人教版新课标A必修33.1.1随机事件的概率教学设计及反思

关于概率分布的几类综合题

近年来，由概率分布和其他知识综合的题目频频出现在各级各类考试题中，由于这类题目涵盖的知识点多 ，数学思想和方法考查充分，是考查学生综合运用能力好题材，本文精选与此相关的例子，并进行分类解析，旨在探索题型规律，揭示解题方法。

一、概率分布与函数的综合

例1  某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这3个景点的概率分别为0.4，0.5，0.6，且客人游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值，(1)求ξ的分布列及数学期望；(2)记“函数f(x)=x2－3ξx+1在区间[2，+∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率。

解析：(1)分别记“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、“客人游览丙景点”为事件A1、A2、A3，由已知A1、A2、A3相互独立，P(A1)=0.4，P(A2)=0.5，P(A3)=0.6，客人游览的景点数可能取值为0，1，2，3，相应地客人设游览的景点可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3， P(ξ=3)=P(A1·A2·A3)+P()=2×0.4×0.5×0.6=0.24，

P(ξ=1)=1－0.24=0.76，所以ξ的分布列为

 Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.

(2)因为f(x)=(x－ξ)2+1－ξ2，所以函数f(x)=x2－3ξx+1在区间[ξ,+∞)上单调递增，要使f(x)在(2,+∞)上单调递增，当且仅当ξ≤2，即ξ≤，从而P(A)=P(ξ≤)=P(ξ=1)=0.76。

二、概率分布与方程的综合

例2．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，4，P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3,4)，又ξ的数学期望Eξ=3，则a+b=______

解析：由已知变量ξ的概率分布为

∵，解方程组得b=0，a=，

∴a+b=

三、概率分布与数列的综合

例3、已知P(ξ=k)=a·()k (k=1,2,……,n)是随机变量的分布列，则实数a=_____

解析：要求a的值，须列出关于a的一个方程，即寻求题中蕴涵的等量关系，由随机变量分布列的性质2可解题。

∵P(ξ=k)=a·()k (k=1,2,……,n)是随机变量ξ的分布列，∴a()+a()2+……+a()n=1，即a[()+()2+……+()n]=1，由等比数列求和得a[1－()n]=1，∴a== (n∈N)

四、概率分布与解析几何的综合

例4设l为平面上过点(0,1)的直线l，l的斜率等可能地取－2，－，－，0，，，2，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望Eξ=_______

解析：先建立直线方程，求出原点到直线的距离，确立ξ的取值。已知直线共7条，它们是：±2x－y+1=0，±x－y+1=0，±x－y+1=0，y=1，原点到它们的距离分别为，，，1，∴ξ可取值为，，，1；则P(ξ=)=，P(ξ=)=， P(ξ=)=，P(ξ=1)=，故Eξ=×+×+×+1×=

五、概率分布与实际问题的综合

例5  某商场根据天气预报来决定节日是在商场内、还是在商场外开展促销活动。统计资料表明，每年国庆节商场内的促销活动可获经济效益2.5万元，商场外的促销活动如果不遇到有雨天气，可获得经济效益12万元。如果促销活动遇到雨天，则有5万元的经济损失，9月30日气象台预报，国庆节当地有雨的概率是40%，问商场应采取哪种促销方式。

分析：设国庆节商场外促销收益为ξ(万元)，则ξ取值为12和-5，所对应的概率为0.6和0.4，数学期望Eξ=12×0.6+(-5)×0.4=5.2(万元)，即期望值远大于商场内促销，故应采用场外促销的方式。