高中4.3 百分位数学案设计

6.4.3百分位数

【教学目标】

重点、难点

重点：样本众数、中位数、平均数的意义及求法，实际问题中三数的应用。

难点：比较复杂的百分数应用题

学科素养

  通过对有关数据的收集、整理、分析、判断培养学生“实事求是”的科学态度。

【知识清单】

1 ．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义

2 ．百分位数

(1) 定义：一般地，一组数据的第 p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 p % 的数据小于或等于这个值，且至少有 (100 － p )% 的数据大于或等于这个值．

(2) 计算步骤：计算一组 n 个数据的第 p 百分位数的步骤：

第 1 步，按 从小到大 排列原始数据．

第 2 步，计算 i ＝ n × p % ．

第 3 步，若 i 不是整数，而大于 i 的比邻整数为 j ，则第 p 百分位数为第 j 项数据；若 i 是整数，则第 p 百分位数为第 i 项与第 ( i ＋ 1) 项数据的 平均数 ．

【经典例题】

例1. 高二 (1) 班 7 人宿舍中每个同学的身高分别为 170,168,172,172,175,176,180 ，求这 7 人的第 40 的百分位数为 ( 　　 )

A ． 168 B ． 170

C ． 172 D ． 171

例2 ．某中学高二 (2) 班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：

甲： 95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.

乙： 83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.

计算出学生甲、乙的 25% 分位数和 50% 分位数．

例3 ． ( 学科素养 — 数据处理 ) 某风景区对 5 个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变．有关数据如表所示：

(1) 该风景区称调整前后这 5 个景点门票的平均收费不变，日平均总收入持平．问风景区是怎样计算的？

(2) 另一方面，游客认为调整收费后风景区的日平均总收入相对于调价前，实际上增加了约 9.4%. 问游客是怎样计算的？

(3) 你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？

【课堂达标】

1．以下数据为参加数学竞赛决赛的人的成绩：（单位：分）、、、、、、、、、、、、、、，则这人成绩的第百分位数是（    ）

A． B． C． D．

2．高二（1）班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，求这7人的第60百分位数为(    )

A．168 B．175 C．172 D．176

3．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高.现随机抽取位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的分位数是（    ）

A．7 B． C．8 D．

4．2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（    ）

A．甲的化学成绩领先年级平均分最多.

B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分.

C．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.

D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.

5．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩：

78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，

则这15人成绩的第80百分位是（    ）

A．90 B．90.5 C．91 D．91.5

6．为做好“新冠肺炎”疫情肪控工作，济南市各学校坚持落实“双测温两报告”制度，以下是某宿舍6名同学某日上午的体温记录：36.3，36.1，36.4，36.7，36.5，36.6（单位：），则该组数据的第80百分位数为________.

7．数据：18,26,27,28,30,32,34,40的75%分位数为______．

【能力提升】

8．某学校高三年级在开学时举行了入学检测.为了了解本年级学生寒假期间历史的学习情况，现从年级名文科生中随机抽取了名学生本次考试的历史成绩，得到他们历史分数的频率分布直方图如图.已知本次考试高三年级历史成绩分布区间为.

（1）求图中的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这名学生历史成绩的平均分，众数；（每组数据用该组的区间中点值作代表）

（3）已知该学校每年高考有%的同学历史成绩在一本线以上，用样本估计总体的方法，请你估计本次入学检测历史学科划定的一本线该为多少分？

9．下表为12位毕业生的起始月薪

根据表中所给的数据计算第85百分位数.

10．根据所给的以下数据:3.81，3.65，3.68，3.83，3.68，3.80，3.72，3.73，3.75，3.80，求他们的75%，50%分位数.

11．下表记录了一个家庭6月份每天在食品上面的消费金额：（单位：元）

求该家庭6月份每天在食品上面的消费金额的5％，25％，50％，75％，95％分位数.

12．某校年级长为了解本校高三学生一模考试的数学成绩（单位：分），随机抽取30名学生的一模数学考试，如下所示：

估计该校高三学生一模数学成绩的25%分位数为______，50%分位数为______.

【参考答案】

【经典例题】

例1 ． 解析： 把 7 人的身高从小到大排列

168,170,172,172,175,176,180

7 × 40% ＝ 2.8

即第 3 个数据为所求的第 40 的百分位数．

答案： C

例2 解析： 把甲、乙两名学生的数学成绩从小到大排序，可得

甲： 65,71,75,76,81,86,88,89,91,94,95,107,110.

乙： 78,79,83,86,88,93,98,98,99,101,103,106,114.

由 13 × 25% ＝ 3.25,13 × 50% ＝ 6.5.

可得数据的 25% 分位数， 50% 分位数为第 4,7 项数据，

即学生甲的 25% 分位数， 50% 分位数分别为 76,88.

学生乙的 25% 分位数， 50% 分位数分别为 86,98.

例3 ． 解析： (1) 风景区是这样计算的：

调整前的平均价格为 ＝ 16( 元 ) ，

调整后的平均价格为 ＝ 16( 元 ) ，

∵ 调整前后的平均价格不变，日平均人数不变，

∴ 日平均总收入持平．

(2) 游客是这样计算的：

原日平均总收入为 10 × 1 ＋ 10 × 1 ＋ 15 × 2 ＋ 20 × 3 ＋ 25 × 2 ＝ 160( 千元 ) ，

现日平均总收入为 5 × 1 ＋ 5 × 1 ＋ 15 × 2 ＋ 25 × 3 ＋ 30 × 2 ＝ 175( 千元 ) ，

∴ 调整收费后风景区的日平均总收入增加了 × 100% ≈ 9.4%.

(3) 游客的算法是正确的，游客的说法较能反映整体实际．

【课堂达标】

1．A

【解析】

【分析】

将数据由小到大依次排列，找出第个数，可得出这人成绩的第百分位数.

【详解】

将这人成绩由小到大依次排列为、、、、、、、、、、、、、、，

第个数为，因此，这人成绩的第百分位数是.

故选：A.

【点睛】

本题考查百分位数的计算，熟悉百分位数的定义是计算的关键，考查计算能力，属于基础题.

2．B

【解析】

【分析】

将7人的身高从低到高排列，最后由百分位数的求法求解即可.

【详解】

将7人的身高从低到高排列：

第5个数据为所求的第60百分位数，即这7人的第60百分位数为

故选：B

【点睛】

本题主要考查了求百分位数，属于基础题.

3．C

【解析】

【分析】

先计算分位数的位置，再求出这个数即可.

【详解】

由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，

因为，

所以这10个人的分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.

故选：C

【点睛】

本题主要考查分位数的概念和计算，属于基础题.

4．A

【解析】

【分析】

根据雷达图，对四个选项逐个分析，可选出答案.

【详解】

根据雷达图，可知物理成绩领先年级平均分最多，即A错误；

甲的政治、历史两个科目的成绩低于年级平均分，即B正确；

甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理，即C正确；

对甲而言，物理成绩比年级平均分高，历史成绩比年级平均分低，而化学、生物、地理、政治中优势最明显的两科为化学和地理，故物理、化学、地理的成绩是比较理想的一种选科结果，即D正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查统计知识，涉及到雷达图的识别及应用，考查学生识图能力、数据分析能力，是一道容易题.

5．B

【解析】

【分析】

由样本数据第80百分位的定义以及求解步骤直接求解即可得出答案.

【详解】

把成绩按从小到大的顺序排列为：

56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，

因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位是.

故选：B.

【点睛】

本题考查了样本数据百分位数的计算，属于基础题.

6．36.6

【解析】

【分析】

根据第百分位数的概念和计算方法可得答案.

【详解】

将6名同学某日上午的体温记录从小到大排列为：36.1，36.3， 36.4，36.5，36.6，36.7，

因为，所以该组数据的第80百分位数为36.6，

故答案为：36.6.

【点睛】

本题考查第百分位数的概念和计算方法，属于基础题.

7．33

【解析】

【分析】

该组数据一共有8个,%,再分析75%分位数即可.

【详解】

该组数据一共有8个,%,故75%分位数在从小到大第6,7个数的平均数,

即.

故答案为：33

【点睛】

本题主要考查了分位数的计算,属于基础题型.

【能力提升】

8．（1）；（2）平均数为，众数为；（3）分

【解析】

【分析】

（1）根据频率和为，即可求出的值；

（2）根据频率直方图，取频率最大组的中值即为众数；由平均数公式即可求出结论；

（3）先确定从小到大概率和为所在的组，以及在该组所在的比例，即可求出结果.

【详解】

（1）依题意得，，

解得；

（2）估计这名学生历史成绩的平均分为，

，

众数为；

（3）的频率和为，的频率为

所以估计本次入学检测历史学科划定的一本线为.

【点睛】

本题考查补全频率分布直方图，并利用频率直方图求众数、平均数以及估计百分比数，属于基础题.

9．3130

【解析】

【分析】

将所给数据从小到大排列,根据分位数的计算公式可得解.

【详解】

把这组数据按从小到大排序：2710,2755,2850,2880,2880,2890,2920,2940,2950,3050,3130,3325,

所以,

即第85百分位数是3130.

故答案为: 3130

【点睛】

本题考查了百分位数的概念和简单计算,属于基础题.

10．3.80；3.74

【解析】

【分析】

将所给数据从小到大排列,根据分位数的计算公式可得解.

【详解】

把这组数据从小到大排列,得3.65,3.68,3.68,3.72,3.73,3.75,3.80,3.80,3.81,3.83,

,所以75%分位数为3.80,

,则50%分位数为

故答案为: 3.80；3.74

【点睛】

计算一组n个数据的p%分位数的一般步骤如下：第1步,按照从小到大排列原始数据；第2步,计算；第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则p%分位数为第j项数据；若i是整数,则p%分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数.

11．见解析

【解析】

【分析】

将所有数据由小到大排列,再分别计算总数30的5％,25％,50％,75％,95％再进行对应的分位数计算即可.

【详解】

该样本共有30个数据,所以30×5％=1.5,30×25％=7.5,30×50％=15,30×75％=22.5,

30×95％=28.5

将所有数据由小到大排列得：26,26,26,27,28,28,28,28,28,29,29,30,30,31,3131,32,32,32,34,34,34,34,34,34,34,35,35.

从而得5个百分位数如下表：

【点睛】

本题主要考查了百分位数的计算,属于基础题型.

12．96.    115.5.   

【解析】

【分析】

先将学生的成绩从小到大排列，分别计算25%分位数和50%分位数的位置，再求出这两个数即可.

【详解】

把这30名学生的数学成绩按从小到大的顺序排列为63，68，74，83，85，89，96，96，97，98，99，107，110，113，115，116，117，121，123，124，125，128，132，133，139，141，142，144，145，147.

因为，所以这30名学生一模数学成绩的25%分位数为从小到大排列后第8名学生的成绩，即96，

因为，所以这30名学生一模数学成绩的50%分位数为从小到大排列后第15名同学和第16名同学成绩的平均数，即.

故答案为：96；115.5

【点睛】

本题主要考查分位数的概念和计算，属于基础题.