高中数学人教版新课标A必修21.1 空间几何体的结构教学设计及反思

直线与圆锥曲线的位置关系

【教学要求】

1.深刻领会曲线与方程的概念．

2.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定，能够应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些实际问题．

【典型例题】

例1．已知直线过抛物线)的焦点，并且与抛物线交于两点，证明:(1)焦点弦公式=；(2)若的倾斜角为，则=；(3)+为常量；(4)若为抛物线的任何一条弦，则直线不可能是线段的垂直平分线．

分析：已知直线过抛物线的焦点，分斜率存在、不存在将直线方程设出，将直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，设而不求即可简捷求解.

证明：(1)作⊥准线于，作⊥于，

由定义=，=,准线:,

∴弦长=+=+==；

(2)当=90°时，弦长为通径长．∴=2=．

当≠90°时， (,0)，设的斜率为．

则,作∥轴，∥轴，、交于，则，∠=，

将①代入②，得  ∴

∴= ===  ∴=

(3)利用抛物线的焦半径公式，得=

＝＝

∴+====为定值；

(4)显然当时，弦不存在．

当不与轴垂直时，设 (,)， (,)，且≠，则 =．

若⊥，则=-    ∵≠0，∴≠0

设线段的中点为,则=(+)=,

=，将代入方程求得：=-( -)=(-)

∵-=-≠1∴ ≠()= ∴线段的中点不在直线上．

小结：用抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为抛物线上的点到准线的距离来计算，简化了运算，(2)中没有运用弦长公式，而是利用(1)的结论或结合图形，灵活运用平面几何知识解直角三角形，证明较简捷，本题要注意运用直线方程的点斜式时，斜率是否存在，解答时要分斜率不存在(α=90°)和斜率存在(α≠90°)两种情况证明，同样(4)中也要对直线的位置进行讨论，同时要注意解题的严密性．

 例2．设双曲线：与直线：相交于两个不同的点．

(1)求双曲线的离心率的取值范围；

(2)设直线与轴的交点为，且=，求的值．

分析：由曲线与直线有两个不同交点，得其两方程联立后二次方程的△>0，这样便得出、c的不等式，再求解=即完成第一问，借助向量相等条件，韦达定理，列出只含的方程，再求解．

解：(1)由与相交于两个不同的点，故知方程组

有两个不同的实数解，消去并整理得，

所以解得0<<且≠1,双曲线的率心率==

∵0<<且≠1,∴且≠,即率心率的取值范围为(，)∪(,+∞).

(2)设,．∵ =  ∴．

由此得 ，由于都是方程①的根,且1-≠0

所以 , ．消去,得=

由0,所以=．

小结：本题考查直线、双曲线的概念性质，韦达定理、不等式、平面向量的运算，解方程等知识，考查数形结合，方程、不等式的思想方法，以及推理运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力，此题涉及知识点多，运算量大，需要学生具有一定的数学能力才能解出此题．

例3.已知某椭圆的焦点是、，过点并垂直于轴的直线与椭圆的一个交点，且+=10，椭圆上不同的两点，满足条件、成等差数列．

(1)求该椭圆的方程；

(2)求弦中点的横坐标；

     (3)设弦的垂直平分线的方程为，求的取值范围．

分析：本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，考查综合运用知识的能力、逻辑推理能力、运算能力．

解：(1)由椭圆定义及条件知：+=10．∴=5,又=4，∴=3．

∴椭圆方程为+=1．

(2)∵在椭圆上，∴==．

法一：∵右准线为,离心率，∴=(, =(

由、、成等差数列，得(+ (=2×∴．

设弦中点，则==4．

法二：由、、成等差数列，得+=2×　　　　①

∵在椭圆+=1上，∴y=(25-x)．

∴====　②

设，同理可得 ==　　　③

将②、③代入①，得+=   ∴．

设弦中点，则==4．

(3)法一：由在椭圆上，

∴    ④           ⑤

由④-⑤，得9()+25()=0∴9×+25××=0(≠)

将= =4，=，=-(≠0)代入上式，得

()=0(≠0) , 由上式得 (当=0时也成立)，

由点在弦的垂直平分线上，得.

∴.

由在线段 (与关于轴对称)的内部，得- ,

所以.

法二：∵弦的中点为,∴直线：       ⑥

将⑥代入+=1，得

∴=8  解得 (当=0时也成立)  以下步骤同法一．

小结： (1)法一根据圆锥曲线的统一定义，将圆锥曲线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而简化运算，法二用两点间距离公式，运算量较大．

(2)法一用代点相减法，既有弦的中点，又有斜率，法二用直线与圆锥曲线关系的一般方法进行处理．

例4．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为 的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．(1)求双曲线的方程；

(2)若直线：与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与的两个交点和满足·<6(其中为原点)，求的取值范围．

解：(1)设双曲线的方程为=1，则，再由得=1,

故的方程为．

(2)将代入,得.

由直线与椭圆恒有两个不同的交点得

△1=,即．　　　　　　①

将代入，得．

由直线与双曲线恒有两个不同的交点，得

即且．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

设,则 ， =．

由·<6得+ <6，而+ = +()()

＝=+ +2=，

于是<6，即>0解此不等式得或,　　　　　　③

由①、②、③得或1,

故的取值范围为()∪(,)∪(,)∪(,1)．

小结：此题是一个椭圆与双曲线的混合问题，应熟练掌握椭圆、双曲线的几何性质，注意分清两者中、、之间的关系，(2)中利用直线与椭圆，双曲线相交构造关于的不等式组，准确合理的计算是成功的关键．

【巩固练习】

一、选择题：

1．直线与曲线=1的公共点个数为     　　　　　 ( 　  )

．1个      ．2个      ．3个     ．4个

2．设直线：关于原点对称的直线为,若与椭圆的交点为，为椭圆上动点，则使△面积为的点的个数为 （　　）   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

．1    　　 ．2  　    ．3    　　．4

二、填空题：

3．过原点与双曲线=交于两点的直线的斜率的取值范围为　　　　　．

4．过点(0,2)的直线与抛物线仅有一个公共点，则满足此条件的直线共有　　　　条．

三、解答题：

5.已知椭圆：+=1()，以为圆心，以为半径作圆，过点作圆的两条切线，设切点为、．

(1)若过两个切点、的直线恰好经过点时，求此椭圆的离心率；

(2)若直线的斜率为，且原点到直线的距离为，求此时的椭圆方程；

(3)是否存在椭圆，使得直线MN的斜率k在间(， )内取值？若存在，求出椭圆的离心率的取值范围；若不存在，请说明理由．

6.设抛物线的焦点为，准线为，过点作一直线与抛物线交于、两点，再分别过点、作抛物线的切线，这两条切线的交点记为．

(1)证明直线与相互垂直，且点在准线上；

(2)是否存在常数，使等式·= 恒成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

答案：1．　　2．　　3．(,-)∪(,+∞)　　　4．1

5．(1)；(2)；(3)　　　6．(2)＝