高中数学人教版新课标A必修3第三章 概率综合与测试课时练习

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高考真题
1．(2011·新课标全国高考)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )．
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
解析 本小题考查古典概型的计算，考查分析、解决问题的能力．因为两个同学参加兴趣小组的所有的结果是3×3＝9(个)，其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有3个，所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).
答案 A
2．(2011·福建高考)如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自
△ABE内部的概率等于 ( )．
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(2,3)
解析 本题考查了几何概型概率的求法，题目较易，属低档题，重在考查学生的双基．这是一道几何概型的概率问题，点Q取自△ABE内部的概率为eq \f(S△ABE,S矩形ABCD)＝eq \f(\f(1,2)·|AB|·|AD|,|AB|·|AD|)＝eq \f(1,2).故选C.
答案 C
3．(2011·陕西高考)甲、乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ( )．
A.eq \f(1,36) B.eq \f(1,9) C.eq \f(5,36) D.eq \f(1,6)
解析 考查学生的观察问题和解决问题的能力．最后一个景点甲有6种选法，乙有6种选法，共有36种，他们选择相同的景点有6种，所以P＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)，所以选D.
答案 D
4．(2011·江苏高考)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．
解析 本题考查了古典概型问题，古典概型与几何概型两个知识点轮换在高考试卷中出现．从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，共有6种取法，其中1,2；2,4这两种取法使得一个数是另一个数的两倍，由此可得其中一个数是另一个数的两倍的概率是P＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3).
答案 eq \f(1,3)
5．(2010·湖南高考)在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈[0,1]的概率为________．
解析 考查几何概型，求出长度之比即可．[－1,2]的长度为3，[0,1]的长度为1，所以概率是eq \f(1,3).
答案 eq \f(1,3)
6．(2011·北京高考文)以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．(注：方差s2＝eq \f(1,n)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(xn－eq \x\t(x))2]，其中eq \x\t(x)为x1，x2，…，xn的平均数)
解 本题考查概率统计的基础知识和方法，考查运算能力，分析问题、解决问题的能力．
(1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，所以平均数为：eq \x\t(x)＝eq \f(8＋8＋9＋10,4)＝eq \f(35,4)；
方差为：s2＝eq \f(1,4)×[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8－\f(35,4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8－\f(35,4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9－\f(35,4)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(10－\f(35,4)))2]＝eq \f(11,16).
(2)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个：
(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，
(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，
(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，
(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)，
用C表示“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)．故所求概率为P(C)＝eq \f(4,16)＝eq \f(1,4).
7．(2011·山东高考)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
解 (1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：
(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)共9种，从中选出两名教师性别相同的结果有：
(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)共4种，选出的两名教师性别相同的概率为P＝eq \f(4,9).
(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种．
从中选出两名教师来自同一学校的结果有：
(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共6种，
选出的两名教师来自同一学校的概率为P＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
8．(2010·陕西高考)如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人，
∴用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：
(3)A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．
由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，
∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，
P(B2)＞P(B1)，
∴乙应选择L2.
9．(2011·福建高考)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：
(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；
(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2.现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．
解 (1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.
因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝eq \f(3,20)＝0.15，
等级系数为5的恰有2件，所以c＝eq \f(2,20)＝0.1，从而a＝0.35－b－c＝0.1.
所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.
(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}．
记事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个．
又基本事件的总数为10，
故所求的概率P(A)＝eq \f(4,10)＝0.4.
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间(分钟)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
X
1
2
3
4
5
f
a
0.2
0.45
b
c