第13讲 等差数列、等比数列（解析版）练习题

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题型一：等差数列、等比数列基本量计算
1．（2021·山西太原·高三期中）已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．15B．23C．28D．30
【答案】D
【详解】
由等差数列片段和的性质：成等差数列，
∴，可得，同理可得，
∴，可得.
故选：D
2．（2021·福建·福州四中高三月考）记为等差数列的前项和．若，，则（ ）
A．11B．9C．6D．4
【答案】D
【详解】
设等差数列的公差为，
由，得，
解得，
所以是常数列，故．
故选：D
3．（2021·湖北·高三期中）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为（ ）
A．12B．30
C．45D．81
【答案】C
【详解】
显然公比不为-1，是等比数列，则也成等比数列，
，，
，则，
，则.
故选：C.
4．（2021·贵州贵阳·高三月考（理））等比数列的各项均为正实数，其前项和为.若，，则=（ ）
A．32B．31C．64D．63
【答案】D
【详解】
设的公比为，因为，所以，
由条件得
解得
所以
故选：D．
5．（2021·贵州省思南中学高三月考（文））我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支．天干有十个，就是甲､乙，丙､丁､戊､己､庚､辛､王､癸，地支有十二个，依次是子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥．古人把它们按照甲子､乙丑､丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子．我国古人用这六十对干支来表示年､月､日､时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法，今年(2021年)是辛丑年，则百年后的2121年是（ ）年．
A．丙午B．丁巳C．辛巳D．辛午
【答案】C
【详解】
天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，年是“干支纪年法”中的辛丑年，以年的天干和地支分别为首项，所以，则年的天干为辛；又，则年的地支为巳，故2121年是辛巳.
故选：C．
6．（2021·江苏·金陵中学高三开学考试）九连环是一个古老的智力游戏，在多部中国古典数学典籍里都有对其解法的探究，在《九章算术》中古人对其解法的研究记载如下：记解n连环需要的步骤为，，研究发现{an+1}是等比数列，已知，则（ ）
A．127B．128C．255D．256
【答案】C
【详解】
由题知，，，又{an+1}是等比数列，
则，，{an+1}是以4为首项，2为公比的等比数列，
即，
，
故选：C
7．（2021·全国·高三专题练习（文））我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家）．设，，设数列的前项和为，则使不等式成立的正整数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
，则，故数列是公比为的等比数列，
则，
所以，，
由可得，
，所以，即.
故选：B.
等差、等比数列基本运算的关注点
(1)基本量:在等差(比)数列中,首项和公差(公比)是两个基本元素；
(2)解题思路:①设基本量和（或者）②把条件转化为关于和（或者）的方程(组),然后求解,注意整体计算,减少计算量。
题型二：等差数列、等比数列的性质
1．（2021·全国·高三专题练习（理））等差数列､前项和分别为与，且，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【详解】
因数列､都为等差数列，且，
故设，，
因此，，
由等差中项得，.
故选：A.
2．（2021·全国·高三月考（理））已知等差数列满足：，则（ ）
A．3B．5C．7D．10
【答案】D
【详解】
因为，
所以，
所以，
故选：D
3．（2021·黑龙江·佳木斯一中高三月考（文））公差不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
为等差数列，，由得：，
解得：或；
是等比数列，，又，，.
故选：D.
4．（2021·广东荔湾·高三月考）设等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A．-3B．-12C．-21D．-30
【答案】D
【详解】
由等差数列的性质知：成等差数列，
∴，则，可得.
同理：，即，得.
故选：D
5．（2021·江苏·高三专题练习）已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数，都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
数列{an}，{bn}均为等差数列，由等差数列下标和的性质得
.
故选：B
6．（2021·吉林·高三开学考试（文））已知正项等比数列中，，则（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【详解】
由等比数列性质可知，，
而a2a8+a4a6=8，
所以，
因为lg2a1+lg2a2+…+lg2a9，
所以lg2a1+lg2a2+…+lg2a9= ，
故选：B
7．（2021·江西·模拟预测（理））在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（ ）
A．25B．C．5D．
【答案】B
【详解】
是等比数列，且，
.
又，，
，当且仅当时取等号.
故选：B.
8．（2021·全国·高三专题练习（文））设等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．66B．65C．64D．63
【答案】B
【详解】
解：由题知：，，
，
所以，，成等比数列，即5，15，成等比数列，
所以，解得.
故选：B.
9．（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则=
A．40B．60
C．32D．50
【答案】B
【详解】
由等比数列的性质可知，数列S3，S6−S3，S9−S6，S12−S9是等比数列，即数列4,8，S9−S6，S12−S9是等比数列，因此S12=4＋8＋16＋32=60，选B．
[提分技巧]
(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.
(2)应牢固掌握等差、等比数列的性质,特别是等差数列中若“,则()”这一性质与求和公式的综合应用。
(3)活用函数性质:数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的性质解题。
（4）片段和性质：如果数列是等差数列，则成等差数列；
（5）片段和性质：如果数列是等比数列，则成等比数列；
题型三：数列的通项公式
1．（2021·天津市第二十一中学高三期中）已知数列的前项和为，满足．求数列的通项公式；
【答案】
（1）；
（1）解：在数列中，当时，，即
当时，由
得
所以数列是以为首项，为公比的等比数列
即
2．（2021·浙江·高三月考）已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，.求的通项公式；
【答案】
（1）由，
结合，因此，
由，
得，又，得，
从而是首项为2公差为3的等差数列，
故的通项公式为.
3．（2021·福建·福清西山学校高三月考）设数列满足.
（1）求和的值.
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）；（2）；
【详解】
（1）当时，，当时，，
所以.
（2）由数列满足.
可得，，，，，
相加可得，
所以，
所以数列的通项公式为.
4．（2021·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，数列满足，．求数列，的通项公式.
【答案】；.
【详解】
设数列的公差为，根据题意， ，
所以.
又因为，则n≥2时，，
于是
又满足上式，故而.
5．（2021·新疆生产建设兵团第十二师高级中学高三月考（文））已知数列满足，.若数列满足，求证：是等比数列；
（1）解：因为，所以，又，，所以，即，，所以是以为首项，为公比的等比数列；
6．（2021·广东梅县东山中学高三期中）已知数列中，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（1）解：由，得
∴，
所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列 .
[提分技巧]求数列通项公式的常见类型及方法
(1)归纳猜想法:已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳猜想法
(2)已知与的关系:
利用求
(3)累加法:数列的递推关系形如,其中数列的前项和可求,这种类型的数列求通项公式时,常用累加法
(4)累乘法:数列的递推关系形如,其中数列的前项积可求,此种数列求通项公式时,一般采用累乘法。
(5)构造法:①递推关系形(,）,可化为的形式，利用是以为公比的等比数列求解
②递推关系形如(为非零常数),可化为的形式。
题型四：数列的综合问题
1．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知数列的前项和为，且满足，则的值为（ ）
A．7B．126C．247D．254
【答案】C
【详解】
，当时，，故；
当时，，，相减得到，
数列是首项为，公比为的等比数列，故，验证时成立，故，
，，
.
故选：C.
2．（2021·重庆八中高三月考）如图1甲是第七届国际数学家大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.其中已知：，为直角顶点，设这些直角三角形的周长依次从小到大组成的数列为，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【详解】
由题意，…
以此类推可得，
所以.
故选：A.
3．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数，且，则（ ）
A．B．0C．100D．10200
【答案】A
【详解】
若为偶数，则，，
所以，
所以数列的偶数项是首项为，公差为的等差数列；
若为奇数，则，，
所以，
所以数列的奇数项是首项为，公差为4的等差数列.
所以.
故选：A
4．（2021·江西南昌·高三开学考试（理））已知数列满足，则的前20项和（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】


.
故选：D.
5．（2021·全国·高三专题练习）定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
由已知得，
∴，
当时，，
验证知当时也成立，
∴，
∴，
∴
∴
．
故选：D．
6．（2021·四川射洪·模拟预测（文））定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
因为，所以，
所以在各个区间中的元素个数分别为：，
所以当时，的值域为，集合中元素个数为：
，
所以，
所以，
故选：D.
【课后精练】
一、单选题
1．（2021·山西省长治市第二中学校高三月考（文））已知数列是等差数列，且满足，则等于（ ）
A．84B．72C．75D．56
【答案】C
【详解】
由等差数列的性质，得
，
所以.
故选：C.
2．（2021·新疆喀什·模拟预测）等差数列中，，则的值是（ ）
A．20B．22C．24D．8
【答案】C
【详解】
因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
故选：C.
3．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（文））已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
是等差数列，，解得：．
故选：B．
4．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知为等比数列的前n项和，，，则（ ）．
A．30B．C．D．30或
【答案】A
【详解】
由得，则等比数列的公比，
则得，令，则即，
解得或（舍去），，则．
故选：A．
5．（2021·安徽·淮南第一中学高三月考（文））已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．51D．
【答案】C
【详解】
∵，，，
∴，，解得，，
则．
故选：C．
6．（2021·黑龙江·高三期中（理））设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则选项不正确的是（ ）
A．数列的最小项为第项B．
C．D．时，的最大值为
【答案】D
【详解】
解：由题意，又，所以，故选项正确；
由，且，，，得，解得，选项正确；
由题意当时，，当时，，
所以，，故时，的最大值为10，故选项错误；
由于，数列是递减数列，当时，，当时，；
当时，，当时，，
所以当时，，当时，，当时，，
故数列中最小的项为第6项，选项正确．
故选：．
7．（2021·河北·邯郸市肥乡区第一中学高三开学考试）在等差数列中，，其前项和为，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
数列为等差数列，数列为等差数列，设其公差为，
又，解得：，又，
，.
故选：B.
8．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）已知“整数对”按如下规律排一列，则第2021个整数对为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
将整数对进行重新排列如图：

，，
，，，
，，，，，
，
每一行两个整数的和相等，第行的第一个数为，第行有个整数对，
则前行的整数对共有，
当时，，
当时，，
则第2021个整数对位于第64行的第5个数为，
故选：C.
二、多选题
9．（2021·湖南·高三月考）等差数列与的前项和分别为与，且，则（ ）
A．B．当时，
C．D．，
【答案】AB
【详解】
由，知：，即，故A正确.
同理可得：，故C错误.
当，有，则，易得，故B正确.
当，有，则，则不存在，使，故D错误.
故选：AB
10．（2021·江苏如皋·高三月考）已知为等差数列，它的前项和为，若,则下列命题正确的是（ ）
A．公差B．C．D．取最大值时
【答案】BCD
【详解】
，故，C正确；
，故，B正确；
故公差，A错误；
，，公差，故是的最大值，D正确.
故选：BCD.
11．（2021·全国·高三专题练习）已知数列的前项和为且满足，，则下列命题中正确的是（ ）
A．是等差数列B．
C．D．是等比数列
【答案】ABD
【详解】
因为，，
所以，所以，
所以是公差为3的等差数列，A正确；
因为，
所以，，B正确；
时，由，
得，但不满足此式，因此C错误；
由得，
所以是等比数列，D正确．
故选：ABD．
12．（2021·重庆·西南大学附中高三开学考试）“内卷”是指一类文化模式达到最终的形态以后，既没有办法稳定下来，也没有办法转变为新的形态，而只能不断地在内部变得更加复杂的现象，热爱数学的小明由此想到了数学中的螺旋线．连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，具体作法是：在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…），第个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角三角形的面积为，…），则（ ）
A．数列是公比为的等比数列B．
C．数列是公比为的等比数列D．数列的前项和
【答案】BD
【详解】
由题设，，若，则，即，
∴，即，，故，B正确；
∴，以此类推可得，
∴是公比为的等比数列且，A、C错误；
由图知：，而，
∴，故，D正确.
故选：BD
三、填空题
13．（2021·山西省新绛中学校高三月考（文））已知数列的首项，，对任意的，都有，则___________.
【答案】41
解：因为对任意的，都有，
所以对任意的，都有，
所以数列是等差数列，
因为，，所以.
所以.
故答案为：41
14．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））正项等差数列的前和为，已知，则=__________.
【答案】45
【详解】
解：由等差数列可得，
又，则，解得或，
又因为，所以，
所以.
故答案为：45.
15．（2021·辽宁丹东·高三期中）数列中，若，，则___________.
【答案】
【详解】
解：因为，所以，所以，，，，，累乘可得
即，因为，所以，所以
故答案为：
16．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））若数列满足，，则___________，___________.
【答案】
【详解】
因为，，
所以，解得，
又因为，所以，
又因为，所以；
所以，
，
.
故答案为：，