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第10讲 三角恒等变换、解三角形(原卷版)
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第10讲 三角恒等变换、解三角形【题型精讲】题型一:三角恒等变换1.(2021·福建宁德·高三期中)已知,则( )A. B. C. D.2.(2021·全国·高三月考(文))已知,则( )A. B.C. D.3.(2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中(文))已知,且,则( )A. B. C. D.题型二:利用正余弦定理解三角形1.(2021·云南大理·模拟预测(理))已知中,角所对的边分别为,若,则的面积为( )A. B. C.1 D.2.(2021·河南·高三月考(文))在锐角中,角的对边分别为,若则的取值范围为( )A. B.C. D.3.(2021·江苏省苏州第十中学校高三月考)中,为边的中点,,,,则的面积为___________.4.(2021·全国·高三专题练习)在平面四边形中,角,,则的取值范围是__________.题型三:正余弦定理的实际应用1.(2021·湖北·高三月考)如图,在凸四边形ABCD中,,,若,则四边形ABCD面积的最大值为________.2.(2021·河南·高三月考(文))如图所示,公园直立的路灯杆BC正前方有棵挺拔的小树NH,在路灯杆前的点A(BC,NH,点A在同一平面内)处测得路灯顶点B处和小树顶点N处的仰角分别为45°和30°.再朝小树正前方行走到点M,此时M,N,B三点在同一条直线上.在点M处测得MH=1m,小树顶点N处的仰角为60°,则路灯杆BC的长为___________m.3.(2021·全国·高三月考(文))如图,设的内角,,所对的边分别为,,,若,,是外一点,,,则四边形面积的最大值是___________.4.(2021·安徽省舒城中学三模(理))如图,某湖有一半径为的半圆形岸边,现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计),在其正东方向相距的点A处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确,在半圆弧上的点B以及湖中的点C处,再分别安装一套监测设备,且,.定义:四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”,设.则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________. 【课后精练】一、单选题1.(2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测(理))中国古代数学家赵爽设计的弦图(如图1)是由四个全等的直角三角形拼成,四个全等的直角三角形也可拼成图2所示的菱形,已知弦图中,大正方形的面积为25,小正方形的面积为1,则图2中菱形的一个锐角的余弦值为( )A. B. C. D.2.(2021·甘肃·静宁县第一中学二模(文))已知函数.若关于x的方程在上有解,则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.3.(2021·全国·高三专题练习)1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题:在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长(即视角最大,视角是指由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角),这个问题被称为米勒问题,诺德尔教授给出解答,以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心,悬杆两端点到地面的距离的积的算术平方根为半径在地面上作圆,则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山上的铁塔,塔高,山高,此人站在对塔“最大视角”(忽略人身高)的水平地面位置观察此塔,则此时“最大视角”的正弦值为( )A. B.C. D.4.(2021·辽宁·高三月考)人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形,因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比,我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的,如图,三角形ABC就是一个黄金三角形,根据以上信息,可得=( )A. B. C. D.5.(2021·重庆市第七中学校高三月考)已知,则( )A. B. C. D.6.(2021·黑龙江·哈尔滨三中高三月考(理))已知,则( )A. B. C. D.7.(2021·北京市第十三中学高三期中)从长度分别为的根细木棒中选择三根围成一个三角形,则最大内角( )A.可能是锐角 B.一定是直角 C.可能大于 D.一定小于8.(2021·陕西渭南·高三月考(理))在中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,则最小内角的正弦值为( )A. B. C. D.9.(2021·河南·高三月考(理))已知锐角三角形的三边长分别为2,5,,则实数的取值范围是( )A. B.C. D.10.(2021·福建·莆田第二十五中学高三月考)数学中处处存在着美,机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法∶先画等边三角形ABC ,再分别以点A,B,C为圆心,线段AB长为半径画圆弧,便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π ,则其面积是( )A. B.C. D.11.(2021·全国·高三专题练习)旅游区的玻璃栈道、玻璃桥、玻璃景观台等近年来热搜不断,因其惊险刺激的体验备受追捧.某景区顺应趋势,为扩大营收,准备在如图所示的山峰和山峰间建一座空中玻璃观景桥.已知两座山峰的高度都是,从点测得点的仰角,点的仰角以及,则两座山峰之间的距离( )A. B. C. D.12.(2021·辽宁·模拟预测)英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的,其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一.定理的内容是:三角形ABC的三条边长分别为a,b,c,分别延长三边两端,使其距离等于对边的长度,如图所示,所得六点仍在一个圆上,这个圆被称为康威圆.现有一边长为2的正三角形,则该三角形生成的康威圆的面积是( )A. B. C. D.二、填空题13.(2021·广东·湛江二十一中高三月考)若,则__________.14.(2021·广西桂林·高三月考(文))下面有四个命题:①函数的最小正周期是.②函数的图象关于直线对称;③在同一坐标系中,函数的图象和函数的图象有三个公共点.④把函数的图象向右平移得到的图象.其中真命题的序号是___________(写出所有真命题的编号)15.(2021·广东茂名·高三月考)某学生在劳动技术课活动中设计了如图所示的几何图形,其中为半圆的圆心,则该图形的面积为_________.16.(2021·全国·高三专题练习)圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省,是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂,距今已有年的历史,为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准,被列为第四批全国重点文物保护单位,是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点之一.其中央主体建筑集球,圆柱,棱柱于一体,极具对称之美,可以让游客从任何角度都能领略它的美,小明同学为了估算索菲亚教堂的高度,在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物,高为米,在它们之间的地面上的点(、、三点共线)处测得楼顶.教堂顶的仰角分别是和,在楼顶处测得塔顶的仰角为,则小明估算索菲亚教堂的高度为______米.
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