《用样本估计总体》学案1（三）

2.2用样本估计总体（三）

问题提出

1. 对一个未知总体，我们常用样本的频率分布估计总体的分布，其中表示样本数据的频率分布的基本方法有哪些？

频率分布直方图、频率分布表、频率分布折线图、茎叶图

2. 美国NBA在2006——2007年度赛季中，甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下：

甲运动员得分：12，15，20，25，31，30， 36，36，37，39，44，49.

乙运动员得分：8，13，14，16，23，26， 28，38，39，51，31，39.

如果要求我们根据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发挥得比较稳定，就得有相应的数据作为比较依据，即通过样本数据对总体的数字特征进行研究，用样本的数字特征估计总体的数字特征.

知识探究（一）：众数、中位数和平均数

思考1：以上两组样本数据如何求它们的众数、中位数和平均数？

思考2：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数是什么？

思考3：中位数左右两侧的直方图的面积应有什么关系？

思考4：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，从左至右各个小矩形的面积分别是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此估计总体的中位数是什么？

0.5－0.04－0.08－0.15－0.22=0.01，0.5×0.01÷0.25=0.02，中位数是2.02.

思考5：平均数是频率分布直方图的“重心”，从直方图估计总体在各组数据内的平均数分别为多少？

0.25，0.75，1.25，1.75，2.25，  2.75，3.25，3.75，4.25.

思考6：将频率分布直方图中每个小矩形的 面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加， 就是样本数据的估值平均数.  由此估计总体的平均数是什么？

0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）. 

平均数是2.02.

思考7：从居民月均用水量样本数据可知，该样本的众数是2.3，中位数是2.0，平均数是1.973，这与我们从样本频率分布直方图得出的结论有偏差，你能解释一下原因吗？

频率分布直方图损失了一些样本数据，得到的是一个估计值，且所得估值与数据分组有关.

注: 在只有样本频率分布直方图的情况下，我们可以按上述方法估计众数、中位数和平均数，并由此估计总体特征.

思考8 （1）一组数据的中位数一般不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？

如：样本数据收集有个别差错不影响中位数；大学毕业生凭工资中位数找单位可能收入较低.

（2）样本数据的平均数大于（或小于）中位数说明什么问题？

平均数大于（或小于）中位数，说明样本数据中存在许多较大（或较小）的极端值.

（3）你怎样理解“我们单位的收入水平比别的单位高”这句话的含义？

这句话具有模糊性甚至蒙骗性，其中收入水平是员工工资的某个中心点，它可以是众数、中位数或平均数.

样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息.

    平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大.

当样本数据质量比较差时，使用众数、中位数或平均数描述数据的中心位置，可能与实际情况产生较大的误差，难以反映样本数据的实际状况，因此，我们需要一个统计数字刻画样本数据的离散程度.

知识探究（二）：标准差

思考1：在一次射击选拔赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，每次命中的环数如下：

甲：7  8  7  9  5  4  9  10  7  4

乙：9  5  7  8  7  6  8  6   7  7

甲、乙两人本次射击的平均成绩分别为多少环？

思考2：甲、乙两人射击的平均成绩相等，观察两人成绩的频率分布条形图，你能说明其水平差异在那里吗？

甲的成绩比较分散，极差较大，乙的成绩相对集中，比较稳定.

思考3：对于样本数据x1，x2，…，xn，设想通过各数据到其平均数的平均距离来反映样本数据的分散程度，那么这个平均距离如何计算？

思考4：反映样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差，一般用s表示.假设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，则标准差的计算公式是：

那么标准差的取值范围是什么？标准差为0的样本数据有何特点？

s≥0，标准差为0的样本数据都相等.

思考5：对于一个容量为2的样本：x1，x2(x1<x2)，则在数轴上，这两个统计数据有什么几何意义？由此说明标准差的大小对数据的离散程度有何影响？

标准差越大离散程度越大，数据较分散；

标准差越小离散程度越小，数据较集中在平均数周围.

知识迁移

计算甲、乙两名运动员的射击成绩的标准差，比较其射击水平的稳定性.

甲：7  8  7  9  5  4  9  10  7  4

乙：9  5  7  8  7  6  8  6   7  7

课堂小结

1. 用样本的众数、中位数、平均数和标准差等统计数据，估计总体相应的统计数据.

2. 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.

3. 标准差描述一组数据围绕平均数波动的幅度.在实际应用中，我们常综合样本的多个统计数据，对总体进行估计，为解决问题作出决策.

作业：

《习案》作业二十、作业二十一