第10讲 三角恒等变换、解三角形（解析版）练习题

第10讲  三角恒等变换、解三角形

【题型精讲】

题型一:三角恒等变换

1．（2021·福建宁德·高三期中）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为，所以由，

，

故选：A

2．（2021·全国·高三月考（文））已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

解：

故选：B

3．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：∵，

∴，

∵，∴，

则，

∴，

故选：B.

题型二：利用正余弦定理解三角形

1．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知中，角所对的边分别为，若，则的面积为（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】B

【详解】

由余弦定理得：，

又因为，

，

又，

所以，

所以，

故选：B

2．（2021·河南·高三月考（文））在锐角中，角的对边分别为，若则的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

在中，由及正弦定理得：

，，

于是得

因为为锐角三角形，则有，即，解得，有，则，

所以的取值范围为．

故选：A

3．（2021·江苏省苏州第十中学校高三月考）中，为边的中点，，，，则的面积为___________.

【答案】

【详解】

不妨设

在和中，由余弦定理

由于

故，代入长度可得

在中，由余弦定理

，又

由面积公式，

故答案为：

4．（2021·全国·高三专题练习）在平面四边形中，角，，则的取值范围是__________．

【答案】．

【详解】

如图1，延长，，相交于点E．由图易知将边向上或向下平行移动，条件，并不改变．

所以当点D趋近于点C时，最小当点D趋近于点E时，最大．

因此问题转化为在中求的值，以及在三角形中求的值．

在中，,所以,

由余弦定理易求得：

在中，

,所以,

由正弦定理易求得：

,即，

所以

所以的取值范围是．

故答案为：．

题型三：正余弦定理的实际应用

1．（2021·湖北·高三月考）如图，在凸四边形ABCD中，，，若，则四边形ABCD面积的最大值为________．

【答案】

【详解】

如图连接AC，设∠ADC，由，，，

可知，

∴四边形ABCD面积：

，其中，当时，.

故答案为：.

2．（2021·河南·高三月考（文））如图所示，公园直立的路灯杆BC正前方有棵挺拔的小树NH，在路灯杆前的点A（BC，NH，点A在同一平面内）处测得路灯顶点B处和小树顶点N处的仰角分别为45°和30°.再朝小树正前方行走到点M，此时M，N，B三点在同一条直线上.在点M处测得MH=1m，小树顶点N处的仰角为60°，则路灯杆BC的长为___________m.

【答案】##

【详解】

设，在中，有，，

所以，

在中，有，，则，

所以，

由题意可知，可得，

即，解得，

所以.

故答案为：.

3．（2021·全国·高三月考（文））如图，设的内角，，所对的边分别为，，，若，，是外一点，，，则四边形面积的最大值是___________.

【答案】

【详解】

在中，由余弦定理可得，

即，所以，

因为，所以为等边三角形，

在中，由余弦定理可得，

由于，，代入上式可得，

所以

，

所以当即时，最大为，

四边形面积的最大值为，

故答案为：.

4．（2021·安徽省舒城中学三模（理））如图，某湖有一半径为的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且，．定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”，设．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________．

【答案】

【详解】

在中，，

，，

，

，则（其中），当时，取最大值，所以“直接监测覆盖区域”面积的最大值.

故答案为：.

【课后精练】

一、单选题

1．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则图2中菱形的一个锐角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意知，大正方形的面积为25，其边长为5，小正方形的面积为1，其边长为1，

每个直角三角形的面积为，

设图1中一个直角三角形的短直角边长为m，则另一条直角边长m+1，

有，解得，

设直角三角形中短边对的角为，则，所以，

即图2中菱形的一个锐角的余弦值为.

故选：A

2．（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（文））已知函数．若关于x的方程在上有解，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

,

当时，，所以，

故的值域为，

因为在上有解即在上有解，

故即，

故选：C.

3．（2021·全国·高三专题练习）1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角），这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔，塔高，山高，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

由米勒问题的解答可知，此人应站在离塔水平距离为处观察，

设此时视角为，塔底离地面高度为，塔顶离地面高度为，

则，则，

故.

故选：B

4．（2021·辽宁·高三月考）人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得=（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

在中，，

由正弦定理得，即，

由倍角公式得，，

解得，

，

故选：A

5．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为，所以，

又因为，，

所以

，

所以.

故选：D

6．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考（理））已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

解：因为，所以，即，，所以

故选：A

7．（2021·北京市第十三中学高三期中）从长度分别为的根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（    ）

A．可能是锐角 B．一定是直角 C．可能大于 D．一定小于

【答案】D

【详解】

解：从长度分别为的根细木棒中选择三根有，，，，，，，，，共10种取法，其中能够围成三角形的有，，，

若三边为，设最大角为，则，故最大角为钝角，即；

若三边为，设最大角为，则，故最大角为钝角即；

若三边为，设最大角为，则，故最大角为直角，即；

故最大内角一定小于；

故选：D

8．（2021·陕西渭南·高三月考（理））在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则最小内角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：因为，所以则，

可知的最小内角为角A，

所以，

又，所以.

故选：D.

9．（2021·河南·高三月考（理））已知锐角三角形的三边长分别为2，5，，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

因2，5，是三角形的三边，则且，解得，

设这个三角形中长为5，m的边所对角分别为，显然长为2的边所对角必为锐角，

而这个三角形为锐角三角形，则由余弦定理得：，且，

即且，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：B

10．（2021·福建·莆田第二十五中学高三月考）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若莱洛三角形的周长为2π ，则其面积是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】

由已知得：，则，故扇形的面积为，

法1：弓形的面积为，

∴所求面积为．

法2： 扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，

∴所求面积为．

故选：D

11．（2021·全国·高三专题练习）旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断，因其惊险刺激的体验备受追捧．某景区顺应趋势，为扩大营收，准备在如图所示的山峰和山峰间建一座空中玻璃观景桥．已知两座山峰的高度都是，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则两座山峰之间的距离（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由题意可知：，

，，

由余弦定理得

故选：C

12．（2021·辽宁·模拟预测）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

康威圆的圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，

所以其康威圆半径为，故面积为．

故选:C.

二、填空题

13．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）若，则__________．

【答案】

【详解】

解：由得，

整理得，即，

故答案为：

14．（2021·广西桂林·高三月考（文））下面有四个命题：①函数的最小正周期是.②函数的图象关于直线对称；③在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有三个公共点.④把函数的图象向右平移得到的图象.其中真命题的序号是___________（写出所有真命题的编号）

【答案】①②④

【详解】

解：函数的最小正周期是π，故①正确；
对于函数，则，故②正确；
在同一坐标系中，函数的图象和函数的图象有一个公共点，故③错误；

把函数的图象向右平移得到的图象，故④正确．
故答案为：①②④．

15．（2021·广东茂名·高三月考）某学生在劳动技术课活动中设计了如图所示的几何图形，其中为半圆的圆心，则该图形的面积为_________.

【答案】

【详解】

由图可知，该平面图形由两个半径分别为1与2的半圆，一个两边长分别为2，4且夹角为的三角形三部分组成，所以.

故答案为：．

16．（2021·全国·高三专题练习）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点之一.其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为米，在它们之间的地面上的点（、、三点共线）处测得楼顶．教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为______米．

【答案】

【详解】

在直线三角形中，，

即，解得米，

在中，，，，

则，即，解得米，

在直角三角形中，，即，解得米，

故索菲亚教堂的高度为米，

故答案为：.