第7讲 解决极值点偏移问题的四大技巧（解析版）

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第7讲  解决极值点偏移问题的四大技巧【题型精讲】题型一：构造对称和（或差）1．（2021·山西·太原五中高三月考（理））设函数．（1）当有极值时，若存在，使得成立，求实数的取值范围；（2）当时，若在定义域内存在两实数满足且，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）定义域为，，当时，，即在上单调递增，不合题意，；令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，；存在，使得成立，则，即，又，，即，令，则，在上单调递增，又，，即实数的取值范围为.（2）当时，，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，由且知：；令，，则，在上单调递增，，即；，又，；，，又且在上单调递减，，即.2．（2021·北京·临川学校高三期末）已知函数．（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【详解】解：（1）易知的定义域为，由题意知，即在上恒成立，．令，则．当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，有最小值，所以；（2）因为，由知，，设则，且在上单调递增，在上单调递减，所以可令，，．令，．则因为，所以，所以上在单调递减，且，所以时，．又，所以所以．所以．因为，，且在上单调递增，所以，．3．（2021·全国全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）求函数的单调区间和极值；（2）设方程的两个根分别为，，求证：.【答案】（1）的单调递增区间为，；单调递减区间为，极大值为，极小值为；（2）证明见解析.【详解】（1）由题意得：，令，解得：，，当时，；当时，；的单调递增区间为，；单调递减区间为；的极大值为；极小值为；（2）当时，，令，解得：，当时，方程的两个根在区间内.设函数，则，.令，，则，在上为增函数，又，则当时，；当时，；当时，，当时，，当时，，在上单调递减.不妨设，在上单调递减，在上单调递增，，，，又，，，，由（1）知：在上单调递增，，.题型二：比值代换法1．（2021·全国·高三月考）已知函数（1）若，(为的导函数)，求函数在区间上的最大值；（2）若函数有两个极值点，求证：【答案】（1）当时，；当时，；当时，；（2）证明见解析．【详解】（1）因为，，①当时，因为，所以，所以函数在上单调递增，则；②当，即时，，，所以函数在上单调递增，则；，③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则；④当，即时，，，函数在上单调递减，则．综上，当时，；当时，；当时，.（2）要证，只需证：，若有两个极值点，即函数有两个零点，又，所以是方程的两个不同实根，即，解得，另一方面，由，得，从而可得，于是．不妨设，设，则．因此，．要证，即证：，即当时，有，设函数，则，所以为上的增函数．注意到，，因此，．于是，当时，有．所以成立，．2．（2021·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点，.（1）求的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】(1)有两个零点有两个相异实根．令，则
由得：，由得：，在单调递增，在单调递减，
，又，当时，，当时，
当时，，有两个零点时，实数a的取值范围为．（2）不妨设,由题意得, ，,，要证：，只需证.
，
令，，只需证
，只需证：.令,，在递增，成立.
综上所述，成立．3．（2021·安徽·毛坦厂中学高三月考（理））已知函数（）.（1）若，求函数在处的切线；（2）若有两个零点，，求实数的取值范围，并证明：.【答案】（1）；（2），证明见解析.【详解】（1）的导数为，则函数在处的切线斜率为，又切点为，则切线的方程为，即；（2）设函数，与函数具有相同的零点，，知函数在上递减，上递增，当，；可证当时，，即，即此时，当时，，有两个零点，只需（1），即；证明：方法一：设函数，则，且对恒成立即当时，单调递减，此时，（1），即当时，，由已知，则，则有由于函数在上递增，即，即．方法二：故．设，则，且，解得，，要证：，即证明，即证明，设，，令，，则，在上单调增，（1），在上单调增，则（1）．即时，成立，题型三：消参减元1．（2021·湖南师大附中高三月考）已知函数．（1）若恒成立，求实数的取值范围．（2）若函数的两个零点为，，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析.【详解】（1）解：因为恒成立，所以，即恒成立．令，则，易知在上单调递增，且．所以当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故．（2）证明：由题意可知方程的两根为，．令，则的两个零点为，．．当时，，在上单调递增，不存在两个零点；当时，在上单调递增，在上单调递减，则，得．设，则，．因为，所以，．要证，即要证，即证．令，．则，所以在上单调递减，所以．因为，所以．因为，，且在上单调递减，所以，即，故成立．2．（2021·浙江·模拟预测）已知函数.（1）设函数，且恒成立，求实数的取值范围；（2）求证：；（3）设函数的两个零点、，求证：.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析（1）解：由可得，可得，令，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，所以，；（2）解：要证，即证，由（1）可知，，当且仅当时，等号成立，令，其中，则，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，因为和取等的条件不同，故，即；（3）解：由题知①，②，①②得③，②①得④.③④得，不妨设，记.令，则，所以在上单调递增，所以，则，即，所以.因为，所以，即.令，，则在上单调递增.又，所以，即，所以.3．（2021·全国·高二单元测试）已知函数，.（1）求函数的增区间；（2）设，是函数的两个极值点，且，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）由题意得().令，则.①当，即时，在上恒成立，即的增区间为；②当，即时，或，即的增区间为和.综上，当时，的增区间为；当时，的增区间为和.（2）因为()，有两个极值点，，所以，是方程的两个不相等的正实数根，可求出从而，，解得.由得.因为，所以且.令，且，则，所以当时，，从而单调递增；当时，，从而单调递减，于是().要证，只要证，只要证明.因为，所以只要证.令则.因为，所以，即在上单调递增，所以，即，所以，即.【课后精练】1．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））已知函数（其中为自然对数的底数，为常数）．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当函数有极大值，且极大值为时，若方程（m为常数）有两个不等实根则.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）解：由题意可得.①当时，在上恒成立，∴函数在上单调递减；②当时，令，令，∴函数在上单调递增，在上单调递减；综上所述：当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.；（2）证明：由（1）可知，当时，函数有极大值，且，解得，∴（其中），则，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.不妨设，则，当时，则.令，则，∴在上单调递减，于是，即，当时，，又，∴，又，且在上单调递减，，即．2．（2021·重庆市开州中学高三月考）设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若在定义域内存在两实数，满足且，证明：.【答案】(1)函数的单调性见解析；(2)证明见解析.【详解】(1)依题意，函数定义域为，，当时，，在上单调递增，当时，由得，当时，，当时，，于是得在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；(2)当时，，由(1)知在上单调递增，在上单调递减，因实数，满足且，于是得，当时，令，，即在上单调递增，，，即，而，于是得，显然，又在上单调递减，因此，，即，所以.3．（2021·江苏·周市高级中学高三开学考试）已知函数，．（1）求函数的单调区间；（2）若，且，证明：．【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）证明见解析．【详解】（1），，由得，当时，；当时，∴在上单调递增，在上单调递减．（2）∵，且，∴由（1）知，不妨设．要证，只需证明，而，在上单调递减，故只需证明．又，∴只需证明．令函数，则.当时，，，故，∴在上单调递增，故在上，∴成立，故成立．4．（2021·全国·高二课时练习）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.【详解】（1）函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为.（2）因为，故，即，故，设，由（1）可知不妨设.因为时，，时，，故.先证：，若，必成立.若， 要证：，即证，而，故即证，即证：，其中.设，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.设，则，结合，可得：，即：，故，要证：，即证，即证，即证：，即证：，令，则，先证明一个不等式：.设，则，当时，；当时，，故在上为增函数，在上为减函数，故，故成立由上述不等式可得当时，，故恒成立，故在上为减函数，故，故成立，即成立.综上所述，5．（2021·新疆·克拉玛依市第一中学高二月考）已知定义在上的函数．（1）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；（2）若，，，为的极小值，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【详解】（1）由得：．为上的增函数，在上恒成立，即，令，则，在上单调递减，，即，，即实数的取值范围为.（2）当时，，则，，在上单调递增，又，，，使得，且当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，则为的极小值.设，，，，设，，．，，又，，在上单调递增，，，在上单调递增，，，，，又在上单调递减，，即.6．（2021·全国·高三专题练习）已知函数．（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求函数在最大值；（2）当时，设函数的两个零点为，试证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析．【详解】（1）函数的定义域为，，在处的切线与直线垂直，，由（负值舍去），所以函数在上单调递增，在单调递减，故有最大值．（2）当时，．函数在单调递增，在单调递减．且，故函数的两个零点为满足，令，在（0，1）恒成立，∴F(x)在（0，1）递增，在（0，1）恒成立，∴，又，∴，∵，又在单调递减，∴，即．7．（2021·四川·川大附中高二期中）已知函数.（1）若在定义域上不单调，求的取值范围；（2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【详解】分析：（1）利用导数法求出函数 单调递增或单调递减时，参数 的取值范围为，则可知函数 在定义域上不单调时， 的取值范围为  ；（2）易知 ，设 的两个根为 ，并表示出，则，令，则，再利用导数法求的取值范围.  详解：由已知，（1）①若在定义域上单调递增，则，即在上恒成立，而，所以；②若在定义域上单调递减，则，即在上恒成立，而，所以.因为在定义域上不单调，所以，即.（2）由（1）知，欲使在有极大值和极小值，必须.又，所以.令的两根分别为，，即的两根分别为，，于是.不妨设，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以.令，于是，，由，得，又，所以.因为，所以在上为减函数，所以.8．（2021·江苏·吴江中学高二月考）已知函数.（1）求函数的极值；（2）若函数有两个零点，且，证明：.【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析.【详解】（1）函数的定义域为，.当时，，在上是减函数，所以在上无极值；当时，若，，在上是减函数.当，，在上是增函数，故当时，在上的极小值为，无极大值.（2）当时，，由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点，又，为函数零点，所以，要证，只需证.∵ ，又∵，∴，令，则，∴在上是增函数，∴，∴，∴，即得证.