第5讲 利用导数研究不等式问题（解析版）

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第5讲  利用导数研究不等式问题【题型精讲】题型一：构造法证明不等式1．（2021·山东德州·高三期中）已知函数(其中常数是自然对数的底数).（1）当时，讨论函数的单调性；（2）证明：对任意，当时，.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（1）由，令，解得，，①当，由，解得或，由，解得，故在，上单调递增；在上单调递减，②当，，在上单调递增;③当，由，解得或，由，解得故在，上单调递增；在上单调递减，综上所述，当时，在，上单调递增；在上单调递减，当，在上单调递增;当，在，上单调递增；在上单调递减.（2）证明：对任意，当时，要证，需证，，令，则，令，则，因为，，所以，所以，所以时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，即，原不等式成立.2．（2021·河南驻马店·高三月考（文））已知函数.（1）求的单调区间；（2）当时，证明：.【答案】（1）答案不唯一，见解析（2）证明见解析（1）由题意知的定义域为.由已知得当时,在上单调递增,无单调递减区间.当时,令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）证明：原不等式等价于，则，易知在上单调递增，且，所以在上存在唯一零点，此时在上单调递减，在上单调递增，要证即要证，由，得,，代入,得，因为，所以.3．（2021·湖北武汉·高三月考）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）证明：对任意的，当时，.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（1）解：.①当时，，函数在R上单调递增；②当时，由解得，由解得.故在上单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）证明：原不等式等价于.令，则.当时，；当时，.∴，即，当且仅当时等号成立.当时，显然成立；当且时，.欲证对任意的，成立，只需证令，令递减，递增故存在，使又由，所以时，，递增，时，，递减，时，，递增，又，故时，.综上所述，结论得证题型二：等价转化法解决不等式恒成立问题1．（2021·山东济宁·高三期中）已知函数，，其中.（1）若，在平面直角坐标系中，过坐标原点分别作函数与函数图象的切线和，求，的斜率之积；（2）若对上，总有成立，试求实数的最小值.【答案】（1）（2）（1）依题意知，，，所以，.设切线，的斜率分别为，，其切点分别为，，则有解得；同理，有解得.所以，即所求切线，的斜率之积为.（2）由于对上，总有成立，即对，有恒成立.令（），则.令（），则有（），所以函数在区间上为单调递增函数.因为，所以，，所以，所以在区间上，存在唯一的实数，使得，即. ①所以当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增，所以函数在处取得极小值，即最小值，即.②又由①得，，所以，所以.则由②得，.令，所以（），所以函数在区间上为单调递减函数.又，因此.所以.由于，所以，即所求实数的最小值为.2．（2021·安徽·六安一中高三月考（文））已知函数，其中．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）（1）解：当时，因为，所以，所以，，所求切线的方程为，即．（2）因为，所以．令，得，令，得或．所以的单调递减区间是，单调递增区间是，①若，即，在上单调递增，在上单调递减．因为在区间上，恒成立，所以解得．又，所以．②若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．因为在区间上，恒成立，所以解得．又，所以．综上，，所以的取值范围是．3．（2021·云南大理·模拟预测（文））已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，函数的图象均在轴下方，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（1）因为，所以，，即切线的斜率为，切点坐标为，所以切线方程为，即为.（2）当时，函数的图象均在轴下方，即当时，函数恒成立，所以有在时恒成立，即，令，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在取得最大值，最大值为，所以，故实数的取值范围是．题型三：等价转化法解决不等式能成立问题1．（2021·海南·高三月考）已知，在上是单调递增函数.(1)求的最小值；(2)当实数取最小值时，若存在实数x使不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)2；(2).【详解】(1)由题意可知，在恒成立，故在恒成立，即，解得，故的最小值为2；(2)当时，存在实数x使不等式成立，由可知，存在实数x使不等式成立，即成立，不妨令，即，由，；；故在上单调递增，在单调递减，从而的最大值为，即，故实数k的取值范围为.2．（2021·北京市海淀外国语实验学校高三月考）已知函数，其中.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若存在实数，使得不等式的解集为，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【详解】由得.（1）所以.又因为.故所求的切线方程为.（2）因为令，得，，此时，随的变化如下：00极大值极小值由题意，要想存在实数，使得不等式的解集为只需或因为，所以所以的取值范围为.3．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.【答案】（1）在单调递增，在单调递减；（2）．【详解】（1）又时，或时，在单调递增，在单调递减.（2）∵存在使成立，由（1）可得，①当时，即，令，在单调递增，在单调递减，恒成立，即当时，不等式恒成立；(另解：当时，在单调递减，单调递增，.)②当时，在单调递增，，，综合①②得．【课后精练】1．（2021·吉林·高三开学考试（理））已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）证明：当时，.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析.【详解】（1）由题意，函数的定义域为，且，当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，即的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明：由（1）得在）上单调递增，在上单调递减，所以，即，所以，因为，所以则，即,即.2．（2021·黑龙江·佳木斯一中高三月考（文））已知函数.（1）讨论函数极值点的个数；（2）若有两个零点，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）由得：，当时，恒成立，在上单调递增，无极值点；当时，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，有且仅有一个极小值点，无极大值点.综上所述：当时，无极值点；当时，有且仅有一个极小值点，无极大值点.（2）证明：由（1）可知：当时，有一个极小值点，且极小值为；当时，，函数没有零点；当时，，函数只有一个零点；当时，，又，，使得；又，，使得，当时，有两个零点.记，则，记，则，，，在上单调递增，，即，在上单调递增，，即恒成立，原不等式得证.3．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（文））已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）当时，求证：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【详解】（1）解：依题意，，令，则，令，解得，故当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，故，则，故函数在上单调递减.（2）证明：要证，即证，令，则，由（1）知，当时，，故在上单调递减，所以，又，所以.设，则.又在区间上单调递增，所以，故，所以当时，.4．（2021·江西赣州·高三期中（理））已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意都有，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间单调递减区间（2）（1）函数定义域是，由已知，时，，时，，所以单调递增区间，单调递减区间；（2）因为对任意都有，即恒成立.令，则.令，则在上单调递增，因为，所以存在使得，当时单调递增，当时单调递减.所以 ，由于，可得.则，所以，又恒成立，所以.综上所述实数a的取值范围为.5．（2021·安徽·高三月考（文））已知函数.（1）若函数为增函数，求的取值范围；（2）当，若在定义域内恒成立，求的值.【答案】（1）（2）2（1）根据题意可得的定义域为，，则，∵在定义域内为增函数，∴在上恒成立，即在上恒成立，则，∵，当时，等号成立，∴，即m的取值范围为.（2）∵在定义域内恒成立，∴在上恒成立，令，则.∵，∴令，解得，即在上单调递增，令，解得，即在上单调递减，∴，要使在定义域内恒成立，即，即，令（其中），则，∴当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，∴，即，∴要使，只能取，即，综上所述，m的值为2.6．（2021·全国·高三专题练习）设函数．（1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的单调递减区间和极小值（其中为自然对数的底数）；（2）若对任何恒成立，求的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为，极小值为2；（2）.【详解】（1）由条件得，∵在点处的切线与垂直，∴此切线的斜率为0，即，有，得，∴，由得，由得．∴在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值．故的单调递减区间为，极小值为2（2）条件等价于对任意恒成立，设．　则在上单调递减，则在上恒成立，得恒成立，∴（对仅在时成立），故的取值范围是7．（2021·山东·滕州市第一中学新校高三月考）设函数，.（1）讨论函数零点的个数；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）（1）函数，令，得，设，则，所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；所以的最大值为，又，可知：①当时，函数没有零点，②当时，函数有且仅有1个零点，③当时，函数有2个零点，④当时，函数有且只有1个零点.综上所述，当时，函数没有零点；当或时，函数有且仅有1个零点；当时，函数有2个零点.（2）对任意，恒成立，等价于恒成立，设，则，可得在上单调递减，所以在上恒成立，分离m可得恒成立，所以，所以m的取值范围是.8．（2021·吉林吉林·高三月考（理））已知函数，.（1）求函数的极值；（2），，使成立，求的取值范围.【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）.【详解】解：（1）因为，所以，且定义域为，令，解得或，当变化时，，的变化情况如下表：-+-极小值极大值因此，当，有极小值，极小值为；当，有极大值，极大值为.（2）由（1）知，在上，函数单调递减，所以，即在上，因为，所以，，当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，所以，当时，取最小值，，当时，，所以，若，，使得成立，等价于，即，所以，解得，，又，所以的取值范围为.9．（2021·天津市静海区第六中学高三开学考试）已知函数，.（1）在点处的切线方程；（2）求函数在上的最小值；（3）若存在使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）.【详解】（1）已知，，则，所以函数在处的切线方程为：，即. （2）令，解得，则时，，函数单调递增，时，，函数单调递减①时，函数在单调递增， ②时，，则时，函数数取得极小值即最小值，综上，，；，(3)存在使得 ，设，，当时，，单调递减，，，单调递增，所以当时，取得最小值，所以恒成立，所以 恒成立，令，，则，因为，所以，即，所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，，，所以，所以10．（2021·江西南昌·三模（理））已知定义在实数集R上的偶函数的最小值为3，且当时，，其中e是自然对数的底数．（1）求函数的解析式；（2）求最大的整数，使得存在，只要，就有．【答案】（1）；（2）m的最大正整数为4．【详解】（1）因为是增函数，所以当时，是增函数，又因为为偶函数，所以，即，当时，，所以，所以．（2）因为，都有，所以，当时，，则，即，当时，同理可得，所以．同样地，由及，得到，当，存在的最小值为，由题意知，，即，令，则当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，因为，，，所以存在，使得，所以的解集为，所以m的最大正整数为4．