高中数学人教版新课标A必修33.2.1古典概型学案

解读“古典概型”

古典概型是一种特殊的概率摸型．解答此类问题应注意以下几点： 1.理解古典概型的两个特征：（1)试验的所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．只有同时具备这两个特征时的概率模型才是古典概型;2.古典概型的概率计算公式P(A)=; 3.对于公式中事件A包含的基本事件个数．及总的基本事件个数n的计算方法：（1）问题比较简单的、个数比较少的可用列举法按规律全部列出；（2）当试验的结果比较多时，可以用排列组合解决m．n的值. 4.要善于把一些实际问题转化为古典概型．下面就古典概型的常考题型举例分析如下：

考点一、对古典概型的概念辨析

     古典概型是概率学中非常重要的概念，但有不少同学对概念理解不深刻，误把许多不是古典概型的事件看作古典概型。其实古典概型必须具备下面两个条件：

（1）          实验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（2）          每个基本事件出现的可能性相等。

当我们遇到一个事件时，可以用这两条法则来衡量它是否为古典概型。

例1.下列概率模型中有几个是古典概型？

    A.从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；

B.向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；

C.从1，2，3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率。

解：A不是古典概型，因为区间[1，10]中的有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，因此有无限多个基本事件，与古典概型定义中“基本事件只有有限个”矛盾。

B不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每个基本事件出现的可能性相等”矛盾。

C是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的（100个），而且每个整数被抽到的可能性相等。

例1.一个口袋内装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：

   （l）基本事件总数．

    (2)事件“摸出2个黑球”包含的基本事件是多少个？

    (3)摸出2个黑球的概率是多少？

解：(1)从装有4个球的口袋内摸出2个球，基本事件总数为6.

        (2)事件“从3个黑球中摸出2个球”=｛（黑1，黑2)，（黑2，黑3），（黑1，黑3）｝，共3个基本事件．

(3)基本事件总数m＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数n=3.故.

【反思领悟】在古典概型下,每一个基本事件出现的概率均为，因此要求P(A),关健是要找出事件A所包含的基本事件的个数m.然后套用公式P(A)=求得古典概型的概率．

考点二、古典概型概率公式的应用

例2.某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车.假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：

（1）该车在某停车点停车；

（2）停车的次数不少于2次；

（3）恰好停车2次.

解：将8个职工每一种下车的情况作为1个基本事件，那么共有38=6561（个）基本事件.

（1）记“该车在某停车点停车”为事件A，事件A发生说明在这个停车点有人下车，即至少有一人下车，这个事件包含的基本事件较复杂，于是我们考虑它的对立事件，即“8个人都不在这个停车点下车，而在另外2个点中的任一个下车”.

∵P（）==，

∴P（A）=1－P（）=1－=.

（2）记“停车的次数不少于2次”为事件B，则“停车次数恰好1次”为事件，则P（B）=1－P（）=1－=1－=.

（3）记“恰好停车2次”为事件C，事件C发生就是8名职工在其中2个停车点下车，每个停车点至少有1人下车，所以该事件包含的基本事件数为C（C+C+C+…+C）=3×（28－2）=3×254，于是P（C）==.

解后反思: （1)运用古典概型的概率公式解题时，需确定全部的基本事件的个数，及所求概率对应的基本事件数，同时可运用排列、组合的知识计算．(2)注意要恰当地进行分类，分类时应不重不漏．(3)分清问题是“放回”还是“不放回”；是“有序”还是“无序”．

考点三、概率的一般加法公式

例3.某人有5把钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是他逐把不重复地试开，求：

    （1）他恰好第三次打开房门的概率是多少？

    (2）三次内打开房门的概率是多少？

    (3)如果5把钥匙中有2把是该房门的钥匙，那么三次内打开房门的概率是多少？

    分析：要解决上述问题，应首先分析上述事件是等可能事件，还是互斤事件或对立亨件．

    解：(1)记“恰好第3次打开房门”为事件A.

解法1：由于5把钥匙的排列是随机的．因此哪一次打开房门的概率是相等的，因此P(A1）＝.

    解法2：也可以只考虑第3次开门的钥匙情况，第三次开门的钥匙中，所有5把都有可能被拿到（等可能），而其中打开房门的只有一把，所以第3次门被打开的概率是.

(2)记“三次内打开房门”为事件A2, A2可以看成三个事件B1,B2, B3的和，即A2=B1+B2+B3 .其中B1＝“第1次就把房门打开”．B2=“第2次把房门打开”,B3＝“第3次把房门打开”.

显然P(B1)=P(B2)=P(B3)=.且B1,B2,B3互斥，由互斥事件的概率加法公式知：

     (3)“三次内打开房门”记为事件A3，可分为两类:“三次内恰有一次打开房门”记为C1 ,“三次内恰有两次打开房门”记为C2．

反思领悟:等可能事件,首先要弄清楚试验结果是否“等可能”,其次要找准问题研究的角度,正确找出基本事件总数及事件A所包含的事件的个数.

考点四、随机模拟试验

例4.某校高一全年级共20个班1200人，期终考试时如何把学生分配到40个考场中去？

分析: 要把1200人分到40个考场中去，每个考场30人，首先要把全体学生按一定顺序排成一列，然后从1号到30号去第1考场，31号到60号去第2考场，…，  人数太多，如果用随机数表法给每名学生找一个考试号，太费时费力，我们可以用随机函数给每一个学生一个随机号数,然后再按号数用计算机排序即可.

解析:（1)按班级、学号顺序把学生档案输人计算机． (2)用随机函数RANDBETWEEN（1，1200）按顺序给每个学生一个随机数（每人的都不同）．  (3）使用计算机排序功能按随机数从小到大排列，即可得到考试号从1到1200人的考试序号．（注：1号应为0001，2号应为0002，用0补足位数．前面再加上有关信息号码即可）

点评: 解决此题的关健是用随机函数给每个学生一个随机数作为序号.

方法点悟:1.用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，然后求出其中的n, m,再利用公式P(A)= 求出事件的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏．

2.事件A的概率的计算，关键要分清基本事件个数n与事件A中包含的结果数m..因此，必须要解决好下面三个方面的问题：(1)本试验是否是等可能的；(2)本试验的基本事件有多少个；(3)事件A是什么？它包含多少个基本事件？只有回答好了这三个方面的问题，解题才不会出错．

一般说来，在建立概率模型时，把什么看作一个基本事件（即一个试验结果，是人为规定的．我们只要求每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且他们的发生是等可能的，就是一个古典概型．所以我们从不同角度去考虑一个实际问题可以将问题化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能的结果数越少，问题的解决就变得越简单．