高中数学人教版新课标A必修33.2.1古典概型教学设计

古典概型

江苏省丹阳高级中学  杨松扣

【要点扫描】

1．基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件.

2．等可能性事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．

3．古典概型的特点：⑴所有的基本事件只有有限个；⑵每个基本事件发生的概率相等，⑶不需要通过大量重复的试验，只要通过对一次试验可能出现的结果进行分析即可．

4．古典概型的概率公：:如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每个等可能基本事件发生的概率都是，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)= ．

5．从集合的角度来理解古典概型的概率：把一次试验中等可能出现的所有结果组成全集I，把事件A发生的结果组成集合A，则A是I的一个子集，则有．

【典例分析】

【例1】判断下列命题的真假．

⑴掷两枚硬币，可能出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”3种等可能的结果；

    ⑵某口袋中装有大小和形状完全一样的三个红球、两个黑球和一个白球，那么每一种颜色的球被模到的可能相同；

    ⑶从-3，-2，-1，0，1，2，3中任取一个数，则此数小于0与不小于0的可能相同；

    ⑷分别从3名男生和4名女生中各选取一名代表，那么某个同学当选的可能性相同．

【解析】以上命题均不正确．

    ⑴如果仅考虑这三种结果，则它们不是等可能的，若要是等可能的，则有(正，正)，(正，反)，(反，正)和(反，反)4种结果，故本小题总是错的；

⑵应是摸到每一个球的可能相同，而三种颜色的球的数量是不相同的；

⑶小于0的有3个，而不小于0的有4个；

⑷分别从男生和女生中各选取一个人，对男生或女生内部来说是等可能的，而对所有的同学来说男生是3选1，而女生是4选1，显然每个被选取的可能性不同．

【反思】对硬币的问题，我们不管抛掷是否有先后顺序，还是一起抛掷的，都必须看成有先后顺序，否则它们就不是等可能的．若先后抛掷n次或一次抛掷n枚，基本事件总数都应是2n个．

【例2】将骰子先后抛掷两次，求：

⑴向上的点数之和为几的概率最大？最大值是多少？

⑵向上的点数之和是5的倍数的概率是多少？

⑶个向上的点数中至少有一个是6点的概率？

⑷两个点数中有2或3的的概率；

⑸第一次得到的点数比第二次的点数大的概率．

【解析】将骰子先后抛掷两次，得到的点数情况如下表：

     统计向上点数和的情况如下：

⑴向上点数之和是7的概率最大，最大值是 ；

⑵向上的点数之和是5的倍数的有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(4，6)，(5，5)，(6，4)7个，

⑶至少有一个是6点的共有11个，则其概率为；

⑷两个点数之和是2的倍数或是3的倍数，按列计算，有2+6+6+2+2+2=20个，其概率为；

⑹去掉相等的共有6个，剩下的一半是前面的数字大，一半是后面的数字大，有15个，其概率为．

【反思】⑴骰子问题与硬币问题一样，都要考虑先后顺序，且n个骰子的基本事件总数是2n；⑵当基本事件总数不大时，用枚举法较方便；⑶若能用一个表格来表示这些问题，可使问题直观明了．

【例3】从数字1，2，3，4，5中任取2个，组成没有重复数字的两位数．试求：

    ⑴这个两位数是5的倍数的概率；

⑵这个两位数是偶数的概率；

⑶这个两位数大于40的概率．

【解析】“从数字1，2，3，4，5中任取2个，组成没有重复数字的两位数”，共有基本事件总数5×4=20个．

⑴设事件A为“这个两位数是5的倍数”，则事件A包含的基本事件为：个位数字是5，共有4个，

   ∴ P(A)=  ；

⑵设事件B为“这个两位数是偶数” 则事件B包含的基本事件为：个位数字是2或4，共有8个，

∴ P(A)=  ；

⑶设事件C为“这个两位数大于40” 则事件C包含的基本事件为：个十位数字是4或5，也有8个，

∴ P(A)=  ．

【反思】⑴数字问题要考虑先后顺序；⑵常把问题转换成个位数或首位数的问题，学会用到分类讨论的思想；⑶若含有0，还要考虑0不能在首位的特殊要求，这是最容易出错的地方．

【例4】一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．

⑴摸出的两只球都是白球的概率是多少?

⑵摸出的两只球是一白一黑的概率是多少?

【解析】从中摸出两球，可分有先后顺序(有序)和无先后顺序(无序)两种情况．设摸出的2只球都是白球的事件为A，一白一黑的事件为B．

      有序：从5只球中摸出2只球，其基本事件总数为5×4=20．

⑴摸到2只白球的基本事件数是3×2=6，∴；

⑵摸到1只白球和一只黑球的基本事件数是(先白后黑)3×2 +(先黑后白)2×3 =12，

    ∴  ．

无序：从5只球中摸出2只球，其基本事件总数为．

⑴摸到2只白球的基本事件数是     ∴；

⑵摸到1只白球和一只黑球的基本事件数是3×2 =6，

    ∴  ．

【反思】某些摸球问题是否考虑先后顺序，对问题的答案没有区别，但必须正确理解题意．

【同步演练】

1．将一枚均匀的硬币连掷两次，出现“两次都是正面”的概率为                (  )

A．　           B．               C．　            D．1

2．从甲，乙，丙三人中任意选两名代表，甲被选中的概率为                     (  )

A．              B．               C．              D．1

3．在100瓶饮料中,有4瓶已过保质期，从中任取一瓶，则取到的是未过保质期的概率是                          (  )

A．0.4            B．0.04             C．0.96           D．0.096

4．从1，2，…，20中任取一个数，它恰好是3的倍数的概率是                   (  )

A．              B．             C．               D．

5．从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任选2台，其中两种品牌电脑都齐全的概率是  (  )

A．              B．              C．               D．

6．从标有1，2，3，…，9的9张纸片中任取2张，那么这两张纸片上数字之积为偶数的概率是                                                                 (  )

   A．               B．             C．              D．

7．掷两颗骰子，所得的两个点数中，一个恰是另一个的两倍的概率为               (  )

   A．               B．               C．              D．

8．有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率为                                                                     (  )

A．               B．                C．             D．

9．袋中有白球5只，黑球6只，连续取出3只球，则顺序为“黑白黑”的概率为     (  )

  A．              B．              C．              D．

10．某小组有成员3人，每人在一个星期中参加一天劳动，如果劳动日期可随机安排，则3人在不同的3天参加劳动的概率为                                       (  )

A．               B．              C．              D．

11．100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，则任取其中一张，这张卡片上写的数是6的倍数的结果有_____种，概率为______． 

12．甲，乙，丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，那么甲排在乙前面值班的概率为___  __．

13．已知A，B两地共有三条不交叉道路连接，甲乙二人分别从A，B两地相向而行，则两人恰好相遇的概率为____   __．

14．某国科研会合作项目成员有2个美国人，2个法国人和3个中国人组成，现在从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人中一个为中国人，一个为外国人的概率为______．

15．同时抛掷两枚骰子，则点数和为5点的概率为      ．

16．从3名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛，试求：

⑴所选2人都是男生的概率；

⑵所选2人中恰有1名女生的概率；

⑶所选2人中至少有1名女生的概率．

17．用不同的颜色给右图中的3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂  一种颜色，求：

⑴3个矩形颜色都相同的概率；

⑵3个矩形颜色都不同的概率．

18． 同时抛掷三枚骰子，求出现的点数的和是11的概率．

19．一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成1000个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：

⑴有一面涂有色彩的概率；

⑵有两面涂有色彩的概率；

⑶有三面涂有色彩的概率．

20．袋中有红、黄、白球各2只且各有不同编号，从袋中有放回地摸出一球，共摸3次，求：

⑴三次颜色各不相同的概率；

⑵三次颜色不全相同的概率；

⑶三次取出的球无红球或无白球的概率．

【演练答案】

1．A．2．C．3．C．4．B．5．A．6．C．要分仅有一个是偶数和两个都是偶数两种情况．

7．B．8．C．用枚举法．9．D．从11只球中连续取3只，有11×10×9种，顺序为“黑白黑”的为6×5×5．10．C．用模仿骰子，基本事件总数是7×7×7，符合条件的有7×6×5．

11．16个，0.16．12．0.5．13．．14． ．15． ．

16．基本事件总数有10种，

⑴设“所选2人都是男生”的事件为A，则A包含3个基本事件，；

⑵设“所选2人中恰有1名女生”的事件为B，则B包含3×2个基本事件，；⑶设“所选2人中至少有1名女生”的事件为C，分两种情况：①2名女生，基本事件有1个；②恰有1名女生，基本事件有6个．．

17．基本事件共有27个；

⑴记事件A=“3个矩形涂同一种颜色”，则A包含的基本事件有3个，故；

⑵记事件B=“3个矩形颜色都不同”，则B包含的基本事件有3×2=6个，故．

18．符合条件的基本事件情况：  1，5，5（3个）； 1，4，6（6个）； 2，3，6（6个）； 2，4，5（6个）；3，3，5（3个）；3，4，4（3个）；合计有27个，基本事件总数63．

     ．

19．在1000个小正方体中，一面涂有色彩的有82×6个，两面涂有色彩的有8×12个，三面涂有色彩的有8个，

∴⑴一面涂有色彩的概率为=0.384；

⑵两面涂有色彩的概率为 =0.096；

⑶有三面涂有色彩的概率=0.008．

20．注意是有放回：基本事件总数有63种．

⑴设“三次颜色各不相同”的事件为A，则A包含6×4×2个基本事件，

 ；

⑵设“三次颜色不全相同”的事件为B，全相同的基本事件数有6×2×2种，则B包含63-6×2×2=192个基本事件，

 ；

⑶设“三次取出的球无红球或无白球”的事件为C，C有下列情况：白白白，白白黄，白黄黄，黄黄黄，红红红，红红黄，红黄黄；分别有2×2×2，2×2×2×3，2×2×2×3，2×2×2，2×2×2，2×2×2×3，2×2×2×3；合计有120个基本事件，

．