第13讲 等差数列、等比数列（原卷版）

第13讲 等差数列、等比数列

【题型精讲】

题型一：等差数列、等比数列基本量计算

1．（2021·山西太原·高三期中）已知等差数列的前项和为，且，，则（    ）

A．15 B．23 C．28 D．30

2．（2021·福建·福州四中高三月考）记为等差数列的前项和．若，，则（    ）

A．11 B．9 C．6 D．4

3．（2021·湖北·高三期中）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为（    ）

A．12 B．30

C．45 D．81

4．（2021·贵州贵阳·高三月考（理））等比数列的各项均为正实数，其前项和为.若，，则=（    ）

A．32 B．31 C．64 D．63

5．（2021·贵州省思南中学高三月考（文））我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支．天干有十个，就是甲､乙，丙､丁､戊､己､庚､辛､王､癸，地支有十二个，依次是子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥．古人把它们按照甲子､乙丑､丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子．我国古人用这六十对干支来表示年､月､日､时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法，今年(2021年)是辛丑年，则百年后的2121年是（    ）年．

A．丙午 B．丁巳 C．辛巳 D．辛午

6．（2021·江苏·金陵中学高三开学考试）九连环是一个古老的智力游戏，在多部中国古典数学典籍里都有对其解法的探究，在《九章算术》中古人对其解法的研究记载如下：记解n连环需要的步骤为，，研究发现{an+1}是等比数列，已知，则（    ）

A．127 B．128 C．255 D．256

7．（2021·全国·高三专题练习（文））我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设，，设数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最小值是（    ）

A． B． C． D．

题型二：等差数列、等比数列的性质

1．（2021·全国·高三专题练习（理））等差数列､前项和分别为与，且，则（    ）

A． B． C．1 D．

2．（2021·全国·高三月考（理））已知等差数列满足：，则（   ）

A．3 B．5 C．7 D．10

3．（2021·黑龙江·佳木斯一中高三月考（文））公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·广东荔湾·高三月考）设等差数列的前项和为，若，，则等于（    ）

A．-3 B．-12 C．-21 D．-30

5．（2021·江苏·高三专题练习）已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·吉林·高三开学考试（文））已知正项等比数列中，，则（    ）

A．10 B．9 C．8 D．7

7．（2021·江西·模拟预测（理））在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（    ）

A．25 B． C．5 D．

8．（2021·全国·高三专题练习（文））设等比数列的前项和为，若，，则（    ）

A．66 B．65 C．64 D．63

9．（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则=

A．40 B．60

C．32 D．50

题型三：数列的通项公式

1．（2021·天津市第二十一中学高三期中）已知数列的前项和为，满足．求数列的通项公式；

2．（2021·浙江·高三月考）已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，.求的通项公式；

3．（2021·福建·福清西山学校高三月考）设数列满足.

（1）求和的值.

（2）求数列的通项公式.

4．（2021·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，．求数列，的通项公式.

5．（2021·新疆生产建设兵团第十二师高级中学高三月考（文））已知数列满足，.若数列满足，求证：是等比数列；

6．（2021·广东梅县东山中学高三期中）已知数列中，，.

（1）求证：数列是等比数列；

题型四：数列的综合问题

1．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知数列的前项和为，且满足，则的值为（    ）

A．7 B．126 C．247 D．254

2．（2021·重庆八中高三月考）如图1甲是第七届国际数学家大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.其中已知：，为直角顶点，设这些直角三角形的周长依次从小到大组成的数列为，则（    ）

A．2 B．3 C． D．

3．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数，且，则（    ）

A． B．0 C．100 D．10200

4．（2021·江西南昌·高三开学考试（理））已知数列满足，则的前20项和（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·全国·高三专题练习）定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（    ）．

A． B． C． D．

6．（2021·四川射洪·模拟预测（文））定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【课后精练】

一、单选题

1．（2021·山西省长治市第二中学校高三月考（文））已知数列是等差数列，且满足，则等于（    ）

A．84 B．72 C．75 D．56

2．（2021·新疆喀什·模拟预测）等差数列中，，则的值是（    ）

A．20 B．22 C．24 D．8

3．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（文））已知等差数列的前项和为，若，则（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知为等比数列的前n项和，，，则（    ）．

A．30 B． C． D．30或

5．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（文））已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（    ）

A． B． C．51 D．

6．（2021·黑龙江·高三期中（理））设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则选项不正确的是（    ）

A．数列的最小项为第项 B．

C． D．时，的最大值为

7．（2021·河北·邯郸市肥乡区第一中学高三开学考试）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

8．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）已知“整数对”按如下规律排一列，则第2021个整数对为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2021·湖南·高三月考）等差数列与的前项和分别为与，且，则（    ）

A． B．当时，

C． D．，

10．（2021·江苏如皋·高三月考）已知为等差数列，它的前项和为，若,则下列命题正确的是（    ）

A．公差 B． C． D．取最大值时

11．（2021·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为且满足，，则下列命题中正确的是（    ）

A．是等差数列 B．

C． D．是等比数列

12．（2021·重庆·西南大学附中高三开学考试）“内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后，既没有办法稳定下来，也没有办法转变为新的形态，而只能不断地在内部变得更加复杂的现象，热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线．连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角三角形的面积为，…），则（    ）

A．数列是公比为的等比数列 B．

C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前项和

三、填空题

13．（2021·山西省新绛中学校高三月考（文））已知数列的首项，，对任意的，都有，则___________.

14．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））正项等差数列的前和为，已知，则=__________.

15．（2021·辽宁丹东·高三期中）数列中，若，，则___________.

16．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））若数列满足，，则___________，___________.