才能获得最大日销售利润．

【课堂达标】

1．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间间的关系为，如果在前5个小时消除了的污染物，则污染物减少需要花多少时间(精确到(参考数据：，)（    ）

A． B． C． D．

2．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）.若该食品在℃的保鲜时间是小时，在℃的保鲜时间是小时，则该食品在℃的保鲜时间是（ ）

A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时

3．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量满足关系式，其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米·度），不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米·度），为室内外温度差，值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：

则保温效果最好的双层玻璃的型号是（    ）

A．型 B．型 C．型 D．型

4．某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（　　）

A．200本 B．400本 C．600本 D．800本

5．某种产品今年的产量是，如果保持的年增长率，那么经过年，该产品的产量满足（    ）

A． B．

C． D．

6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为

A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51

7．某种植物生长发育的数量与时间的关系如下表：

则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是（    ）

A．  B．

C． D．

8．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：

若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民本月用水量为（    ）

A．20m3 B．18m3

C．15m3 D．14m3

9．一种产品的成本是a元．今后m（m∈N*）年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x的函数（0<x<m，且x∈N*），其关系式为

A．y=a（1+p%）x B．y=a（1–p%）x C．y=a（p%）x D．y=a–（p%）x

10．某工厂在某年12月份的产值是这年1月份的产值的m倍，则该厂在本年度的产值的月平均增长率为（    ）

A． B． C． D．

【能力提升】

11．年滕州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元.每生产(百辆)新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完.

（1）求出年的利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式；(利润销售额成本)

（2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

12．碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，生物体内的碳14会按指数函数的规律衰减，大约经过5730年衰减为原来的一半，通过测定生物遗体内碳14的含量就可以测定该生物的死亡年代.设生物体内的碳14的含量为P，死亡年数为t.

（1）试将P表示为t的函数；

（2）不久前，科学家发现一块生物化石上的碳14的含量为自然界中碳14的含量的，请推算该生物死亡的年代距今多少年？（参考数据：）

【参考答案】

【经典例题】

例1(1)④　(2)148.4　 [(1)画出散点图如图所示．

由图可知上述点大体在函数 y ＝log 2 x 的图像上，故选择 y ＝log 2 x 可以近似地反映这些数据的规律．故填④.

(2)高峰时间段200千瓦时的电费为50×0.568＋150×0.598＝118.1(元)，低谷时间段100千瓦时的电费为50×0.288＋50×0.318＝30.3(元)，所以这个家庭该月应付电费为118.1＋30.3＝148.4(元)．]

例2[解] 　根据上表作图，点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)近似在同一条直线上，设直线方程为 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0)，

∴

∴ y ＝－3 x ＋150( x ∈ N )．

经检验点(30,60)，(40,30)也在此直线上，

故所求函数关系式为

y ＝－3 x ＋150( x ∈ N )．

(2)依题意有 P ＝ y ( x －30)

＝(－3 x ＋150)( x －30)

＝－3( x －40) 2 ＋300，

∴当 x ＝40时， P 有最大值300.

故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润.

【课堂达标】

1．B

【解析】

【分析】

由题知，，可解得的值，再把代入中，结合指数和对数的运算法则即可得解.

【详解】

解：前5个小时消除了的污染物，

，即，

当污染物减少时，，

，

.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的实际应用，主要涉及指数和对数的运算法则，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.

2．C

【解析】

试题分析：，两式相除得，解得， 那么，当时，故选C．

考点：函数的应用

3．D

【解析】

【分析】

依题意可得，所以转化为求的最大值即可得到答案.

【详解】

，固定，可知最大时，最小，保温效果最好，

对于型玻璃，，

对于型玻璃，，

对于型玻璃，，

对于型玻璃，，

经过比较可知， 型玻璃保温效果最好.

故选：D.

【点睛】

本题考查了函数的应用，考查了求函数的最值，属于基础题.

4．C

【解析】

【分析】

该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，由此能求出结果．

【详解】

该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，

则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，

解得x≥600．

∴该厂为了不亏本，日印图书至少为600本．

故选C．

【点睛】

本题考查函数的实际应用问题，是基础题．

5．D

【解析】

【分析】

根据增长率，求得经过年后的产量.

【详解】

今年产量为，经过年后产量为，经过年后产量为，以此类推，经过年后产量为.

故选D.

【点睛】

本小题主要考查指数增长，考查实际生活中的数学应用问题，属于基础题.

6．B

【解析】

主要考查构建函数模型，利用导数解决生活中的优化问题．

解：设甲地销售辆，依题意L1 +L2=5.06－0.15 +2（15－）==，所以当取整数10时，最大利润为45.6，故选B．

7．D

【解析】

【分析】

将各数据代入选项，依次判断即可得到结论.

【详解】

由题知：

当时，，而选项B，当时，，故排除B.

当时，，而选项A，当时，，故排除A，

选项C，当时，，故排除C，

选项D，当时，，时，，D正确.

故选：D

【点睛】

本题主要考查函数模型的选择，考查学生分析问题的能力，属于简单题.

8．C

【解析】

【分析】

利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得.

【详解】

设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元,

则当时,元,不符合题意;

当时,,令,解得,符合题意;

当时,,不符合题意.

综上所述: 此户居民本月用水量为15.

故选:C

【点睛】

本题考查了分段函数由函数值求自变量,解题关键是仔细阅读,搞清题意,本题属于基础题.

9．B

【解析】

【分析】

根据题意，成本每年降低率相同，符合指数函数模型问题，利用指数函数即可解决问题

【详解】

根据题意，得y=a（1–p%）x，∵x是年数，又由题意0<x<m，x∈N，因此所求关系式为y=a（1–p%）x（x∈N，1<x<m）．故选B．

【点睛】

本题考查了指数函数模型的应用问题，解题时应根据题意，建设指数函数模型，从而解决问题，是基础题

10．D

【解析】

【分析】

先假设增长率为，再根据条件可得，从而可解．

【详解】

由题意，该厂去年产值的月平均增长率为，则.

解得：

故选：D．

【点睛】

本题考查函数模型的选择，利用了有关增长率问题的函数模型，属于基础题．

【能力提升】

11．（1）；（2）产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.

【解析】

【分析】

（1）根据年利润=销售额投入的总成本固定成本，分和两种情况得到与的分段函数关系式；

（2）当时根据二次函数求最大值的方法来求的最大值，当时，利用基本不等式求的最大值，最后综合即可

【详解】

解：（1）当时，

当时，

所以

（2）当时，，

当时，；

当时，，

(当且仅当，即时，“”成立)

因为，所以，当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.

【点睛】

此题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查转化思想及计算能力，属于中档题

12．（1）；（2）21010年.

【解析】

【分析】

（1）设，由经过5730年衰减为原来的一半，可得，即可得答案；

（2）由题意得：，再利用换底公式和所提供的数据，即可得答案；

【详解】

解：（1）已知碳14含量与死亡年数成指数函数关系，设，

由经过5730年衰减为原来的一半，可得，

故碳14的含量P与死亡年数t的函数关系式为；

（2），

,

所以推算该生物死亡的年代距今21010年.

【点睛】

本题考查对数函数模型的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换底公式的应用.