数学2.1 实际问题的函数刻画导学案

5.2.1实际问题中的函数刻画

【教学目标】

重点、难点

重点：会利用已知函数模型解决实际问题．

难点：能建立函数模型解决实际问题

学科素养

    通过利用已知函数模型解决实际问题，提升数学建模素养.通过建立数学模型解决实际问题，培养数据分析、数学运算素养.。

【知识清单】

用函数模型解决实际问题

(1)常用的函数模型

(2)数据拟合

通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们所熟悉的哪一种函数 图像 ，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数 表达式 ，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．

思考：解决应用问题的关键是什么？

[提示] 　将实际问题转化为数学问题．

【经典例题】

【例1】　某国2015年至2018年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：

(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；

(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；

(3)利用关系式预测2019年该国的国内生产总值．

【例2】　如图1是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图像．

图1　　　　　　图2　　　　　　图3　　

(1)试说明图1上点 A 、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义；

(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图像，说明这两种建议的意义吗？

(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？

(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？

【例3】　某个体经营者把开始六个月试销 A ， B 两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：

该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资 A ， B 两种商品各多少最合算．请你帮助该经营者制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润．(结果保留两个有效数字)

【课堂达标】

1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是（    ）

A． B．

C． D．

2．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是（ ）

A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c

C．y＝aex＋b D．y＝aln x＋b

3．当时，，，的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

4．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为和.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为（    ）

A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元

5．某宾馆共有客床100张，各床每晚收费 10 元时可全部住满，若每晚收费每提高 2 元，便减少 10 张客床租出，则总收入 y(y>0)元与每床每晚收费应提高 x(假设 x 是 2 的正整数倍)元的关系式为(　　)

A．y＝(10＋x)(100－5x)

B．y＝(10＋x)(100－5x)，x∈N

C．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8，…，18

D．y＝(10＋x)(100－5x)，x＝2,4,6,8

6．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：

下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（    ）

A． B．

C． D．

7．在一项调查中有两个变量和，下图是由这两个变量的取值数据得到的散点图，那么适宜作为关于的回归方程的函数类型是（    ）．

A． B．

C． D．

8．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：）的影响，对近6年的年宣传费和年销售量进行整理，得数据如表所示：

根据表中数据，下列函数中，适宜作为年销售量关于年宣传费的拟合函数的是（    ）

A． B．

C． D．

9．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是（    ）

A． B． C． D．

10．一种商品售价上涨2%后，又下降了2%，那么这种商品的最终售价y与原来的售价x之间的函数关系为（    ）

A． B． C． D．

11．有一组实验数据如下表：

则体现这些数据的最佳函数模型是（    ）

A． B． C． D．

12．以下四种说法中，正确的是(    )

A．幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快 B．对任意的，

C．对任意的， D．不一定存在，当时，总有

第II卷（非选择题）

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二、填空题

13．下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________.

①；②；③；④

14．通过市场调查知某商品每件的市场价(单位:圆)与上市时间(单位:天)的数据如下:

根据上表数据,当时,下列函数:①;②;③中能恰当的描述该商品的市场价与上市时间的变化关系的是(只需写出序号即可)______.

【能力提升】

15．已知汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米．若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为______米．

16．某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为__________元．

三、解答题

17．某商品在近30天内每件的销售价格P元和时间t（t∈N）的关系如图所示．

（1）请确定销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式；

（2）该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的关系是：Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），求该商品的日销售金额y（元）与时间t（天）的函数解析式；

（3）求该商品的日销售金额y（元）的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的哪一天？

18．某乡镇为了提高当地地方经济总量，决定引进资金对原有的两个企业和进行改造，计划每年对两个企业共投资500万元，要求对每个企业至少投资50万元.根据已有经验，改造后企业的年收益（单位：万元）和企业的年收益（单位：万元）与投入资金（单位：万元）分别满足关系式：，.设对企业投资额为（单位：万元），每年两个企业的总收益为（单位：万元）.

（1）求；

（2）试问如何安排两个企业的投入资金，才能使两个企业的年总收益达到最大，并求出最大值.

【参考答案】

【经典例题】

【例1】　[解] 　(1) 根据表中数据画出函数图形，如图所示．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数为 y ＝ kx ＋ b .

把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解方程组，可得 k ＝0.677 7， b ＝8.206 7.

所以它的一个函数关系式为 y ＝0.677 7 x ＋8.206 7.

(2)由(1)中得到的关系式为 f ( x )＝0.677 7 x ＋8.206 7，计算出2016年和2017年的国内生产总值分别为

f (1)＝0.677 7×1＋8.206 7＝8.884 4，

f (2)＝0.677 7×2＋8.206 7＝9.562 1.

与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．

(3)2019年，即 x ＝4，由上述关系式，得 y ＝ f (4)＝0.677 7×4＋8.206 7＝10.917 5，

即预测2019年该国的国内生产总值约为10.917 5万亿元．

【例2】[解] 　(1) 点 A 表示无人乘车时收支差额为－20元，点 B 表示有10人乘车时收支差额为 0元，线段 AB 上的点表示亏损， AB 延长线上的点表示盈利．

(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．

(3)斜率表示票价．

(4)图1、2中的票价是2元，图3中的票价是4元．

【例3】[思路探究] 　先画出投资额与获利的图像，再选择函数模型．

[解] 　设投资额为 x 万元时，获得的利润为 y 万元．在直角坐标系中画出散点图并依次连接各点，如图所示，观察散点图可知图像接近直线和抛物线，因此可考虑用二次函数描述投资 A 种商品的利润 y 万元与投资额 x 万元之间的函数关系；用一次函数描述投资 B 种商品的利润 y 万元与投资额 x 万元之间的函数关系．

设二次函数的解析式为 y ＝－ a ( x －4) 2 ＋2( a ＞0)，

一次函数的解析式为 y ＝ bx .

把 x ＝1， y ＝0.65代入 y ＝－ a ( x －4) 2 ＋2( a ＞0)，

得0.65＝－ a (1－4) 2 ＋2，解得 a ＝0.15.

故前六个月所获纯利润关于月投资 A 种商品的金额的函数关系可近似地用 y ＝－0.15( x －4) 2 ＋2表示．

把 x ＝4， y ＝1代入 y ＝ bx ，得 b ＝0.25，

故前六个月所获纯利润关于月投资 B 种商品的金额的函数关系可近似地用 y ＝0.25 x 表示．

令下月投入 A ， B 两种商品的资金分别为 x A 万元、 x B 万元，总利润为 W 万元，得

W ＝ y A ＋ y B ＝－0.15( x A －4) 2 ＋2＋0.25 x B ，

其中 x A ＋ x B ＝12，

则 W ＝－0.15 ＋0.15·  ＋2.6(0≤ x A ≤12)，

则当 x A ＝ ≈3.2万元时， W 取得最大值，

0 . 15· ＋2.6≈4.1万元，此时 x B ＝ ≈8.8(万元)．

即投资 A 商品3.2万元，投资 B 商品8.8万元时，下月可获得的最大纯利润为4.1万元．

【课堂达标】

1．C

【解析】

【分析】

根据函数模型的增长速度，即可得答案；

【详解】

随x的增大，指数函数的增长速度最快，

的增长速度最快，

故选：C.

【点睛】

本题考查不同函数模型增长速度的比较，属于基础题.

2．B

【解析】

【分析】

从所给的散点图可看出函数的变化趋势是先增后减，依此可得出答案.

【详解】

从所给的散点图可看出函数的变化趋势是先增后减，所以该函数模型是二次函数.

故选：B

【点睛】

本题主要考查函数模型的选择，解题的关键是看出函数的变化趋势，属于基础题.

3．B

【解析】

【分析】

在平面直角坐标系中作出三个函数在区间内的图象，根据图象得到大小关系.

【详解】

在平面直角坐标系中，作出，，在时的图象如下图所示：

由图象可知，当时，

故选

【点睛】

本题考查函数图象的应用，关键是能够准确得到在给定区间内函数的图象.

4．C

【解析】

【分析】

根据题意建立相应的函数模型，转化为求函数的最大值问题求解即可.

【详解】

设公司在甲地销售辆，则在乙地销售辆，公司获利为，∴当或10时，最大，为120万元.故选C.

【点睛】

本题主要考查函数模型的实际应用，利用数学知识建立相应的函数模型，将实际问题转化为数学问题，注意实际问题背景下的自变量取值范围，属于基础题.

5．C

【解析】

【分析】

四个选项的差别在于的范围不同，根据题意可选出正确的的取值范围.

【详解】

依题意可知总收入的表达式为，由于是的正整数倍，且，即，故.答案为选项.

【点睛】

本小题主要考查简单的收入计算问题，收入等于单价乘以住的床数，根据题目写出自变量的取值范围即可得到正确选项.

6．A

【解析】

【分析】

根据表中数据可判断函数为一次函数，将各数据代入，验证可得结论．

【详解】

解：根据表中数据可判断函数为一次函数，

将各数据代入中均成立，

故选：．

【点睛】

本题考查函数模型的选择，考查学生的计算能力，属于基础题．

7．D

【解析】

【分析】

根据散点图的形状可选择合适的回归方程的函数类型.

【详解】

散点图呈曲线，排除选项A，且增长速度变快，排除选项B、C，

故选：D．

【点睛】

本题考查利用散点图形状选择合适的函数类型，属于基础题.

8．C

【解析】

【分析】

观察表中数据，对所给函数进行逻辑推理即可.

【详解】

由题表知，当自变量增加1个单位时，函数值依次增加0.55，0.40，0.16，0.14，0.20，

因此A、B不符合题意，当x取1，4时，的值分别为，与表中数据相

差较大.

故选：C

【点睛】

本题考查函数模型的选取，考查学生逻辑推理与数据分析的能力，是一道容易题.

9．A

【解析】

【分析】

由表中的数据分析得：自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的单调性，即可得出答案.

【详解】

对于A：函数在是单调递增，

且函数值增加速度越来越快，将自变量代入，

相应的函数值，比较接近，符合题意，所以正确；

对于B：函数值随着自变量增加是等速的，不合题意；

对于C：函数值随着自变量的增加比线性函数还缓慢，不合题意；

选项D：函数值随着自变量增加反而减少，不合题意.

故选:A.

【点睛】

本题考查函数模型的选择和应用问题，解题的关键是掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图像与性质，属于基础题.

10．C

【解析】

【分析】

根据商品涨价和降价的百分比，求得最终售价y与原来的售价x之间的函数关系.

【详解】

依题意.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查生活中的函数关系，属于基础题.

11．C

【解析】

【分析】

把数据代入检验，即代入各式求出与已知数据比较．

【详解】

若，时，，时，，时，远小于5.31，不适合；

若，时，，时，，时，，不适合；

若，时，，时，，时，，较适合；

若，时，，时，，时，，误差偏大点．

只有C误差小．

故选：C.

【点睛】

本题考查函数模型的应用，通过函数模型所得估计值与实际数值比较，误差小的是比较适合的模型．

12．D

【解析】

【分析】

根据幂函数、一次函数的增长速度受幂指数、一次项系数影响可判断A；根据幂函数、指数函数、对数函数的图像可判断B、C、D.

【详解】

对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，

幂指数一次项系数不确定，增长速度不能比较；

对于B，C，当时，显然不成立；

对于D，当，时，一定存在，使得当时，总有，

但若去掉限制条件“，”，则结论不一定成立.

故选：D.

【点睛】

本题考查了指数函数、对数函数、幂函数以及一次函数的图像与性质，属于基础题.

13．①

【解析】

【分析】

根据函数模型的增长速度，即可得答案；

【详解】

由于指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快，

更为有前途的生意，

故答案为：①.

【点睛】

本题考查函数模型的增长速度快慢问题，属于基础题.

14．②

【解析】

【分析】

根据表格提供的数据，判断随的变化规律（单调性），由此确定出正确序号.

【详解】

根据表格提供数据可知，随先变小，后变大，即至少有递减和递增两个过程，而①③对应的函数为单调函数，不符合题意. ②为二次函数，有递减和递增两个区间，时，能恰当的描述该商品的市场价与上市时间的变化关系.

故答案为：②

【点睛】

本小题主要考查函数单调性，考查数据分析处理，属于基础题.

【能力提升】

15．

【解析】

【分析】

设y＝kv2，由汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米，可求出k，再代值计算即可．

【详解】

解：由汽车刹车距离y（米）与行驶速度的平方v2（v的单位：千米/时）成正比，设y＝kv2，

当汽车行驶速度为60千米/时，刹车距离为20米，

∴20＝3600k，

解得k，

∴yv2，

当v＝90千米/时，

∴y902＝45米，

故答案为45

【点睛】

本题考查了函数模型的选择和应用，考查了运算能力和转化能力，属于基础题．

16．2400

【解析】

【分析】

由题意直接利用指数幂的运算得到结果．

【详解】

12年后的价格可降为81002400元．

故答案为2400．

【点睛】

本题考查了指数函数模型的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

17．（1）；（2）；

（3）第25天，日销售金额有最大值1125元.

【解析】

【分析】

（1）根据已知中的图象可得函数是一个分段函数，分0≤t＜25和25≤t≤30，t∈N两种情况，利用待定系数法可分别求出两段的解析式，最后综合讨论结果可得答案;（2）根据商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的关系是：Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），结合（1）中销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式，根据：日销售金额=销售价格×销售量得到答案;（3）根据（2）中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，求出函数的最大值点及最大值，可得答案．

【详解】

（1）当0≤t＜25，t∈N，设P=at+b，将（0，19），（25，44）代入得 ，解之得，∴P=t+19（0≤t＜25，t∈N），当25≤t≤30，t∈N，同理可得P=﹣t+100，

综上所述：销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式为 .

（2）由题意得，y=P•Q，由（1）得 ,

即：.

（3）由,

当0≤t＜25，t∈N，由二次函数的图象和性质知t=10，或t=11时，y取最大值870元

当25≤t≤30，t∈N，由二次函数的图象和性质知t=25时，y取最大值1125元

综上所述，在第25天，日销售金额有最大值1125元

【点睛】

本题考查的知识点是函数的实际应用，其中根据已知中函数的图象利用待定系数法，求出函数的解析式是解答的关键．

18．（1）420万元； （2）对企业投资108万元，对企业投资392万元时总收益最大，最大收益为432万元.

【解析】

【分析】

（1）根据收益公式计算;

（2）求出函数的表达式，利用换元法把问题转化为二次函数的最值问题.

【详解】

（1）对企业投资300万元，则对企业投资200万元，

∴

（万元）.

（2）设对企业投资万元，则对企业投资为万元.

∵每个企业至少投资50万元，∴，解得.

∴

.

令，则，上式化为

.

∴当时，取最大值，即时，取最大值，最大值为432万元.

综上，对企业投资108万元，对企业投资392万元时总收益最大，最大收益为432万元.

【点睛】

解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.