《用样本估计总体》文字素材3（人教A版必修3）教案

样本数据的计算问题

为了考察一个总体的情况，通常是从总体中抽取一个样本，用样本的有关情况去估计总体的相应情况。对样本数据的分析、计算、整理，工作量大，务必要耐心、细心，确保计算结果准确。在与样本数据的计算有关的问题中，有哪些策略、技巧呢？

一、另立标准巧求平均数

例1 从一披机器零件毛坯中随机抽取20件，称得他们的质量如下（单位：kg）：

210   208   200   205   202   218   206   214   215   207

195   207   218   192   202   216   185   227   187   215

计算样本平均数（结果保留个位）。

分析  如果一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么x1－a，x2－a，…，xn－a的平均数为

[(x1－a)＋(x2－a)＋…＋(xn－a) ]＝[(x1＋x2＋…＋xn)－na]＝－a。

解析  由于样本数据较大，而且都是200左右，故将上面的各个数据都减去200，得到一组新数据：

10    8     0     5    2    18      6    14     15     7

－5    7    18   －8    2    16   －15    27   －13    15

计算着组数据的平均数得＝(10＋8＋…＋15)＝≈6。

于是所求的样本平均数是＝＋200≈206（kg）。

二、熟记结论计算快有准

对某些常用的思维方法，要进行积累；对常用的结论要记牢记准。如：

⑴ 若给定

⑵

例2 若样本数据x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数为10，方差是2 ，那么对于样本数据x1＋2，x2＋2，…，xn＋2有（   ）

A．平均数为10，方差为2       B．平均数为10，方差为3

C．平均数为11，方差为2       D．平均数为11，方差为3

解析  将样本数据x1＋2，x2＋2，…，xn＋2看作(x1＋1)＋1，(x2＋1)＋1，…，(xn＋1)＋1。根据前面的结论⑵，可知：后者的平均数等于前者的平均数加1，后者的方差与前者的方差相等。

故选C。

三、知所以然遇新亦能解

如果能掌握公式定理的推导过程，就是说“不仅知其然，而且知其所以然”，那么遇到新问题、新题型，就能做到想的对、算的准、解的快。

例3 求证：，对任意实数c，S2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，T2＝[(x1－c)2＋(x2－c)2＋…＋(xn－c)2]，均有S2≤T2．

分析  如果能够掌握上面提到的结论⑶的证明过程，那么这类题的解题思路是很明显的：将T2向着目标S2进行化简整理；运算过程中一定要坚定这个信心。

证明：T2＝[(x1－c)2＋(x2－c)2＋…＋(xn－c)2]．

＝[(x1－＋－c)2＋(x2－＋－c)2＋…＋(xn－＋－c)2]．

＝{[(x1－)2＋2(x1－)(－c)＋(－c)2]＋[(x2－)2＋2(x2－)(－c)＋(－c)2]＋…＋[(xn－)2＋2(xn－)(－c)＋(－c)2]}．

＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]＋(－c)[(x1－)＋(x2－)＋…＋(xn－)]＋(－c)2．

＝S2＋(－c)2≥S2．

∴S2≤T2．

注：本命题说明，一组数据与任意一个数的差的平方和中方差最小，当且仅当这个数是这组数据的平均数。