第4讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题（解析版）

第4讲  利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题

【题型精讲】

题型一：利用导数研究函数的单调性

1、讨论函数的单调性（或区间）

1．（2021·广东·深圳市福田区福田中学高三月考）已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【详解】

解：（1）由已知定义域为，

当，即时，恒成立，则在上单调递增；

当，即时，（舍）或，所以在上单调递减，在上单调递增.

所以时，在上单调递增；

时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；

当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；

若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，不满足对任意的恒成立.

所以综上所述：.

2．（2021·安徽·芜湖一中高三月考（理））已知函数.

（1）若函数在处取到极值，求曲线在处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性.

【答案】（1）；（2）在和上单调递增，在上单调递减.

【详解】

（1）依题意，，

，解得，

经检验，符合题意；

故，，

故，，

故所求切线方程为，即；

（2）依题意，，

若，即时，，在上单调递增；

若，即时，令

令，

故当时，，当时，，当时，，

故函数在和上单调递增，

在上单调递减.

3．（2021·宁夏·青铜峡市高级中学高三月考（文））已知函数（为常数）

1）讨论函数的单调性；

【答案】（1）时，递增，时，在递减，递增；

【详解】

（1）函数定义域是，

，

时，恒成立，在上是增函数；

时，时，，递减，时，，递增．

2、根据函数的单调性求参数的取值范围

1．（2021·重庆市清华中学校高三月考）已知函数，其中.

（1）若函数恰好有三个单调区间，求实数的取值范围；

【答案】（1）；

【详解】

（1）由，得.

∵存在三个单调区间

∴有两个不相等的实数根，即.

∴，即，故.

2．（2021·山西省新绛中学校高三月考（文））已知函数，.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若函数在区间内是减函数，求的取值范围；

（3）若函数的单调减区间是，求的值.

【答案】

（1）答案见解析

（2）

（3）1

（1）

由题意知，，

当时，恒成立，所以的单调递增区间是；

当时，令，令，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

当时，令，令，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为；

（2）

由(1)知，当时，有，所以，

解得，即a的取值范围为；

（3）

由(1)知，当时，有，所以，

解得.

3．（2021·河南·新蔡县第一高级中学高三月考（文））已知函数，

（1）若在上为单调减函数，求实数取值范围；

【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为．

【详解】

解：（1）因为，则．

依题意得在恒成立，在恒成立．

因为当时，，所以 ．

（2）当时，，，

令得，，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，

又，，．

在上最大值为，最小值为．

题型二：利用导数研究函数的极值、最值

1．（2021·天津·大钟庄高中高三月考）设函数的导数满足，.

（1）求的单调区间；

（2）在区间上的最大值为，求的值.

（3）若函数的图象与轴有三个交点，求的范围.

【答案】

（1）递增区间为，递减区间为，

（2）

（3）

（1）

由可得，

因为，，

所以，解得：，，

所以，，

由即可得：，

由即可得：或，

所以的单调递增区间为，单减区间为和.

（2）

由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，取得极小值，

，

，

则在区间上的最大值为，

所以.

（3）

由（1）知当时，取得极小值，

当时，取得极大值

，

若函数的图象与轴有三个交点，

则得，解得，

即的范围是.

2．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数.

（1）求函数在处的切线方程；

（2）求函数的单调区间和极值.

【答案】

（1）

（2）单调递增区间是，单调减区间是，极小值，无极大值

（1）

的定义域为，由可得，

所以，，切点为，

所以所求切线方程为，即.

（2）

由，得解得：，

当时，，递减，

当时，，递增，

所以的单调递增区间是，单调减区间是；

当时，函数取得极小值，无极大值.

3．（2021·四川资阳·高三月考（理））已知函数．

（1）当时，求函数在时的最大值和最小值；

（2）若函数在区间存在极小值，求的取值范围．

【答案】

（1）最大值为，最小值为

（2）

（1）

当时，，则，

由，可得或，由，可得，

所以在上单调递减，在上单调递增；

，，，

所以函数在时的最大值为，最小值为.

（2）

，

当时，知单调递增，函数没有极值；

当时，

时，，单调递增；

时，，单调递减；

时，，单调递增，

则在取得极大值，在取得极小值，

若函数在区间存在极小值，则，

当时

时，，单调递增，

时，，单调递减，

时，，单调递增，

则在取得极大值，在取得极小值，

若函数在区间存在极小值，则可得：．

综上所述：实数的取值范围是．

4．（2021·河南南阳·高三期中（理））已知函数，.

（1）当时，求的单调区间；

（2）若函数不存在极值点，求证：.

【答案】

（1）增区间是和，减区间是

（2）证明见解析

（1）

解：当时，，

则

令得：或

令得：

所以的单调增区间是和，单调减区间是

（2）

解：，因为函数无极值点，

故无变号零点，，

令，则，

当时，恒有，

当时，显然是单调增加的，

又因为，，故，使得，即，

故在上单调递减，在上单调递增，则，

所以，即，又

可得，

又因为，

所以

故

5．（2021·广东顺德·高三月考）已知函数的两个极值点为，2，且在处的切线方程为．

（1）求函数的表达式；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】

（1）

（2）

（1）

由可得，

则，2是方程的两根，

所以，（*）

因为又因为处的切线方程为

故，

代入（*）式解得，

故

（2）

由（1）知：，

①当时，即恒成立，此时，

②当时，由即，

分离参数可得：，

设，则，

，

故在上单调递减，上单调递减，上单调递增，

故当时，在上单调递减，上单调递增，

所以的最小值为，

所以，

③当时，由分离参数可得

设，则，

由②过程知在上单调递减，

故，

所以，

综上所述：的取值范围为.

6．（2021·福建·福清西山学校高三期中）已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）是否存在实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）极小值，无极大值；（2）存在，.

【详解】

（1）函数定义域为，，其中，

由，得；由，得.

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，

所以，函数的极小值为，无极大值；

（2）①当时，即时，函数在上为增函数，

故函数的最小值为，显然，故不满足条件；

②当时，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，

故函数的最小值为，

令，，则，

其导函数，可知在单调递增，

因为，有，可得不符合题意；

③当时，即时，函数在上为减函数，

故函数的最小值为，由，得满足条件.

综上所述：存在符合题意.

【课后精练】

1．（2021·黑龙江·模拟预测（文））已知函数.

（1）当时，求的单调区间；

（2）当时，恒有，求实数的最小值.

【答案】

（1）增区间：，，减区间：

（2）

（1）

当时，，，

令或，，

的增区间：，，减区间：；

（2）

①当时：，

时：单调递减，不符合题意.

②当时：令，

若，则，令或，，

所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，

又，只需，

综上，a的最小值为.

2．（2021·山东·滕州市第一中学新校高三期中）已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）当时，求证：对，.

【答案】

（1）答案见解析

（2）证明见解析

（1）

解:

当时，，

所以的单调增区间是；

当 时，由，得或，

所以的增区间是，减区间是；

当 时，由，得或，

所以的增区间是，减区间是；

（2）

当时，，

则在上单调递减，

，

，

当 时， ，当 时， ，

所以在上递减，在上递增，

所以

所以当时，对，.

3．（2021·山西吕梁·高三月考（理））已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：.

【答案】

（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）答案见详解

（1）

∵，

当时，恒成立，单调递减.

当时，当，，时，单调递减；当时，单调递增.

∴函数的单调性为：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）

当时，.

设，

则，

令

则，所以在上单调递增，

又∵，

∴存在唯一零点，且①

时，，即，单调递减，

时，，即，单调递增，

故在处取得极小值，也是最小值.

，将①式代入，

则

∵二次函数在上单调递减，

∴在时，有最小值

∴

∴

4．（2021·山东德州·高三期中）已知函数(其中常数是自然对数的底数).

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）证明：对任意，当时，.

【答案】

（1）答案见解析

（2）证明见解析

（1）

由，

令，解得，，

①当，

由，解得或，

由，解得，

故在，上单调递增；

在上单调递减，

②当，，在上单调递增;

③当，由，解得或，

由，解得

故在，上单调递增；

在上单调递减，

综上所述，当时，

在，上单调递增；在上单调递减，

当，在上单调递增;

当，在，上单调递增；

在上单调递减.

（2）

证明：对任意，当时，要证，

需证，，

令，

则，

令，

则，因为，，所以，

所以，

所以时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，即，原不等式成立.

5．（2021·河南三门峡·高三月考（文））已知函数，且.

（1）当时，求函数的单调区间与极大值；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】

（1）增区间为，减区间为，极大值

（2）

（1）

解：当时，函数，

可得，

令，解得，单调递增；

令，可得，单调递减；

所以函数的单调增区间为，单调减区间为，

当时，函数取极大值.

（2）

解：由题意，函数，

可得，

①当，时，；时，恒成立，

所以在上单调递减，在上是增函数，

所以，不符合题意；

②当时，时恒有，故在上是减函数，

所以对任意都成立，只需，即，解得，故.

综上所述：的取值范围是.

6．（2021·江西赣州·高三期中（文））已知函数，且函数在处的切线为．

（1）求，的值并分析函数单调性；

（2）若函数恰有两个零点，求实数的取值范围．

【答案】

（1）；函数在上单调递减，在上单调递增

（2）

（1）

解：由得，

由题意知，

即，解得，

又，而切点在切线上，

所以，解得，

则，令，得，令，得，

故函数在上单调递减，在上单调递增；

（2）

由（1）知，

且函数在上递减，在上单调递增，而

因为函数恰有两个零点，

所以函数在区间各有一个零点，

由零点存在性定理得，即，

解得；

∴．

7．（2021·天津市第二十一中学高三期中）已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间和极值；

（2）讨论函数单调性．

【答案】

（1）单减区间，单增区间， 极小值=，无极大值；

（2）

见解析.

（1）

当时，，所以.

故当时， ，为减函数；

当时，，为增函数.

所以当x=1时， 极小值=，无极大值.

（2）

由可得：.

①当a≤0时， ，在为减函数；

②当a>0时，时，故为减函数； 时， ，故为增函数.

8．（2021·全国·高三月考（文））已知函数.

（1）当时，求的单调区间与极值；

（2）若恒成立，求的取值范围.

【答案】

（1）单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值，极小值

（2）

（1）

当时，函数，定义域为，

.

当时，或，

当时，，

所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，

所以当时，函数取得极大值，

当时，函数取得极小值.

（2）

.

①当时，，，

令，解得，

则当时，，且，

所以函数恒成立，不符合题意，舍去；

②当时，令，解得，

令，解得，

则函数在上为增函数，在上为减函数，

所以函数在处取得极大值，也是最大值，

要使得恒成立，则只需，

解得，故.

综上，的取值范围是.

9．（2021·山西太原·高三期中）已知函数.

（1）若，讨论的单调性；

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】

（1）为上的单调递减函数

（2）

（1）

解：当时，，

所以，

令，则，

所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，即，

所以函数为上的单调递减函数.

（2）

解：若恒成立，即恒成立，

显然，当时成立，

当时，不等式等价于恒成立，

令，则，

当时，得或，即函数在和上单调递增，

当时，得，即函数在上单调递减，

由于时，由正数趋近于，当时，

所以函数的草图如图，

所以恒成立，只需

所以实数的取值范围是

10．（2021·陕西·西安中学高三期中（文））己知函数．

（1）讨论函数的单调区间；

（2）当时，若恒成立，求的取值范围．

【答案】

（1）答案见解析．

（2）

（1）

解：函数定义域是，

，

时，或时，，时，，

的增区间是，减区间是和．

同理可得时，的减区间是，增区间是和．

（2）

由（1）知，若，则时，，恒成立，

则，，

若，时，，不合题意．

综上，的取值范围是．