新课标高中数学人教A版优秀教案必修3：7.备课资料（3.3.2 均匀随机数的产生）

备课资料

赌棍“考验”数学家

    对概率的兴趣,是由保险事业的发展而产生的,但刺激数学家思考概率论问题的却来自赌博者的请求.

    传说,17世纪中叶,法国贵族公子梅累参加赌博,和赌友掷骰子,各押赌注32个金币.双方约定,梅累如果先掷出三次6点,或者赌友先掷出三次4点,就算赢了对方.赌博进行了一段时间,梅累已经两次掷出6点,赌友已经一次掷出4点.这时候梅累接到通知,要他马上陪国王接见外宾,赌博只好中断了.这就碰到一个问题：两个人应该怎样分这64个金币才算合理呢?

    赌友说,他要再碰上两次4点,或梅累要再碰上一次6点就算赢,所以梅累分64个金币的,自己分64个金币的.梅累急辩说,不是,即使下一次赌友掷出了4点,他还可以得,即32个金币；再加上下一次还有一半希望得16个金币,所以他应该分64个金币的,赌友只能分得64个金币的.两人到底谁说得对呢？

    梅累为这问题苦恼好久,最后他不得不向法国数学家、物理学家帕斯卡请教,请求他帮助作出公正的裁判,这就成为有趣的“分赌注”问题.

    帕斯卡是17世纪有名的“神童”数学家.可是,梅累提出的“分赌注”的问题,却把他难住了.他苦苦思考了近三年,到1654年才算有了点眉目,于是写信给他的好友费马,两人讨论结果,并取得了一致的意见：梅累的分法是对的,他应得64个金币的,赌友应得64个金币的.这时有位荷兰的数学家惠更斯,在巴黎听到这件新闻,也参加了他们的讨论.惠更斯把讨论的结果写成一本书叫做《论赌博中的计算》（1657年）,这就是概率论的最早一部著作.

    除保险事业之外,各行各业都经常会碰到“某事件发生的可能性大小”的问题.因此,概率论问世后,在各方面得到了广泛的应用.可是,到了19世纪末,法国数学家贝特朗奇发现了一个非常有趣的怪论.他研究了下面一个问题：

     “设圆内接等边三角形的边长为a,在圆上任作一弦,问其长度超过a的概率是多少？”

    贝特朗奇算出了三种不同的答案,三种解法似乎又都有道理.人们把这种怪论称为概率怪论,或贝特朗奇怪论.

    贝特朗奇的解法如下：

解法一：任取一弦AB,过点A作圆的内接等边三角形（如右图）.因为三角形内角A所对的弧占整个圆周的.显然,只有点B落在这段弧上时,AB弦的长度才能超过正三角形的边长a,故所求概率是.

解法二：任取一弦AB,作垂直于AB的直径PQ.过点P作等边三角形,交直径于N,并取OP的中点M（如下图）.容易证明QN=NO=OM=MP.我们知道,弦长与弦心距有关.一切与PQ垂直的弦,如果通过MN线段的,其弦心距均小于ON,则该弦长度就大于等边三角形边长,故所求概率是.

解法三：任取一弦AB.作圆内接等边三角形的内切圆（如右图）,这个圆是大圆的同心圆,而且它的半径是大圆的,它的面积是大圆的,设M是弦AB的中点,显然,只有中点落在小圆内时,AB弦才能大于正三角形的边长.因此所求的概率是.

    细细推敲一下,三种解法的前提条件各不相同：第一种假设了弦的端点在四周上均匀分布；第二种假设弦的中点在直径上均匀分布；第三种假设弦的中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同,就导致三种不同的答案.这是因为在那时候概率论的一些基本概念（如事件、概率及可能性等）还没有明确的定义,作为一个数学分支来说,它还缺乏严格的理论基础,这样,对同一问题可以有不同的看法,以致产生一些奇谈怪论.

概率怪论的出现,迫使数学家们注意概率基础理论的研究.1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论公理化结构,明确了概率的各种基本概念,使概率论成为严谨的数学分支.

（设计者：邓新国）