人教版新课标A必修33.3.1几何概型同步达标检测题

这是一份人教版新课标A必修33.3.1几何概型同步达标检测题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,6)
[答案] B
[解析] 向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为事件M，则P(M)＝eq \f(△ABD的面积,△ABC的面积)＝eq \f(1,2).
2．某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，则一个乘客候车时间不超过3分钟的概率为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
[答案] C
[解析] 把汽车到站的间隔时间分为[0,5]上的实数，其中乘客候车时间不超过3分钟时应在[0,3]内取值，所以发生的概率为eq \f(3,5).
3．取一根长度为5 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段长度都不小于2 m的概率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,5)
C.eq \f(1,3) D．不能确定
[答案] B
[解析] 如图所示，拉直后的绳子看成线段AB，且C、D是线段AB上的点，AC＝2m，BD＝2m，由于剪断绳子的位置是等可能的且有无限个位置，属于几何模型．
设剪得两段的长度都不小于2 m为事件E，设M是事件E的一个剪断点，则M∈CD，则事件E构成线段CD，则P(E)＝eq \f(CD,AB)＝eq \f(5－2－2,5)＝eq \f(1,5).
4．如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )
A．7.68 B．8.68
C．16.32 D．17.32
[答案] C
[解析] 矩形的面积S＝6×4＝24，设椭圆的面积为S1，在矩形内随机地撒黄豆，黄豆落在椭圆内为事件A，则P(A)＝eq \f(S1,S)＝eq \f(S1,24)＝eq \f(300－96,300)，解得S1＝16.32.
5．在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上随机取一个数x，则事件“0≤sinx≤1”发生的概率为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
[答案] C
[解析] 由于x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，若0≤sinx≤1，则0≤x≤eq \f(π,2)，设“0≤sinx≤1”为事件A，则P(A)＝eq \f(\f(π,2)－0,\f(π,2)－－\f(π,2))＝eq \f(\f(π,2),π)＝eq \f(1,2).
6．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为( )
A.eq \f(π,12) B．1－eq \f(π,12)
C.eq \f(π,6) D．1－eq \f(π,6)
[答案] B
[解析] 正方体的体积为：2×2×2＝8，以O为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：eq \f(1,2)×eq \f(4,3)πr3＝eq \f(1,2)×eq \f(4,3)π×13＝eq \f(2,3)π，则点P到点O的距离小于或等于1的概率为：eq \f(\f(2,3)π,8)＝eq \f(π,12)，故点P到点O的距离大于1的概率为：1－eq \f(π,12).
7．在△ABC中，E、F、G为三边的中点，若向该三角形内投点，且点不会落在三角形ABC外，则落在三角形EFG内的概率为( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(1,2)
[答案] B
8．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
[答案] C
9．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于eq \f(S,4)的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(3,4) D.eq \f(2,3)
[答案] C
10．如图，分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )
A.eq \f(4－π,2) B.eq \f(π－2,2)
C.eq \f(4－π,4) D.eq \f(π－2,4)
[答案] B
二、填空题
11．在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．
[答案] eq \f(1,3)
[解析] [－1,2]的长度为3，[0,1]的长度为1，所以所求概率是eq \f(1,3).
12．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．
[答案] 0.005
[解析] 大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P(A)＝eq \f(2,400)＝0.005.
13．在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
[答案] eq \f(\r(3)π,6)
[分析] 解答本题从正面考试较繁琐，所以从反面来解答，先计算事件“使点P到三个顶点的距离都大于1”的概率，利用对立事件的概率公式计算．
[解析] 边长为2的正三角形ABC内，到顶点A的距离等于或小于1的点的集合为以点A为圆心，1为半径，圆心角为∠A＝60°的扇形内．同理可知到顶点B、C的距离等于或小于1的点的集合．故使点P到三个顶点的距离都大于1的概率为eq \f(\f(1,2)×2×\r(3)－3×\f(1,6)×π×12,\f(1,2)×2×\r(3))＝1－eq \f(\r(3)π,6)，
故所求的概率为1－(1－eq \f(\r(3)π,6))＝eq \f(\r(3)π,6).
14．在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图．
在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为______．
[答案] eq \f(53,125)
[解析] 由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R＝5，圆柱底面半径r＝4，高h＝6，故球体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(500π,3)，圆柱体积V1＝πr2·h＝96π，
∴所求概率P＝eq \f(\f(500π,3)－96π,\f(500π,3))＝eq \f(53,125).
三、解答题
15．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯．
[解析] 在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型．
(1)P＝eq \f(亮红灯的时间,全部时间)＝eq \f(30,30＋40＋5)＝eq \f(2,5)；
(2)P＝eq \f(亮黄灯的时间,全部时间)＝eq \f(5,75)＝eq \f(1,15)；
(3)P＝eq \f(不是红灯亮的时间,全部时间)＝eq \f(黄灯或绿灯亮的时间,全部时间)
＝eq \f(45,75)＝eq \f(3,5).
16．在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏石油，假设在这个海域里随意选定一点钻探，则钻到油层面的概率是多少？
[分析] 石油在1万平方千米的海域大陆架中的分布可以看作是随机的，而40平方千米可看作事件的区域面积，由几何概型公式可求得概率．
[解析] 记事件C＝{钻到油层面}，
在这1万平方千米的海域中任意一点钻探的结果有无限个，故属于几何概型．
事件C构成的区域面积是40平方千米，
全部试验结果构成的区域面积是1万平方千米，
则P(C)＝eq \f(贮藏石油的大陆架面积,所有海域大陆架的面积)＝eq \f(40,10 000)＝0.004.
17．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，求使四棱锥M－ABCD的体积小于eq \f(1,6)的概率．
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M为其内一点；
②求四棱锥M－ABCD的体积小于eq \f(1,6)的概率．
解答本题的关键是结合几何图形分析出概率模型．
[解析] 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，设M－ABCD的高为h，
则eq \f(1,3)×S四边形ABCD×h又S四边形ABCD＝1，
则h18．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长eq \r(3)的概率是多少？
(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长eq \r(3)的概率是多少？
(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长eq \r(3)的概率是多少？
[解析] (1)设事件A＝“弦长超过eq \r(3)”，弦长只与它跟圆心的距离有关，
∵弦垂直于直径，∴当且仅当它与圆心的距离小于eq \f(1,2)时才能满足条件，由几何概率公式知P(A)＝eq \f(1,2).
(2)设事件B＝“弦长超过eq \r(3)”，弦被其中点惟一确定，当且仅当其中点在半径为eq \f(1,2)的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知P(B)＝eq \f(1,4).
(3)设事件C＝“弦长超过eq \r(3)”，固定一点A于圆周上，以此点为顶点作内接正三角形ABC，显然只有当弦的另一端点D落在 eq \\ac(BC,\s\up17(︵))上时，才有|AD|>|AB|＝eq \r(3)，由几何概率公式知P(C)＝eq \f(1,3).