高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质学案

4.3.2 对数函数y=log2x的图像和性质

【教学目标】

重点、难点

1、会画对数函数y=log2x的图像；（重点）

2、对数函数y=log2x的性质及其应用；（难点）

学科素养

通过画对数函数y=log2x的图像，培养数形结合素养；

【知识清单】

1、对数函数y=log2x的图像

（a=2)

2、对数函数y=log2x的性质

    定义域：           ；

值域：            ；

图像过定点：        ；

单调性：             ；

  【基础过关】

1、为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（    ）

A．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度

C．向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度

D．向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度

2、设全集是实数集，，则(    )

A． B．

C． D．

【经典例题】

例1、设集合M＝{y|y＝()x，x∈[0，＋∞)}，N＝{y|y＝log2x，x∈(0,1]}，则集合M∪N等于(　　)

A．(－∞，0)∪[1，＋∞)      B．[0，＋∞)

C．(－∞，1]                 D．(－∞，0)∪(0,1)

【课堂达标】

1．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（     ）

A． B． C． D．

2．要将函数变成，下列方法中可行的有（    ）

①将函数图象上点的横坐标压缩一半        ②将函数图象上点的横坐标伸长一倍

③将函数的图象向下平移一个单位            ④将函数的图象向上平移一个单位（    ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

3．已知，，那么的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【能力提升】

1．设，则下列四个数中，的最大者是_________.

2．函数的单调增区间为_________.

3．已知函数，，则的值域是_________．

4．已知函数，则不等式的解集为________.

【参考答案】

【知识清单】

2、(0，＋∞)，R，（0,1），在(0，＋∞)上是单调递增的；

【基础过关】

1、A

【解析】

【分析】

通过函数的平移法则依次判断每个选项得到答案.

【详解】

A. 向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，正确；

B. 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，错误；

C. 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，错误；

D. 向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到，错误.

故选：

【点睛】

本题考查了函数的平移，熟练掌握函数平移法则是解题的关键.

2、C

【解析】

【分析】

先解对数不等式得出集合，再利用补集、交集的概念求解.

【详解】

由解得，则，于是.

又，所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查补集、交集的运算以及对数函数的性质，是一道基础题.

【经典例题】

例1、C

【解析】

【分析】

首先确定集合M和集合N，然后求解其并集即可.

【详解】

由题意可得：M＝(0,1]，N＝(－∞，0]，因此M∪N＝(－∞，1]．

本题选择C选项.

【点睛】

本题主要考查集合的表示方法，并集的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

[课堂达标]

1．C

【解析】

【分析】

注意A. 的奇偶性；B. 的单调性；D. 的奇偶性和单调性．

【详解】

解：A. 是非奇非偶函数；

B. 在上是单调递减函数；

C. 是偶函数又在上单调递增的函数；

D. 是奇函数又在上单调递减的函数．

故选C．

【点睛】

本题考查基本初等函数的奇偶性和单调性，是基础题．

2．B

【解析】

【分析】

由于的解析式有和两种形式，可知如何变换得到以上两种形式，即可确定选项

【详解】

由，其函数还可写成：

∴(1)变成：将函数图象上点的横坐标压缩一半

(2) 变成：将函数的图象向上平移一个单位

故选：B

【点睛】

本题考查了通过函数解析式判断函数平移伸缩变换的方式，注意：

自变量前有系数：a、大于1：横向压缩；b、小于1：横向伸长；

系数为1的自变量后加上一个正数：向左平移；减去一个正数：向右平移；

函数式前有系数：a、大于1：纵向伸长；b、小于1：纵向压缩；

函数式后加上一个正数：向上平移；减去一个正数：向下平移

3．A

【解析】

【分析】

由对数函数的单调性直接判断.

【详解】

由函数在定义域上为单调增函数,所以由得,

故选:A.

【点睛】

本题考查了对数函数单调性的应用,属于基础题.

【能力提升】

1．

【解析】

【分析】

利用特殊值法，如代入特殊值，，此时进行比较即可求解

【详解】

设，，则，故

此时，，

故

而，，故

故有，当时，

四个数中，的最大者

故答案为：

【点睛】

本题考查特殊值法判断大小，属于基础题.

2．

【解析】

【分析】

先求出函数的定义域，再根据二次函数的单调性和的单调性，结合复合函数的单调性的判断可得出选项.

【详解】

因为，所以或，即函数定义域为，

设，所以在上单调递减，在上单调递增，

而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为.

故填：．

【点睛】

本题考查复合函数的单调性，注意在考虑函数的单调性的同时需考虑函数的定义域，属于基础题.

3．

【解析】

【分析】

利用对数函数在给定区间上的单调性和值域直接求解即可.

【详解】

因为,所以,则得,所以,即函数的值域为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查了对数函数在给定区间上的单调性和值域的应用,属于基础题.

4．

【解析】

【分析】

分段函数，按定义和分类解不等式．

【详解】

时，，则，

时，，则，

综上，原不等式解集为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查对数函数与指数函数的性质，只是要注意分段函数要分类讨论．属于基础题．