第3讲 利用导数研究函数的性质（解析版）练习题

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第3讲 利用导数研究函数的性质
【题型精讲】
题型一：导数的几何意义
1．（2021·陕西·西安中学高三期中）若函数存在平行于轴的切线，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为函数存在平行于轴的切线，
所以在上有解，即在上有解，
因为，
所以，
故选：C.
2．（2021·河南驻马店·模拟预测（文））已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：∵的导数为，
∴．∵，∴曲线在点处的切线方程为，即．
故选：C．
3．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
，.
设，则曲线在点P处的切线的斜率为，
.
，

故选：D
4．（2021·全国·高三专题练习）点P在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
，即，又，所以，
故选：D.
5．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三月考（理））函数存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意，函数的定义域，且，
因为函数存在与直线平行的切线，
即有解，即在有解，
因为，可得，则，可得，
所以，即实数的取值范围是.
故选：C.
6．（2021·全国·高三专题练习）若函数在点处的切线方程为，则函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
将代入得到，所以切点为.
因为，
所以，
所以，
当时，，为增函数.
所以函数的增区间为.
故选：C
题型二：利用导数研究函数的单调性
1、与函数的单调区间有关的问题
1．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高三月考（理））函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
函数的定义域为，
，令，解得，
因此，函数的单调递增区间是.
故选：D.
2．（2021·河南·高三月考（文））若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由题设，，由存在递减区间，即存在使，
∴，可得或.
故选：B
3．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数在单调递增的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题得，
函数在区间单调递增，
在区间上恒成立．
，
而在区间上单调递减，
．
选项中只有是的必要不充分条件. 选项AC是的充分不必要条件，选项B是充要条件.
故选：D
4．（2021·西藏·拉萨中学高三月考（文））函数是上的单调函数，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立
，解得
故选：D
5．（2021·全国·高三月考（理））若的单调减区间是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题意，函数，可得，
令，可得，
因为的单调减区间是，可得，解得．
故选：A.
6．（2021·全国·高三月考（文））函数在上单调递减则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，∵在上单调递减，
∴在上恒成立，由二次函数的图象可知，即．
故选：B
7．（2021·宁夏·中宁一中高三月考（理））若在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题知，，.
若在上是减函数，则在上恒成立，
由得，，
当时，，
所以.
故选：C.
8．（2021·江西宜春·模拟预测（文））“”是“函数在 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
若在 上单调递增，则对任意的 恒成立，
∴有对任意的恒成立，即 ，而当且仅当 时等号成立，则.
∴“”是“函数在 上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A．
9．（2021·浙江·高三专题练习）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由知，，
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
即，则在上恒成立，
令，
因为在上恒成立，
所以在上单调递减，则，
所以.
故选:C.
10．（2021·重庆市清华中学校高三月考）函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：的定义域是，
，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
若函数在区间上单调递减，
则且且，解得：，
故选：．
2、构造函数比较大小或解不等式
1．（2021·山西大附中高三月考（理））已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：令函数，因为定义域为的是奇函数，所以函数为偶函数；
，当时，因为，所以，所以，即，所以在上为减函数，
，
因为，
所以，
即.
故选：B
2．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知定义在上的函数满足且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设，则，
因为，所以，所以是上的增函数，
，不等式即为，即，
所以，
故选：D．
3．（2021·陕西渭南·高三月考（理））已知定义在上的奇函数的导函数为，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
因为，所以
，
令，，则，
所以单调递增，
所以，
所以为奇函数，，
所以，即，
所以A，C错误；
因为，所以，又因为为奇函数，所以，所以B正确；
因为，所以．又因为为奇函数，所以，所以D错误．
故选：B
4．（2021·内蒙古宁城·高三月考（文））已知函数对任意的满足（其中为函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：令，
故，
故在递增，所以，可得，即，所以D正确；
故选：D．
5．（2021·云南·昆明一中高三月考（理））已知定义在上的函数的导函数为，，则下列不等关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设，则，
又，，所以，
所以在上单调递减，由可得，故A错；
由可得，即，故B错；
由可得，即，故C错；
因为，所以，得，故D正确.
故选：D
6．（2021·四川·成都外国语学校高三月考（文））设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
构造函数，则，
因为，所以，故，
因此在上单调递增，
所以对于任意的正数，有，即，即，
又因为，所以，结合选项可知B正确，
故选：B
7．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（文））定义在上的函数，其导函数为，若恒有，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
令，则
因为，因为所以
得
所以在上单调递减，
故，所以，有
故选：D
8．（2021·江苏·苏州中学高三月考）已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：设，由为奇函数，可得，
故为上的奇函数，当时，，
，单调递增，
根据奇函数的对称性可知，在上单调递增，
则不等式可转化为，
即，
即，即．
故选：A
9．（2021·河南省信阳市第二高级中学高三月考（理））已知定义在上的函数满足：对任意恒成立，其中为的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
设，则，
因为对任意，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
又等价于，即，
因为在上单调递增，所以
解得，所以原不等式的解集是.
故选：D.
10．（2021·新疆喀什·模拟预测）定义在上的偶函数存在导数，且当时，有恒成立，若，则实数的取值范围是（ ）
A．， B．
C． D．，，
【答案】D
【详解】
解：是上的偶函数，
令，则，
为偶函数，
当时，，
在上单调递增，①
，
，
，
即，
由①得，展开得，
解得，或，
故选：D．
题型三：利用导数研究函数的极值、最值
1．（2021·河南·高三月考（理））函数的极大值为（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【详解】
函数的定义域为R，
则，
令，解得，，
当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得极大值．
故选：B
2．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数在处取得极小值，若，，使得，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【详解】
解：函数在处取得极小值
所以，即
解得：，

由得：
当和时，，即单调递增
当时，，即单调递减
所以的极大值为，极小值为
由得：或
由得：或
若，，使得，且，
则
故选：C.
3．（2021·山西太原·高三期中）若是函数的极值点，则函数（ ）
A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值
C．有最小值，最大值 D．无最大值，无最小值
【答案】A
【详解】
由题设，且，
∴，可得.
∴且，
当时，递减；当时，递增；
∴有极小值，无极大值.
综上，有最小值，无最大值.
故选：A
4．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高三月考（文））如图是函数的大致图象，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由图示可知：经过（0，0）、（1，0）、（2，0），
所以有：，即，解得：，
所以，.
由图示可知是的极值点，所以是的两根.
所以.
故选：C
5．（2021·全国·高三月考（理））已知函数若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为成立，故原命题即对任意的成立，
此时，
由得且，
当时，，当且仅当时等号成立，故；
当时，记，则在上为增函数，
且，故，即，
综合所述，a的取值范围为.
故选：A
6．（2021·湖北·高三月考）已知函数，若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由得，
∴当或时，，当时，，
故是 函数的极大值点，
令，即，
∴，或，又函数在区间上有最大值，
∴，
解得.
故选：A.
7．（2021·江苏·泰州中学高三月考）已知函数，若存在实数，满足，且，则的最大值为（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】A
【详解】
当时，，当时，，则，
令，则，，设，，
，即在上单调递增，，
所以的最大值为.
故选：A
8．（2021·浙江·高三月考）已知，函数的最小值为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：由题意得：


令，其最小值为
再令，则
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增.
故时，
故的最小值为.
故选：B
9．（2021·重庆市第七中学校高三月考）“当时，不等式恒成立”的一个必要不充分条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
当时，不等式恒成立，
当时，不等式恒成立，等价于，
当时，不等式恒成立，等价于，
令，
，令，
则， ，
可知函数在上递增，在上递减，
所以当，即时，当时，，即，所以，
当时，即时，函数在递减，在上递增，所以当时，，所以，
综上，当时，不等式恒成立的充要条件为，
所以是“当时，不等式恒成立”的一个必要不充分条件，
故选：B
10．（2021·北京·潞河中学高三月考）若函数在上的最大值为2，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
当时，，则．
当时，；当时，．
所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即．
当时，函数在上单调递增，由题意可知，，
得，解得，此时，；
当时，且当时，合乎题意；
当时，函数在上单调递减，此时，，合乎题意．
综上所述，实数的取值范围是，
故选：D
【题型精练】
一、单选题
1．（2021·北京交通大学附属中学高三开学考试）已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：∵是定义在上的偶函数，当时，，
∴为增函数，为偶函数，为奇函数，
∴在上为增函数，
∵，
若，，所以；
若，，在上为增函数，可得，
综上得，不等式的解集是.
故选：C.
2．（2021·河南·高三月考（文））函数的极大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由可得，
由可得：或，
由可得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
所以时，取得极大值为，
故选：B.
3．（2021·全国·高三月考（文））函数在上单调递减则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，∵在上单调递减，
∴在上恒成立，由二次函数的图象可知，即．
故选：B
4．（2021·北京·潞河中学高三月考）函数在单调递增的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由题得，
函数在区间单调递增，
在区间上恒成立．
，
而在区间上单调递减，
．
选项中只有是的必要不充分条件. 选项AC是的充分不必要条件，选项B是充要条件.
故选：D
5．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学模拟预测（文））已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
,
因为有两个极值点，故有两个变号零点，
故在上有两个不同的解，故，
所以，
故选：D.
6．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数（其中是自然对数的底数），若，，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
函数是偶函数，，当，
即函数在上单调递减，上单调递增，
因为，，所以，则，，
即．
故选：B．
7．（2021·陕西·泾阳县教育局教学研究室高三期中（文））已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
设，则
所以在上单调递减，又
由，即，所以
所以
故选：A
8．（2021·广东深圳·高三月考）已知函数若函数有三个零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
要使函数有三个解，则与有三个交点，
当时，，则，可得在上递减，在递增，
∴时，有最小值，且时，；
当时，；当时，；
当时，单调递增；
∴图象如下，要使函数有三个零点，则，
故选：D．


二、多选题
9．（2021·湖北·高三月考）已知函数．则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．当时，直线与函数的图象相切
C．若函数在区间上单调递增，则
D．若在区间上恒成立，则
【答案】ABD
【详解】
解：对于A：当时，，则，令，得，
所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
所以，所以，故A正确；
对于B：当时，，则，
设切点为，则过切点的切线方程为：，因为切线过原点，
所以，解得，此时，所以直线与函数的图像相切，故B正确；
对于C：由函数得，
因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
令，则，又令，所以，，函数单调递减，
所以，所以，故C不正确；
对于D：在区间上恒成立，等价于在区间上恒成立，
当时，不等式恒成立；
当时，恒成立，令，则，令，得，
因为，，函数单调递减，
所以，所以，故D正确；
故选：ABD.
10．（2021·辽宁沈阳·高三月考）已知函数(其中是自然对数的底数)，函数有三个零点，则（ ）
A．实数的取值范围为
B．实数的取值范围为
C．的取值范围为
D．的取值范围为
【答案】AC
【详解】
由图可知，则方程，即有两个正实数解，
所以解得；
由图可知，所以，且
因为，则，所以.
设，则，
所以，即单调递增，
又，且时，，所以.
故选：AC

11．（2021·重庆·高三月考）定义域在R上函数的导函数为，满足，，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】
由题意，构造函数，则，
由可知，
所以在R上单调递增，且，
故，即，，A错误；
由可得，故B正确；
当时，，所以，，
所以，，
令，则，
所以单调递增，，即，
所以，，
故C正确；
由可得，故D正确；
故选：BCD
12．（2021·全国·高三专题练习）已知函数，，是其导函数，恒有，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】
因为，所以，，
又，所以．
构造函数，，
则，所以在上为增函数，
因为，所以，
所以，即，故A正确；
因为，所以，
所以，即，故B错误；
因为，所以，
所以，即，故C错误；
因为，所以，
所以，即，故D正确，
故选：AD.
三、填空题
13．（2021·江西赣州·高三期中（理））已如函数，若.则的取值范围为___________.
【答案】
【详解】
，，函数为奇函数.
，函数单调递增，，即，
故，解得.
故答案为：.
14．（2021·陕西·西安中学高三月考（理））已知函数，若对于任意的且，都有成立，则的取值范围是________.
【答案】
【详解】
对于任意的，，，且，都有成立，
不等式等价为恒成立，
令，则不等式等价为当时，恒成立，
即函数在上为增函数；
，
则在，上恒成立；
；即恒成立，
令，；
在，上为增函数；
（1）；
；
．
的取值范围是．
故答案：．
15．（2021·宁夏·固原一中高三期中（文））已知函数是定义在上的偶函数，，，则不等式的解集为______．
【答案】
【详解】
令，则，
当时．由，得，
所以函数在上是减函数，
函数是定义在上的偶函数，，
，
是定义在上的奇函数，
在上递减，
又，，
则的大致图象如图所示：

时，，时，，
根据函数的奇偶性知，时，，时，，
当时，等价于，当时，不成立，
不等式的解集为，
所以不等式的解集是．
故答案为：.
16．（2021·陕西·千阳县中学二模（理））已知函数，则的值域是___________.设函数，若对于任意实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是___________
【答案】
【详解】
（1），
当，，单调递减；当，，单调递增；
，
又，，
故的值域是；
（2），
当，即时，恒成立，则，
当，即时，恒成立，则，
综上，实数的取值范围是.
故答案为：；